毕业设计（论文）-迭代思想在高等数学中的应用.doc

保定学院 本科毕业论文（设计） 题目：迭代思想在高等数学中的应用 系 （部）数学与计算机系 学科门类 理学 专 业 数学与应用数学 学 号101814214 姓 名 指导教师 职 称 副教授 2014年 05 月 29 日摘 要迭代思想在高等数学中的应用摘 要迭代法，是一种借助计算机运算来完成的不断用变量的旧值递推新值的过程。本文主要就是介绍一些普遍使用的迭代法解线性方程组和非线性方程，并对各种迭代法条件的限制、收敛性及迭代效率高低进行比较，从而得出求方程根的最适用解法，并借助matlab软件完成迭代法的计算机实现。关键词：迭代方法 线性方程组 非线性方程 收敛速度 matlababstractiteration method is a process which is with the aid of computer algorithms to complete the old value of the variable to the recursive new value continuously. in this paper ,is mainly introduced some of the commonly used the iterative solution of linear equations and nonlinear equations,as well as compare the restriction、convergence and efficiency of the linear equations, then concluded the most effective of the equation root solution. and with the help of matlab software to complete the iteration method of computer implementation.key words：iterative methods systems of linear equations group nonlinear equation convergence rate matlab目 录目 录1 引言- 1 -2 求解方程(组)根的几种迭代法- 1 -2.1 求线性方程组的迭代法- 1 -2.1.1 雅可比迭代法- 1 -2.1.2 高斯-赛德尔迭代法- 1 -2.1.3 逐次超松弛迭代法- 2 -2.2 求非线性方程的迭代法- 2 -2.2.1简单迭代法- 2 -2.2.2 牛顿迭代法- 2 -2.2.3 弦割法- 3 -3 分析比较各种迭代法的实用性- 3 -3.1 线性方程组的迭代收敛性分析- 3 -3.2 各类迭代法收敛速度的比较- 4 -3.2.1 线性方程组求根方法的比较- 4 -3.2.2 非线性方程求根方法的比较- 6 -4 迭代算法的计算机实现- 7 -4.1 高斯-赛德尔迭代法的matlab实现- 7 -4.2 非线性方程中牛顿迭代法的matlab实现- 8 -5 总结与展望- 9 -5.1 本文总结- 9 -5.2 工作展望- 9 -参考文献- 9 -致 谢- 11 -附 录- 12 -保定学院2014届毕业论文（设计）1 引言方程(组)求根问题是很有实际意义的，解决这些问题主要有两种方法，即解析法和数值法。解析法得到的是精确解，但通过解析法并不能求得所有方程(组)的根。我们经常会遇到的高次方程或超越方程以及一些非线性方程的求解问题就需要我们寻求其它方法得到比较精确的近似解。所以本文主要介绍一些迭代思想在解决方程(组)求根问题中的应用，及其在计算机上的实现。2 求解方程(组)根的几种迭代法解析式是不能够用来表示一般方程或个未知量的方程组,的解的。所以这里我们将介绍几种求近似解的普遍适用方法迭代法。首先明确迭代法的基本思想，即对于给定的方程,经过恒等变形成为,改写成迭代格式为,选定初始值,使用迭代格式反复不断校正根的近似值，求得符合精度要求的近似根值。