统计与概率临考复习和命题建议.ppt

统计与概率 临考复习和命题建议 宝应县柳堡镇中学 石树伟 统计在日常生活有广泛的应用，统计 观念的形成有赖于经历统计活动的过程， 新课程中，对统计意识和用数据来说话的 理念非常重视，因此考试中加强统计内容 和统计观念的考查已成不可逆转的趋势， 教学中必须加强统计内容的教学和统计观 念的培养. 第一部份： 统计与概率的临考复习 一、进一步理清“统计与概率”领域知识之间 的内在联系，形成知识结构网络。 n即通常所说的书要由厚变薄，考前对所学知 识有一个整体把握，头脑清清爽爽上考场。 n形成知识结构网络，有利于学生对知识的存 储和记忆，有利于学生在考试时对所学知识 的提取和运用。 统 计 收集数据 媒体查询 亲自调查 普 查 抽样调查 抽样的基本要求 总体 个体 样本 整理数据 频数分布表 频数 频率 频数分布直方图 频数折线图 扇形统计图 分析数据 统计图表 阅读图表提取信息 统 计 量 集中程度 离散程度 加权平均数 平均数 中位数 众数 极差 方差 标准差 作出决策 用样本估计总体 作出判断和决测 回顾反思 样本选取 数据处理及表示 所得结论 概 率 事 件 确定事件 不确定事件 不可能事件 必然事件 机会的 大小比较 游戏的 公平与否 概 率 实验估计概率 分析预测概率 模拟等效实验 列举法 画树状图 列表 借助统计活动研究概率 从概率角度分析统计数据特征 统 计 概 率 n知识结构网络由教师提出大的思路，先让学 生自主尝试构建，然后再对照教科书补充完 善，最后师生之间进行比较交流。 n知识结构网络在复习时可多回忆书写几次， 以便加深印象。 n知识结构网络的再利用： 对照知识结构让学生自己复习回忆知识 点 对照知识结构让学生自己尝试编题交流 、猜测题型，加深对所学知识的理解。 二、针对“统计与概率”部分热点问题、薄弱 环节进行专题强化训练 建议各位老师将近几年各地中考试卷中的统计概率 试题收集分类，组织学生对薄弱环节进行专题强化训练 ，提高学生解答这类新题的能力，对我们扬州还没有出 现过的题型更需要关注。 n热点1: 统计图表及数据信息的提取 n热点2: 统计量 n热点3: 数据的收集 n热点4: 可能还是确定 n热点5: 概率及其应用 n热点6: 统计观念 热点1: 统计图表及数据信息的提取 趋势: 对于数据的表示，固然要求学生会制作有关 统计图表，但随着现代科技的发展，制作统计 图表的工作将越来越多地为计算机所代替. 因此 ，在有关技能考查中，图表的制作不再是考查 的重点所在，而对于图表制作原理的理解以及 图表信息的提取、图表的特点和选用等已成为 近年来考查的重点。 n对于数据信息的提取，在考查中可以以多种方式呈现， 可以呈现一些杂乱无章的数据，要求学生通过适当的方 法进行整理. n可以呈现初步整理的结果或比较规范的图表，要求学生 阅读图表提取信息. n可以呈现不完整的图表，要求学生根据题干中其他信息 补全相应的图表，这样既考查了学生对图表的理解以及 图表绘制的技能，同时工作量又不是很大，这不失为考 查学生制作统计图的技能的一种比较可行的办法. n可以呈现多个图表，要求学生从不同的图表中提取不同 的信息解决问题，关注对统计图表特点以及选择使用技 能的考查. n也可以以选择、填空题的形式，在实际问题情境中考查 各种统计图表的特点和选用. 例1在市政府举办的“迎奥运登山活动”中，参加崂山景区 登山活动的市民约有12000人，为统计参加活动人员的年龄情 况，我们从中随机抽取了100人的年龄作为样本，进行数据处 理，制成扇形统计图和条形统计图（部分）如下： （1）根据图提供的信息补全图； （2）参加登山活动的12000余名市民中，哪个年龄段的人数最多 ？ （3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想（不超过30字） n评析： 本题呈现不完整的图表，要求学生 根据题干中其他信息补全相应的图表， 这样既考查了学生对图表的理解以及图 表绘制的技能，同时工作量又不是很大 ，这不失为考查学生制作统计图的技能 的一种比较可行的办法. 