代数公式.doc

第一章 代数、三角公式与初等函数这里收集和整理了初等代数(代数方程部分见第三章)，平面三角与球面三角的一些常用公式，同时也介绍了一些常见的初等函数(一个实自变量)的简单性质与图形，所以本章基本上包括了中等学校里的代数学和三角学的主要内容.1 代 数 公 式一、 数的扩张、分类及其基本运算规则1. 数的扩张与分类表2. 实数四则运算规则加减法规则 同号两数相加，绝对值相加，符号与加数同；异号两数相加，绝对值相减(大的减小的)，符号与绝对值大的加数同；任何实数和零相加，等于实数本身.减法是加法的逆运算，两个数相减只要把减数变成同它符号相反的数，即可按加法规则运算.乘除法规则 同号两数相乘，绝对值相乘，符号为正；异号两数相乘，绝对值相乘，符号为负；任何数与零相乘等于零；任何数与1相乘等于它自己.除法是乘法的逆运算，同号两数相除，绝对值相除，符号为正；异号两数相除，绝对值相除，符号为负；任何数除以1等于它自己；零除以任何不等于零的数等于零；零不能做除数.四则混合运算规则 先乘除，后加减；先括号内，后括号外.3. 数的三个基本运算律交换律 结合律 分配律 4. 乘方与开方乘方 n个数a相乘n个称为a的n次(乘)方，又称为a的n次幂.a称为幂底数，n称为幂指数.从乘法的符号规则直接得出乘方的符号规则：正数的任何次方为正数；负数的偶次方为正数；负数的奇次方为负数；零的任何次方为零.规定不等于零的数的零次方等于1，即a0=1，a0.开平方 若a2=b，则a称为b的平方根，记为，求平方根的运算称为开平方.开平方的一般方法用下面例子说明.例 求316.4841的平方根.解 第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号“，”分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=13.第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.第四步，找出试商，使(20初商+试商)试商不超过第一余数，而20初商+(试商+1)(试商+1)则大于第一余数.第五步，把第一余数减去(20初商+试商)试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：开立方 若a3=b，则a称为b的立方根，记为，求立方根的运算称为开立方.一个数的平方根和立方根可从“平方根表”和“立方根表”中查到.5. 实数进位制进位制的基与数字 任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其值缩小10倍.例如一般地，任一正数a可表为这就是10进数，记作a(10)，数10称为进位制的基，式中ai在0,1,2,l,9中取值，称为10进数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基，于是就得到q进数表示 (1)式中数字ai在0,1,2,l,q-1中取值，anan-1la1a0称为q进数a(q)的整数部分，记作a(q);a-1a-2l称为a(q)的分数部分，记作a(q).常用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下2进制 0, 18进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 2，8，16进制的加法与乘法表2进制加法表2进制乘法表+010100100011101018进制加法表+0123456700001020304050607101020304050607102020304050607101130304050607101112404050607101112135050607101112131460607101112131415707101112131415168进制乘法表01234567000000000000000001000102030405060720002040610121416300030611141722254000410142024303450005121724313643600061422303644527000716253443526116进制加法表+0123456789000010203040506070809101020304050607080901020203040506070809101130304050607080910111240405060708091011121316进制加法表50506070809101112131460607080910111213141570708091011121314151680809101112131415161790910111213141516171810111213141516171819101112131415161718191011121314151617181910111213141516171819101112131415161718191011121314151617181916进制乘法表+0123456789000000000000000000000000000000000100010203040506070809200020406081012141618300030609121518212427400040810141820242830343850005141923283237414660006121824303642485470007152331384654626980008101820283038404850586068707890009122436485163758700142832465064788296001621374258637984001824304854607884900027344168758200384654627000697887968-2，16-2数字转换表8进数012345672进数00000101001110010111011116进数012345672进数0000000100100011010001010110011116进数892进数10001001101010111100110111101111各种进位制的相互转换1 q10转换 适用通常的10进数四则运算规则，根据公式(1)，可以把q进数a(q)转换为10进数表示.