下面介绍几种求解线性方程组和非线性方程的迭代法。2.1 求线性方程组的迭代法2.1.1 雅可比迭代法在求解线性方程组的解时，若,则构成迭代公式给定初值,令可得.如果此序列收敛于,那么每个分量序列必收敛于,.这种解法称为雅可比迭代法。2.1.2 高斯-赛德尔迭代法在雅可比迭代法的使用过程中，按公式计算,右边全是的分量，只有当的分量被全部算出后，才能用的分量代换的分量来算得,而如果想将已经算出的分量立即代替对应的分量来求,那就需要借助另外一种方法高斯-赛德尔迭代法。其迭代公式为2.1.3 逐次超松弛迭代法在高斯-赛德尔迭代法中改写第i个分量并在校正量前乘以一个,可得方括号的内部就是高斯-赛德尔迭代公式的右半部分，叫做松弛因子。逐次超松弛迭代法也可以看成是高斯-赛德尔迭代与的一种算术加权平均。的选取如果合适，就会加快收敛速度。显然当时，就变成了高斯-赛德尔迭代。2.2 求非线性方程的迭代法2.2.1简单迭代法已知根的存在区间,自然可取中点作为根的精确近似值.而为求逐次逼近的近似值,最好是用同一个迭代公式, (2-1)简单迭代法就是利用(2-1)式来求根的近似值。其中叫做迭代序列，叫做迭代函数，(2-1)式叫做迭代格式。简单迭代法中利用同解变换将化为从而得出的迭代公式往往只是线性收敛。为得出超越线性收敛的迭代格式，通常采用近似替代法，例如下面两种方法。 2.2.2 牛顿迭代法牛顿法是求解非线性方程的十分重要的迭代方法，它的基本思想是将方程依次转化为一系列的线性方程,由其点的序列逐次逼近方程的根.牛顿迭代公式为 (2-2)我们知道牛顿迭代格式的得出方式是取三项近似来替代,具体构造方法见文献3再将所得二次方程两个根中更接近的那一项记为,得到两种改进的牛顿迭代格式。或由于牛顿法在计算过程中需要用到以及的符号，因此对于形式复杂的函数,及的计算就可能会很麻烦。 为此我们寻找了一种避免求导运算的求根方法弦割法。2.2.3 弦割法 在牛顿迭代公式中，若将曲线上点的切线斜率改为其上两点连线的斜率则可得到双点或单点弦割法迭代公式或3 分析比较各种迭代法的实用性关于各类迭代法的局限性，即在解各种方程(组)的适用方法上，本文已经在前面介绍具体算法思想时比较分析过了，这里我们不再做过多的说明，我们只从收敛性和高效性即收敛速度上来分析各种方法的适用性。3.1 线性方程组的迭代收敛性分析在收敛性分析上我们只应用一种简单且常用的方法 对于给定任意的初始值对一般迭代格式收敛的充分必要条件为谱半径.(证明过程详见文献5)其中的计算方法为 雅可比迭代法 高斯-赛德尔迭代法 逐次超松弛迭代法 例1 判断方程组的收敛情况。解 雅可比迭代法 .,所以这里雅可比迭代法是发散的，不能用雅可比迭代公式求得方程根；高斯-赛德尔迭代法 .,所以高斯-赛德尔迭代法在这里是收敛的，所以这时只要直接套用迭代格式即可求得方程根；由于逐次超松弛迭代法的收敛性不仅取决于a，松弛因子的选取也可直接影响方程组的收敛性，如1时，迭代收敛；2时，迭代发散。当然并不是所有的方程组求解中高斯-赛德尔迭代都优于雅可比法，我们也会发现雅可比法收敛但高斯-赛德尔迭代发散的情况，例如方程组.3.2 各类迭代法收敛速度的比较3.2.1 线性方程组求根方法的比较例2 (1)用雅可比迭代法求解方程组(准确解为).解 分别从3个方程中解出可得由此可建立迭代格式设迭代初值,反复使用迭代格式，求出线性方程组根的一系列近似值(见附录表1),从结果可看出迭代到第58步才能得到根的稳定值。(2)用高斯-赛德尔迭代法重新求解上述方程组。解 由高斯-赛德尔迭代格式得仍然取初值为,具体计算情况见附录表2,由表中数据可知经过22步迭代得到根的稳定值。(3)用逐次超松弛迭代法求解原方程组。解 由逐次超松弛迭代格式得仍取初值为,当时，经过65步迭代才能得到稳定的根的近似值，具体计算过程见附录表3.当时，只需要迭代11次就可以求出稳定的近似值，具体计算结果见附录表4.