例2宁波港是一个多功能、综合性的现代化大港，年货物 吞吐量位居中国大陆第二，世界排名第五，成功跻身于 国际大港行列如图是宁波港1994年2004年货物吞吐 量统计图 （1)从统计图中你能发现哪些信息，请说出两个； (2)有人断定宁波港货物吞吐量每两年问的年平均增长率 都不超过15，你认为他的说法正确吗?请说明理由 n【试题立意】 本题通过货物吞吐量的条形统计图的观察 ，着重考查学生从图中获取信息的能力和利用信息列出 方程并进行判断的能力及举反例的数学思想的了解情况. n【求解策略】如果对获取的信息没有限定，可从最低、 最高、增长趋势、增长幅度等角度提取信息.统计中很多 问题很难有统一的结论，只要合理即可，因此，在解答 时注意答案的开放性，切不可感到结果的不确定而无从 下笔。 对于要判断年平均增长率“都”不超过15的说法正 确，通常可先从否定的角度进行思考，看能否找出反例 ；如果找不出反例，则可认为是正确的.从统计图知货物 吞吐量每年都在增长，2002年、2004年的货物吞吐量 是15398吨、22000吨.设从2002年2004年年均每年的 增长率为x，则15398（1x）222000，解得 x10.195，x22.195（舍去），因为0.19519.5 15，所以，可以认为他的说法不正确. n【复习启示】统计问题的表现有两种形式，一 是单纯的统计问题本身，一是与其他有关领域 知识发生一定的联系.本题就是这样，将统计问 题与方程问题有机地结合起来，考查学生数 形结合思想、方程思想等核心的数学内容， 以统计图为基础，从统计图中获取信息，并以 所获得的信息来分析问题，用数字说话，而不 停留在单纯的观察上，这对于培养学生的科学 的态度，沟通不同领域内容的联系，都是有好 处的，既使统计问题丰富多彩，也使学生对数 学获得更深刻的认识，因此，适当地选取类似 这样的题目让学生练习是有价值的. n【相近试题】 05浙江金华 05南京 热点2: 统计量 n刻画数据集中水平的统计量 -平均数、中位数、众数 刻画数据波动情况的统计量 -极差、标准差、方差 n趋势: 对于这些统计量的考查，固然需要学 生进行有关统计量的计算，但考查重点不应 是概念的记忆与运算，而应更多的考查学生 基于统计量计算基础上对统计量现实意义的 理解或者统计量的选择使用等。 n设计一定的问题情境，让学生在具体问题情境 中自主选择适当的统计量从而解决具体问题。 n以统计图表呈现数据，从统计图表中提取数据 信息计算各种统计量，并选择合适的统计量反 映这组数据的真实状况。 n单纯的统计量计算工作将越来越多地为计算机 所代替. 因此，各种统计量概念的记忆与运算不 应是考查的重点所在，而对统计量概念及现实 意义的理解应成为考查的重点。 例3小明和小华去练习射箭，第一局12支箭射完 时，两人的成绩如下图所示。通常新手的成绩 不太稳定，请根据上述图中的信息来估计小明 和小华谁是新手?请说明你的理由 n评析：本题通过具体现实问题和图形呈现了两 个同学的射箭成绩，要求学生评判谁是新手， 也就是说谁的射箭成绩不够稳定，因而就自然 要求学生根据实际问题的意义对稳定性进行数 学表示。通篇没有一处说明需要用什么数学知 识，但基于实际背景的分析，学生不难想到刻 画数据波动水平的几个统计量，因而是考查极 差、标准差、方差这几个概念的很好的范例。 同时，以统计图呈现数据，也有助于从图形直 观上理解相关数学概念。 本题虽然有统计量的计算，但计算不繁 杂，而且算得有意义（有一定的任务背景）。 例4.王兰、李州两位同学初三学年次数学单元自我检 测的成绩（成绩均为整数，且个位数取）分别如图 所示，利用图中提供的信息，解答下列问题: （）完成下表： （）如果将分以上 （含分）的成绩视为 优秀，则优秀率高的同学 是 （）根据图表信息，请 你对这两位同学各提一条 学习建议 姓名平均成绩中位数众数方差 王兰8060 李州8090 n【试题立意】本题通过测验成绩分布图来考查 学生对坐标的认识、平均数、中位数、众数、 方差、优秀率的计算和对统计结果的解释、运 用水平. n【求解策略】第（1）、（2）问，根据各自的 意义计算；第（3）问，根据统计图、结合所完 成的表格和算出的优秀率，针对各自的特点提 出不同的建议.