例如2 10q转换 转换时必须分为整数部分和分数部分进行.对于整数部分其步骤是：(1) 用q去除a(10)，得到商和余数.(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.(3) 用商替换a(10)的位置重复(1)和(2)两步，直到商等于零为止.对于分数部分其步骤是：(1)用q去乘a(10).(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.(3)用乘积的分数部分替换a(10)的位置，重复(1)和(2)两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如：103.118(10)=147.074324l(8)整数部分的草式分数部分的草式3 pq转换 通常情况下其步骤是：a(p)a(10)a(q).如果p,q是同一数s的不同次幂，其步骤是：a(p)a(s)a(q).例如，8进数127.653(8)转换为16进数时，由于8=23，16=24，所以s=2，其步骤是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字，即二、复数1. 复数的概念实部与虚部模与辐角共轭复数 复数z一般表示为z=a+ib，其中称为虚数单位，a和b均为实数，分别称为z的实部和虚部，记为a=re z，b=im z.两个复数只有当实部和虚部分别相等时才相等.称为复数z的模.称为复数z的辐角，所以，一个复数有无穷多个辐角，但其中一个叫做主辐角，记为arg z，它满足 0arg zr)前n项和7某些级数的部分和 四、乘法与因式分解公式 五、分式 1. 分式运算 2. 部分分式任一既约真分式(分子与分母没有公因子，分子次数低于分母次数)都可唯一地分解成形如或的基本真分式之和，其运算称为部分分式展开.若为假分式(分子次数不低于分母次数)，应先化为整式与真分式之和，然后再对真分式进行部分分式展开.部分分式的各个系数可以通过待定系数法来确定.下面分几种不同情况介绍.设线性因子重复1o 式中n(x)的最高次数rm-1；a0，a1，l，am-1为待定常数，可由下式确定：2o 式中a0，a1，l，am为待定常数，可由下式确定：s-1其系数fj与m有关，由下表确定：mfj (j=0, 1, 2, l, k; ks-1)123mllllllllm 例 解 依上述公式算出 此时m=3， 所以得到3o 作变换y=x-a，则n(x)=n1(y), g(x)=g1(y), 上式变为 用上述1o，2o的方法确定出a0, a1, l, am-1和f1(y)，再将y=x-a代回.也可按下式来确定系数a0, a1, l, am-1：线性因子不重复1o 式中n(x)的最高次数r2，abc；a, b, c为待定常数，可由下式确定：2o 式中多项式f(x)的最高次数ks-1；a, b为待定常数，用下式确定： a, b确定后，再用等式两边多项式同次项系数必须相等的法则来确定f(x)的各项系数.例 解 依上述公式算得把a,b代入原式，通分并整理后得比较等式两边同次项系数得所以有高次因子计算系数的一般方法 1o 等式两边乘以d(x)化为整式，各项按x的同次幂合并，然后列出未知系数的方程组，解出而得.2o 等式两边乘以d(x)化为整式，再把x用简单的数值(如x=0, 1, -1等)代入，然后列出未知系数的方程组，解出而得.六、比例1o 若(或写为a:b=c:d)，a, b, c, d都不等于零，则2o 若，则式中li(i=1, 2, l, n)为一组任意的常数，bi(i=1, 2, l, n)都不等于零.3o 若y与x成正比，(记作yx)，则若y与x成反比，则若y与x成正比，y与z也成正比(即yx, yz)，则x与z成正比，即且y与xz成正比，即七、根式1. 根式的概念方根与根式 数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n次方根记为(n为大于1的自然数).作为代数式，称为根式.n称为根指数，a称为根底数.在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相同，符号相反.算术根 正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.基本性质 由方根的定义，有 2. 根式运算乘积的方根 乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即0,b0)分式的方根 分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即0,b0)根式的乘方 0)根式化简0)0,d0)0,d0)同类根式及其加减运算 根指数和根底数都相同的根式称为同类根式，只有同类根式才可用加减运算加以合并.八、不等式 1. 简单不等式1o 若ab，则2o 若，且b、d同号，则2. 有关绝对值的不等式1o 若a, b, l, k为任意复数，则 2o 若a, b为任意复数，则3o 若，则特别有4o 若，则或3. 有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式特别取，有 (以下各式变数z为复数)4. 某些重要不等式算术平均值与几何平均值不等式1o 几个数的算术平均值的绝对值不超过这些数的均方根，即等号只当时成立.2o 设a1, a2, l, an均为正数，则它们的几何平均值不超过算术平均值，即等号只当时成立.3o 对n个正数a1, a2, l, an的加权平均值，有等号只当a1=a2=l=an时成立.4o 设a1, a2, l, an为正数，又，则有柯西不等式 设ai, bi(i=1, 2, l, n)为任意实数，则等号只当时成立.这个不等式表明一个角(取实数值)的余弦值总是小于1的，或者说二矢量内积小于二矢量长度之积.赫尔德不等式1o 设ai, bi, l, li(i=1, 2, l, n)为正数，又a, b, l, l为正数，且a+b+l+l=1，则等号只当时成立.2o 设ai, bi (i=1, 2, l, n)为正数，又k0, k1, 与k共轭，即，或，则等号只当时成立.闵可夫斯基不等式 设ai, bi0 (i=1, 2