2011届高考数学二轮复习课件3.3定积分的概念及运算.ppt

3.3 定积分 要点梳理 1.用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边 梯形的面积的具体步骤为 、 、 、 . 分割 近似代替 求和 取极限 基础知识 自主学习 2.定积分的定义 如果函数f(x)在区间a,b上连续，用分点将区 间a,b等分成n个小区间，在每个小区间上任取 一点i(i=1,2,n)，作和式 .当n 时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做 函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作 , 即 = ,其中f(x)称为 , x称为 ,f(x)dx称为 ， a,b为 ，a为 ，b为 ，“ ”称 为积分号. 被积函数 积分变量被积式 积分区间积分下限积分上限 3. 的实质 （1）当f(x)在区间a,b上大于0时， 表示 由 ，这也是定积分的几何意义. （2）当f(x)在区间a,b上小于0时， 表示 . (3)当f(x)在区间a,b上有正有负时， 表 示介于x=a，x=b (ab)之间x轴之上、下相应的曲 边梯形的面积的代数和. 直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成 的曲边梯形的面积 由直线x=a，x=b (ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的 曲边梯形的面积的相反数 4.定积分的运算性质 (1) = . (2) = . (3) = . 5.微积分基本定理 一般地，如果f（x）是区间a，b上的连续函数 ，并且F(x)=f(x),那么 . 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿莱 布尼兹公式.可以把F（b）-F（a）记为F(x) .即 (a c b) 6.利用牛顿莱布尼兹公式求定积分的关键是 ，可将基本初等函数的导数公式逆 向使用. 7.定积分的简单应用 （1）求曲边梯形的面积 （2）匀变速运动的路程公式 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速 度函数v=v(t) (v(t)0)在时间区间a,b上的 定积分，即s= . 求被 积函数的原函数 (3)变力作功公式 一物体在变力F（x）（单位：N）的作用下做直线 运动，如果物体沿着与F相同的方向从x=a移动到 x=b (ab)（单位：m),则力F所作的功为W= . 基础础自测测 1. sin xdx等于（） A.0B.2C.D.2 解析 =-cos-(-cos 0)=1+1=2. D x2(x0) 2x(x0)，则 f(x)dx的值是（） A. x2dxB. 2xdx C.x2dx+ 2xdxD. 2xdx+ x2dx 解析 由分段函数的定义及积分运算的性质知： D 2.设f(x)= 3.如图所示，函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭 合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积 是（） A.1B. C. D.2 y=-x2+2x+1 y=1， S= （-x2+2x+1-1）dx= （-x2+2x）dx B 由 解析 得x1=0,x2=2. 4.曲线y=cos x（0x )与坐标轴所围成的面积 是（） A.2B.3 C. D.4 解析 如图所示， B 5.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为 （x）=x3（取细棒的一端为原点，所在直线为x 轴），棒长为1，则棒的质量M为 （ ） A.1B. C. D. 解析 D 题型一 利用微积分基本定理求定积分 【例1】(1)(x2+2x+1) dx;(2) (sin x-cos x) dx; (3)（x-x2+ ）dx;(4) (cos x+ex) dx. 先由定积分的性质将其分解成各个简单 函数的定积分,再利用微积分基本定理求解. 解 (1) (x2+2x+1) dx =x2dx+ 2xdx+ 1dx = 思维启迪 题型分类 深度剖析 探究提高 计算一些简单的定积分，解题的步骤是 ：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余 弦函数、指数函数与常数的和或差；（2）把定积 分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定 积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函 数；（4）利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定 积分的值；（5）计算原始定积分的值. 