第（3）问中，王兰的平均数、中 位数、众数都是80，比较稳定但总体水平不高 ，因此，给王兰的建议可以是：努力将学习成 绩提高到一个新的水平；李州的中位数是85， 方差是260，成绩不稳定，所以，给李州的建议 可以是：努力使成绩保持稳定，等等. n【复习启示】 统计教学既要有统计量的计算，更要 有对统计结果的合理解释与正确运用，这是 新课程对统计内容所赋予的新的定位，也是 统计学科本身的特点所决定的. 复习教学中 对于这一点应给予高度关注、领会并执行. n 例5.学校请一位专家到校举办一次讲座，该专家备有4 个专题，为确定讲哪一个专题学生更感兴趣，决定对学 生进行调查，并对调查的数据进行处理，确定专家选讲 专题的依据是调查后数据的（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 n例6.有十五位同学参加智力竞赛，且他们的分数互不相 同，取八位同学进入决赛，某人知道了自己的分数后， 还需知道这十五位同学的分数的什么量，就能判断他能 不能进入决赛 A、平均数 B、众数 C、最高分数 D、中位数 n【试题立意】本题取材于考生实际，试题背景自然 亲切，有效地考查了统计量的意义和学生对统计中 常见统计量（如平均数、中位数、众数、方差）的 理解水平，而不只是局限于以往的单纯的数字计算 ，可使学生领略“数学就在我们身边，处处可用数学 知识” n【求解策略】根据统计量（平均数、中位数、众数 、方差）的意义，结合问题情景进行识别、确定， 选B和D n【相近试题】将试题情景作适当改变，就可编出其 他的试题，如下面的试题（四川绵阳题）： 从某市5000名初三学生中，随机地抽取100名学生 ，测得他们所穿鞋的鞋号（单位：公分）由小到大排列 得到一个样本，则这个样本数据的平均数、中位数、众 数和方差四个指标中，鞋厂最感兴趣的指标是（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 n【复习启示】平均数、中位数、众数是用来刻画数 据平均水平的统计量，方差、标准差是用来刻画数 据波动情况的统计量，对于这些概念掌握情况的考 查，重点不应放在概念的记忆与公式的计算方面， 而应侧重于对这些概念的理解与运用，试题的设置 就体现出了这一点因此，在复习中，也可考虑设 计一定的问题情景，让学生在处理具体问题时学会 选择、运用适当的统计量，从而真正辨别、理解各 统计量的区别与用途，达到真正掌握和正确运用的 目的 热点3: 数据的收集 n趋势: 以填空、选择的形式，考查具体的 问题情境下调查方式的选择、样本抽取的 方式是否合适、可行. n例7、下列调查方式合适的是 ( ) A为了了解炮弹的杀伤力，采用普查的方式 B为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查 的方式 C为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样 调查的方式 D对载人航天器“神舟六号”零部件的检查， 采用抽样调查的方式 例8.下列抽样调查： 某环保网站就“是否支持使用可回收塑料购物袋”进行 网上调查; 某电脑生产商到当地一私立学校向学生调查学生电脑的 定价接受程度; 为检查过往车辆的超载情况，交警在公路上每隔十辆车 检查一辆; 为了解中考指要在学生复习用书中受欢迎的程度， 随机抽取几个学校的初三年级中的几个班级作调查. 其中选取样本的方法合适的有：（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 例9.列举一个需要普查的例子：_, 列举一个需要抽样调查的例子：_. 热点4: 可能还是确定 n趋势: 联系生活实际，以填空、选择的形 式，考查各种事件发生的类型，特别要注 意 “按要求举例”这一类试题,让学生主动寻 求知识的实际背景,探索其应用价值,从另一 角度更为真实地考查学生的应用意识,让学生 用数学的眼光看世界. n例10、抛掷两枚分别标有1，2，3，4的四面体骰 子，写出这个实验中的一个可能事件是 ； 写出这个实验中的一个必然事件是 _; 写出这个实验中的一个不可能事件是 _。 