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第三讲第三讲 数论数论真题选讲真题选讲 1、 （09 年初赛）从 20 以内的质数中选出 6 个数，写在一个正方体木块的六个 面上，使每两个相对的面的和都相等，则所选的 6 个数是_ 2、 2008 年第 6 届）m、n为非零自然数，且20072008 mn 被7整除。mn的 最小值为 3、 （第 7 届试题）123456789101112131420082009 除以 9，商的个位数字 式_ 4、 （2010 年试题） 50 个互不相同的正整数， 总和是 2010， 这些数里至多有_ _个偶数 5、 （2008 年试题）n为自然数，且 1n ， 2n 、 9n 与 690 都有 大于 l 的公约数n的最小值为_ 6、 （2010 年试题）商店一次进货 6 桶，重量分别为 15 千克、16 千克、18 千 克、19 千克、20 千克、31 千克。上午卖出去2 桶，下午卖出去 3 桶，下午 卖得的钱数正好是上午的 2 倍。剩下的一桶重 千克. 7、 （2007 年试题）一个两位数，数字和是质数，而且，这个两位数分别乘以 3， 5，7 之后，得到的数的数字和都仍为质数.满足条件的两位数为 巩固训练巩固训练 1、如果四个两位质数 a，b，c，d 两两不同，并且满足，等式 a+b=c+d那么， (1)a+b 的最小可能值是多少? (2)a+b 的最大可能值是多少? 2、在 555555 的约数中，最大的三位数是多少? 3、 3 个质数的倒数之和是 1661 1986 ，则这 3 个质数之和为多少? 4、 某校师生为贫困地区捐款 1995 元 这个学校共有 35 名教师， 14 个教学班 各 班学生人数相同且多于 30 人不超过45 人 如果平均每人捐款的钱数是整数， 那么平均每人捐款多少元? 答案部分答案部分 例题答案例题答案 1 1、 【试题解析】【试题解析】 20 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19， 根据奇偶性，2 肯定不能取，还剩下 7 个， 排除 3 即可，得到 51971711324 即这 6 个数为 5、7、11、13、17、19 【备考指南】100 以内的质数要熟记；2 是唯一的偶质数. 2 2、 【试题解析】【试题解析】 2007除以7的余数是5，2008除以7的余数是6， 所以56 mn 能被7整除， 经试算，mn 最小值为3 25 【备考指南】余数的和差积等于和差积的余数 3 3、 【试题解析】【试题解析】 根据弃九法，一个数被 9 除的余数与这个数的所有数字之和被 9 除得到的余 数相同，1234200910052009，它的数字之和被 9 除余 3， 所以 123456789101112131420082006 能被 9 整除， 从个位分析得到 4936，所以商的个位是 4。 4 4、 【试题解析】【试题解析】 如果 50 个数都是偶数，总和为 2+4+6+100=2550 超过 2010，应将其中 一些偶数转化为奇数，把 100 改成 1,98 改成 3，,把 90 改成 11，减少 79， 此时总和为 2550-99-95-91-87-83-79=2016，需再把至少两个偶数化为奇数. 所以最多有 42 个偶数 5 5、 【试题解析】【试题解析】 690=23523 公约数必是 2,3,5,23 之一,连续 10 个整数中必有能被 2,3,5 整除的数, 在最前面的自然数中,如 7,11,13,17,19 这些质数不能出现在这 10 个数中, 由于有因子 23,所以这 10 个数中可能含有 23, 取含有 23 的最小连续的 10 个整数尝试,19 不能取, 从 20 开始,取 20-28 的数,恰好满足条件. 6 6、 【试题解析】【试题解析】 (151618192031)(21)余 2，所以从 6 桶中应去掉除以 3 余 2 的那桶，才保证卖出的 5 桶和是 3 的倍数。剩下的一桶是 20 千克 7 7、 【试题解析】【试题解析】67 巩固训练巩固训练答案答案 1 1、 【试题解析】【试题解析】 两位的质数有 11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59， 6l， 67，71，73，79，83，89，97 可得出，最小为 11+19=13+17=30，最大为 97+71=89+79=168 所以满足条件的 a+b 最小可能值为 30，最大可能值为 168 2 2、 【试题解析】【试题解析】 555555=51111001 =357111337 显然其最大的三位数约数为 777 3 3、 【试题解析】【试题解析】 设这 3 个质数从小到大为 a、b、c，它们的倒数分别为 1 a、 1 b、 1 c，计算它 们的和时需通分，且通分后的分母为 abc，求和得到的分数为 f abc,如果这 个分数能够约分，那么得到的分数的分母为 a、b、c 或它们之间的积 现在和为 1661 1986，分母 1986=23331，所以一定是 a=2，b=3，c=331，检 验满足 所以这 3 个质数的和为 2+3+331=336 4 4、 【试题解析】【试题解析】 这个学校最少有 35+1430=45