计算 f(x)dx的关键是找到满足F(x)=f(x)的函数F （x）.其中F（x）可将基本初等函数的导数公式逆 向使用得到. 知能迁移1 求下列函数的定积分. (1) (4x3+3x2-x)dx; (2) （e2x+ ）dx; (3) sin2 dx. 解（1） (4x3+3x2-x) dx = (4x3)dx+ (3x2) dx- xdx = =(24-0)+(23-0)- (22-0) =16+8-2=22. 题型二 求分段函数的定积分 【例2】计算下列定积分. （1）|sin x|dx;(2) |x2-1|dx. 对于第（1）小题，应对在区间0，2 上的正、负进行分情况计算；而对于第（2）小 题，在0x2的条件下，对x2-1的正、负情况进行 讨论. 解 （1）（-cos x）=sin x， |sin x|dx= |sin x|dx+ |sin x|dx =-（cos -cos 0）+（cos 2-cos ）=4. 思维启迪 x2-1(1x2) 1-x2(0x1) |x2-1|dx= (1-x2)dx+ (x2-1)dx （2）0x2，于是|x2-1|= 当被积函数含有绝对值（或平方根）时 ，须按绝对值内的正、负号将定积分区间分段，然 后按区间的可加性逐段积分；同样，当被积函数为 分段函数时，也须按函数的定义的分段情形相应的 逐段积分. 探究提高 x3(0x1) (1x4), 2x-14 (4x5) 在区间0，5上的定积分； (2)求 |3-2x|dx; (3)求 知能迁移2 （1）求函数f(x)= 解 （1）由定积分性质知 (3)当x0, 时, =|sin x-cos x| -sin x+cos x （0x ） sin x-cos x （ x ） = , 题型三 求曲边梯形的面积 【例3】求由抛物线y=x2-1,直线x=2,y=0所围成的图 形的面积. 画出图象求出抛物线与x轴交点 用定积分求面积. 解 作出直线x=2,曲线y=x2-1 的草图,所求面积为图中阴影 部分的面积. 由x2-1=0得抛物线与x轴的 交点坐标是(-1,0)和(1,0), 因此所求图形的面积为 思维启迪 S= |x2-1|dx+ (x2-1)dx =(1-x2)dx+ (x2-1)dx 对于求平面图形的面积问题,应首先画 出平面图形的大概图形,然后根据图形特点,选择相 应的积分变量及被积函数,并确定被积区间. 探究提高 知能迁移3 求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面 图形的面积. y2=2x y=4-x （2，2）及(8,-4). 方法一 选x作为积分变量，由图可看出S=A1+A2 在A1部分：由于抛物线的上半支方程为y= , 下半支方程为y= ，所以 解 由方程组 解出抛物线和直线的交点为 方法二 选y作积分变量， 将曲线方程写为x= 及x=4-y. 题型四 定积分在物理中的应用 【例4】(12分)一辆汽车的速度时间曲线如图所示 ，求此汽车在这1 min内所行驶的路程. 由题意知，在t0，10）和t40 ，60）物体作匀变速直线运动，t10，40）作 匀速运动，v（t）应为分段函数，应分三段求积 分. 思维启迪 解 由速度时间曲线易知， 3t， t0，10） 30， t10，40） -1.5t+90， t40，60 4 分 由变速直线运动的路程公式可得 v（t）= 8分 11分 答 此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.12分 探究提高 用定积分解决变速运动的位置与路程问 题时，将物理问题转化为数学问题是关键.变速直 线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要 利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分 的和，即可得到答案，由于函数是分段函数，所以 运算过程可能稍微复杂些，因此在运算过程中一定 要细心，不要出现计算上的错误. 知能迁移4 一物体按规律x=bt3做直线运动,式中x为 时间t内通过的距离,媒质的阻力与速度的平方成正 比,试求物体由x=0运动到x=a时,阻力做的功. 解 物体的速度v=x(t)=(bt3)=3bt2, 媒质阻力f阻=kv2=k（3bt2）2=9kb2t4. （其中k为比例常数，k0) 当x=0时，t=0，当x=a时，t=t1= , 阻力做的功是： W阻=f阻dx= kv2vdt = v3dt= (3bt2)3dt= kb3t 方法与技巧 1.