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第六专题 万有引力定律与天体运动 解题知识与方法研究 疑难题解答研究 例题4(星球运动的阻力) 例题1(天体轨道的判定) 例题3(卫星“怪像”) 例题5(飞船着陆问题) 例题6(飞船和宇航站对接问题) 例题2(利用万有引力作用下的质点 运动求椭圆曲率半径) 一、对宇宙中复杂的天体受力运动的 简化 二、引力问题的基本运动方程 三、行星绕日运动的轨道与能量 例题7(双星问题) 一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化 (1)天体通常相距很远,故可将天体处理为质点. (2)很多时候,某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的: a、可将该两天体作为二体问题处理. b、施力天体由于某些原因(如质量相对很大)在某惯性系中可认为几乎不动,这 时问题很简单(我们通常讨论的就是这种情况). 二、引力问题的基本动力学方程 如图,行星m在太阳M的有心引力作用下运动. 行星的横向加速度 等于零. 有径向动力学方程 解题知识与方法研究 在太阳惯性参照系中,由牛顿运动定律和引力定律 此式变化后即得开普勒第二定律: 表明: 开普勒第二定律不过角动量守恒定律的特殊表现. 开普勒第二定律不仅适用于行星的椭圆运动也将 适用于有心引力作用下的任何行星轨道运动. 又因万有引力为保守力,故“太阳+行星”系统的机 械能守恒 当然,此方程也不限于 行星做椭圆轨道运动! 因为引力为有心力,故行星对太阳参考轴角动量 守恒 三、天体绕日运动的轨道与能量 根据万有引力定律和其他牛顿力学定律(角动 量守恒、机械能守恒等)可导出在如图的极坐标下 的绕日运动的天体的轨道方程: 轨道方程为一圆锥曲线方程: (1) (即开普勒第一定律); 总能量为: (2) 总能量为: (3) 总能量为: 自行计算出上述三个能量值! (能否不用高等数学?) 例1(天体轨道的判定) 如图,太阳系中星体A做半径为R1的圆运动,星体B作抛 物线运动. B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1,且两轨道在同一平面上,两星体运动方 向也相同. 设B运动到近日点时,A恰好运动到B与太阳连线上. A、B随即发生某种强烈 的相互作用而迅速合并成一个新的星体. 其间的质量损失可忽略. 试证明新星体绕太阳的 运动轨道为椭圆. 解计算新星体C的机械能. 在径向: 可认为在A、B靠拢过程中质心未动. 所以C到太阳的距离为 在切向:A、B合并过程中动量也守恒, 则有 研究式中的vA、vB: 因A作圆运动, 疑难题解答研究 所以 利用,C星体的机械能为 因此,新星体C的轨道为椭圆. 题后思考 本题能不能直接判断? EAm),距离为d,在引力作用 下绕不动的质心作圆周运动. 设这两颗星近似为质点. 在超新星爆炸中,质量为M的星体 损失质量M. 假设爆炸是瞬时的、球对称的,并且对残余体不施加任何作用力(或作用 力抵消),对另一颗星也无直接作用. 试求,在什么条件下,余下的新的双星系统仍被约 束而不相互远离. 解需计算爆炸后的总机械能. 如图,爆炸前两星绕质心旋转. 旋转的角速度 满足 爆炸后的瞬间,因球对称爆炸所以(M-M)位置、速度均不变. 无作用,故m的位置、速度也不变. 因爆炸对星体m也 旋转半径满足 新系统的质心C还在两星连线上的原处吗? 新系统的质心C还会静止吗? 新系统的势能为 新系统在新质心参照系中的动能为 由系统动量的质心表达可知新系统质心速度为 注意到式中的 所以 进而得到系统在新质心系中的动能为 新系统仍被约束的条件是 题后思考 以后两星还绕新质心作圆运动吗? (严格证明你的结论!) 另解 用二体问题折合质量法 爆炸前: 两星折合质量 两星折合质量等效的运动如图(a). 旋转的速度v 满足 爆炸后: 等效的运动如图(b). 新系统的势能 新系统的动能 代入系统约束的条件 解得 (b) (a) 题后思考 计算两体的引力势能时 为何不用折合质量? 两体问题 仅有两个质点组成的孤立系统,两个质点的质量为m1、m1,相互作用力大小为f, 从m1至m2的矢径为 . 对m2,由牛顿第二定律有 将(1)代入(2): 则有 (3)式表明,若取m1为参照系(一般不是惯性系,在此系中牛顿第二定律不成立) ,则在此参照系中m2的运动完全相同于质量为 的质点在中心力 的作用下按牛顿第二 定律所形成的运动,而无须考虑惯性力的作用. 取二者的质心C为参照系(惯性系). 设C到m1的矢径

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