将上述得出的数据进行比较，明显看出在保证算法都收敛的情况下高斯-赛德尔迭代法只用22次迭代要比雅可比迭代法的58次收敛速度快，迭代效率高，求解方程组时更适用，而对于逐次超松弛迭代法来说，收敛速度取决于松弛因子的选取，显然当松弛因子选取合适时，逐次超松弛迭代法就显示了它明显的优越性。3.2.2 非线性方程求根方法的比较例3 (1)用简单迭代法求区间内方程的根。解 方程两边同时加上,再开三次方，得到同解方程 作迭代格式取,经过12次迭代得到根的近似值(过程见表5)，由可知，继续迭代的结果不变，所以为所求方程的根。(2)用牛顿迭代法解上述方程。解 方程两边同时加上,再同除,得到同解方程作迭代格式同样取,这时经过5次迭代得到根的近似值(详见表6). 通过两种方法计算步骤的比较我们可以看出，在保证算法能实现的前提下牛顿迭代法的收敛速度要比简单迭代法快，所以牛顿法的效率更高，更加适用。同样的，我们可以求出改进后的牛顿迭代法求得的结果，如改进的牛顿迭代法中得到 因为改进后的牛顿法只要迭代到第四步就能结束求解过程，要比经典牛顿法快，所以在两种方法都收敛的前提下改进后的牛顿法要比经典的牛顿法收敛速度快，效率高，更有优势。(3)用弦割法解上述方程。解 取,双点弦割法单点弦割法,一直算到才有我们可以看出双点法要比单点法收敛速度快，跟牛顿法比起来虽然避免了导数的计算，但整体的迭代效率还是要低一些。所以总的来说，在保证了算法可行的前提下，改进后的牛顿迭代法在求方程的解时迭代效率更高。但在求具体问题时如果函数的导数非常复杂或求导非常麻烦，再用牛顿法就会大大的增加计算量，所以在遇到具体问题时还是要具体分析，找到最合适的方法。4 迭代算法的计算机实现我们知道迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法，利用各种原始迭代方法和改进过后的迭代法解决高次线性方程组和非线性方程求根问题。研究迭代算法主要是通过以下几个关键环节即确定迭代变量，建立迭代关系式和对迭代过程进行控制来实现的一般思路。我们分别用matlab程序通过具体实例来实现这些迭代法。4.1 高斯-赛德尔迭代法的matlab实现1)确定迭代变量a方程组的系数矩阵b方程组的右端项ep精度要求,省缺值1e-5it_max最大迭代次数,省缺值100x方程组的解k迭代次数2)建立迭代关系式function x,k = gau_seid(a,b,ep,it_max)x,k = gau_seid(a,b,ep, it_max)3)对迭代过程进行控制if nargin 4 it_max = 100; endif nargin 3 ep = 1e5; endif min(abs(d) 1e10errorendn = length(b);x = zeros(n,1);k = 1;b = tril(a)tril(a,1);f = tril(a)b;while k it_maxy = b*x + f;if norm(y x,inf) ep break ; end x = y;k = k + 1;end例4 用高斯-赛德尔迭代法解第三章中例2,取,.经matlab得到的解为即经过25次迭代，得到方程的解.若想求解其他方程组的根，只需改变输入的迭代变量即可。(详细命令见附录)4.2 非线性方程中牛顿迭代法的matlab实现1)确定迭代变量fun(x)求根的函数,提供函数值和导数值x初始点ep精度要求,省缺值为1e-5it_max最大迭代次数,省缺为100x_star得到的解it求解所需的迭代次数2)建立迭代关系式function x_star,it = newton(fun,x,ep,it_max)3)对迭代过程进行控制if nargin 4 it_max = 100; endif nargin 3 ep = 1e5; endk=1;while k = it_maxf,dotf = feval(fun,x);if abs(dotf)1e10errorend x1 = x f/dotf ;if abs(x1x) ep break ; end x = x1;k = k + 1;endx_star=x1;it=k;例5 用牛顿迭代法解方程 .