求定积分的方法 （1）利用定义求定积分（定义法），可操作性不强 . （2）利用微积分基本定理求定积分步骤如下： 求被积函数f（x）的一个原函数F（x）； 计算F（b）-F（a）. （3）利用定积分的几何意义求定积分 当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积 求定积分. 如：定积分 dx的几何意义是求单位圆面积 的 ，所以 思想方法 感悟提高 2.求曲边多边形的面积 其步骤为： （1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的 大致图象. （2）借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定 积分的上限、下限. （3）将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和. （4）计算定积分. 失误误与防范 1.被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段 积分. 2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁 是被积变量. 3.定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下 限. 4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意: 面积非负，而定积分的结果可以为负. 5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面 积的求解变得简捷. 一、选择题 1. （sin x+cos x）dx的值是（） A.0B. C.2D.4 C 解析 定时检测 2.若函数f(a)= （2+sin x)dx, 则f（f（ ）等 于 （） A.1B.0 C.2+3+cos 1D.1-cos 1 解析 f(a)= (2+sin x)dx =(2x-cos x)| =2a-cos a+1, f（ ）=+1, f（f（ ）=f(+1)=2(+1)-cos(+1)+1 =2+cos 1+3. C 3.若 (2x-3x2)dx=0,则k等于 （） A.0B.1 C.0或1D.以上均不对 解析 （2x-3x2）dx= 2xdx- 3x2dx =k2-k3=0，k=0或k=1. C x2， x0，1， 2-x，x（1，2， 4.设f（x）= f（x）dx等于（） A. B. C. D.不存在 解析 本题应画图求解，更为清晰， f（x）dx= x2dx+ （2-x）dx 则 C 5.曲线y=cos x(0x )与坐标轴围成的面积是 （） A.4B. C.3D.2 解析 先作出y=cos x（0x ）的图象，从图象 中可以看出 C 6.一物体在变力F（x）=5-x2（力单位：N，位移单 位：m）作用下，沿与F（x）成30方向作直线运 动，则由x=1运动到x=2时F（x）作的功为（） A. JB. JC. JD.2 J 解析 由于F（x）与位移方向成30角.如图：F在 位移方向上的分力F=Fcos 30, C 二、填空题 7. （1+cos x）dx= . 解析 (x+sin x)=1+cos x, (1+cos x)dx=(x+sin x) +2 8. (2xk+1)dx=2,则k= . 解析 9.(2008山东理，14)设函数f(x)=ax2+c (a0),若 f(x)dx=f(x0),0x01,则x0的值为 . 解析 (ax2+c)dx= a0, ,又0x01,x0= . 1 三、解答题 10.计算下列定积分 （1） （2） （3） 解 （1） (3) 11.已知f(x)为二次函数，且f(-1)=2,f(0)=0, f(x)dx=-2. （1）求f(x)的解析式； （2）求f(x)在-1，1上的最大值与最小值. 解 （1）设f(x)=ax2+bx+c (a0), 则f(x)=2ax+b. a-b+c=2 c=2-a b=0 b=0 f(x)=ax2+(2-a). 由f(-1)=2,f(0)=0,得 即，. 又 f(x)dx= ax2+(2-a)dx = ax3+(2-a)x| =2- a=-2. a=6，c=-4.从而f(x)=6x2-4. (2)f(x)=6x2-4,x-1,1, 所以当x=0时,f(x)min=-4;当x=1时,f(x)max=2. 12.如图所示，抛物线y=4-x2与直线y=3x的两交点为A 、 B，点P在抛物线上从A向B运动. (1)求使PAB的面积最大的P点的 坐标(a,b); (2)证明由抛物线与线段AB围成的 图形，被直线x=a分为面积相等的 两部分. y=4-x2 y=3x， 抛物线y=4-x2与直线y=3x的交点为 A（1，3），B（-4，-