取在附近的根,取.经matlab得到的解为即经过4次迭代，得到方程的解.(详细命令见附录)5 总结与展望5.1 本文总结本文主要针对高等数学中线性方程组和非线性方程的求根问题，给出了一系列常用的迭代算法，并通过对同一例题的不同方法的根的求解来分析比较，得出相对可行或计算效率较高的迭代方法。本文在第二章中介绍牛顿迭代法时针对牛顿法的一些缺陷给与了相关的不同的改进方法，使牛顿迭代法更加完善，求根更加方便精确。另外在第四章中更是借助计算机中matlab程序来实现了方程(组)根的求解，使原本繁复的计算过程很快的得到解决。5.2 工作展望 非线性方程求根问题的研究，目前主要还是围绕单根的情形，且停留在局限性和效率高低的问题上。然而现实生活中还有很多很复杂的非线性方程是有重根的，对于这一类问题的研究现在还比较少，所以还需要更多的研究讨论。而且就单根情况来讲，迭代方法也并不是求根效率越高越好，我们不能盲目的为了计算量的减少而忽略近似解的精确度，要在保证根的准确性的同时提高效率。在往后的研究中希望能有更好的更有针对性的方案来解决这些问题，从而提高迭代法的实际应用价值。参考文献1 张玲、刘俊芳.迭代法在解方程中的应用j.高等函授学报.2009,(4):10-122 李乃成、邓建中.数值计算方法m.西安交通大学出版社.2002:84-963 周煦、王杰臣.计算机数值算法及程序设计m.中国科学技术出版社.1997:179-2084 李丽容.对牛顿迭代法的改进j.中国水运(理论版).2006,(4):204-2065 蔺小林、蒋耀林.现代数值分析m.国防工业出版社.2004:52-766 薛毅.数值分析与科学计算m.科学出版社.2011:58-1547 朱芳.求解非线性方程的改进newton迭代法d.合肥工业大学.2013- 9 -致 谢大学四年的时光就这么不经意间匆匆流过了,而我的本科毕业论文也终于完成了.在这里我非常感谢我的指导老师荆老师,我的论文的顺利完成离不开荆老师的全力帮助,无论是开始选题、初稿完成还是后期的论文修改,都离不开荆老师的悉心指导,在材料搜集方面也给与了我很多帮助,让我节省了不少时间与精力.在此,请允许我向您表达我最真挚的谢意!当然,我论文的完成也离不开身边的朋友和同学们,正是你们的关心与帮助才能让我能够没有后顾之忧的专心研究论文,另外,在与你们的讨论中也给了我很多写作的灵感还有郑亚敏同学对我英文摘要部分的帮助.在此,也向你们表示感谢! 附 录表1 雅可比迭代计算数据迭代次数方程组各次迭代根的近似值01.0000001.0000001.00000015.2500007.000000-5.75000020.7500002.125000-4.25000034.4062505.875000-5.46875041.5937502.828125-4.531250573.0000044.000006-5.000001582.9999963.999996-4.999999表2 高斯-塞德尔迭代计算数据迭代次数方程组各次迭代根的近似值01.0000001.0000001.00000015.2500003.812500-5.04687523.1406253.882813-5.02929733.0878913.926758-5.01831143.0549323.954224-5.011444213.0000193.999985-5.000004223.0000133.999998-5.000002表3 逐次超松弛迭代计算数据()时迭代次数方程组各次迭代根的近似值01.0000001.0000001.00000018.6500001.472500-10.9373721.8921264.845811-0.130513532.7444545.977064-8.21472940.5353934.298935-2.293696643.0000013.999999-4.999996653.000