n评析： 例10的命题意图是在知识意义的自我建构中考 查学生对知识的理解水平.对数学知识理解水平的 考查，除了关注其从实际问题中的抽象过程外， 还可以要求学生自主寻求知识的现实意义或者数 学意义，从而自我建构数学知识。这既是反映学 生的知识理解水平的一个尺度，也是数学应用意 识的一种外在表现。 热点5: 概率及其应用 实验估计概率 n概率 分析预测概率 n趋势: 能够借助概率模型或通过设计具体活动 解释、估计、预测一些事件发生的概率. 联系生活实际，注意它的应用性和趣味 性. n能够预测分析一些简单事件发生的概率，这 些事件可以来自生活实际，也可以与学生已 经学过的数学学科其他领域的知识有关. n应用大量重复实验中的频率与事件发生的概 率之间的关系设计一些应用性和趣味性较强 的问题，并设计等效的模拟实验方案. n灵活运用列举法计算简单事件发生的概率， 解决一些实际问题. n比较事件发生概率的大小，判断游戏公平与 否，若不公平，修改游戏规则使游戏公平. 例11、四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边 三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的 恰好是中心对称图形的概率为( ) A1/4 B1/2 C3/4 D1 例12一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4 ，5，6右图是这个立方体表面的展开图抛掷这个立 方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的 概率是（ ） A、1/6 B、1/3 C、1/2 D、2/3 例13.如图，某商场设立了一个可以自由转动的转 盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动 转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就 可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统 计数据： (1)计算并完成表格； (2)请估计当n很大时，频率将会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得可乐的概率是多少？在该转 盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ (4)如果转盘被一位小朋友不小心损坏, 请你设计一个等效的模拟 实验方案(要求交代清楚替代工具和游戏规则). 转动转盘的次数n1001502005008001000 落在“铅笔”的次数m68111136345564701 落在“铅笔”的频率 m/n n评析：本题意在考查学生频率与概率之间的 关系,以及应用概率知识解决实际问题的能力 .只要平时重视动手操作实验,那么对频率与 概率之间的关系就会有深刻的认识和体会,解 决小题就不会有太大困难.这就要求我们 在平时的统计概率教学中,不能忽略学生的动 手操作实验,概率的意义、统计观念只有在学 生的动手操作实验中才能形成. 例14. 两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该 风景区有三辆汽车（票价相同），但是他们不知道 这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序， 两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开 来的第一辆车，而乙则总是先观察后上车，当第一 辆车开过来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适 状况如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第 二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三 辆车 如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三 等，请尝试解决下列问题： （1）三辆车按出现的先后顺序共有几种不同的可能？ （2）你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自 己乘坐上等车的可能性大？为什么？ n【求解策略】在仔细读题的基础上，发现问题中所隐含 的数学模型，并用这一模型来解决问题学生在解决一 些应用性问题时往往会有这样一种感觉，尽管与解题相 联系的数学概念和原理相差无几，但问题所处的情境和 背景越是具有现实意义的、越是自己平时见过但从没有 想过的、越是新颖和不熟悉的，解决这样的问题通常就 越难这个“难”不是难在某个特定的解题技巧，而是难 在对现实情境的思考和表征：把问题的现实情境符号化 ，或者建立一个与之等价的数学模型本题的最大难点 即在于此我们容易想到用A、B、C分别表示三辆车的 舒适程度上、中、下三等，接着用树状图得到车辆出现 的先后顺序的所有情况,于是原题中所有可能的情形即能 被符号化为：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA， 共计6种可能，其中能使甲乘坐上等车的所有情形是 ABC、ACB；能使乙乘坐上等车的所有情形是BAC、 BCA、CAB因为6种情形出现的可能性相等，所以甲 坐上等车的概率是2/6=1/3，乙坐上等车的概率是 3/6=1/2 n【试题立意】本题创设甲、乙两人两种选车方 案的生动情景，意在考查学生用概率的观点来 分析问题、做出决策的思维水平，重在考查学 生灵活地运用“画树状图法”或列表法求得事件的 概率 n【复习启示】概率是日常生活中的常见现象， 学会用概率的观点、随机观念来观察、分析问 题，常能走出凭主观臆想做出决策的误区，因 此，学习概率对科学决策、提升数学素养的意 义是很大的同时，概率是一个与确定数学有 明显差异的、较难理解的数学概念，本题的设 计回避了对问题解决的思路作出任何暗示，需 要学生根据实际问题的分析来发现其中所隐含 的数学模型，这是一种做数学的要求.因此，复 习中多让学生思考、讨论是有效的、必需的 概率问题中，有许多有用的基本模型类似 代数中的公式与几何中的基本图形，模型理解 透了，就自然提高了运用水平与解决问题的能 力 热点6: 统计观念 趋势: 统计观念是统计意识、统计技能以及评 判质疑能力的一个统一体，因而统计观念的 发展与考查过程中都离不开统计技能，在前 面我们已经阐述了统计相关技能的考查，这 里主要关注对统计意识和评判质疑能力等方 面的考察。具体包括： n能意识到做一个合理的决策需要借助统计活 动去收集信息； n面对数据时能对它的来源、处理方法和由此 而得到的推测性结论做合理的质疑等。 (1)对于统计意识的考查，一般可以设计一个任 务，要求学生自主解决，从学生的解答中观 察学生是否能主动地从统计的角度思考问题 ，是否掌握用样本估计总体的思想. 例15、一只不透明的口袋内装有红、黄、白三 种颜色的球共10只，不允许打开口袋观看， 你能设计一个实验估计口袋内各种颜色的球 的数目吗？说说你的实验方案。 例16、某市电信局对计算机拨号上网提供三种付费 方式供用户选择（每个用户只能选择其中一种付 费方式）：甲种方式是按实际用时付费，每小时 付信息费4元，另加付电话费每小时1元2角；乙 种方式是包月制，每用付信息费100元，同样加 付电话费每小时1元2角；丙种方式也是包月制， 每月付信息费150元，但不必另付电话费，某用 户为选择适合的付费方式，连续记录了7天中每 天上网所花的时间如下（单位:分钟） ： 62, 40, 35, 74, 27, 60, 80 根据上述情况，该用户选择哪种付费方式比 较合算？请你帮助选择，并说明理由（每月按30 天计算）. 例17、某学校招聘教师时要在张、王两位老师中选择一位， 现从面试、理论考试、上课三个方面对他们进行考核，考 核结果如下表所示： 统计两人的总分，谁的总分高就招聘谁，你认为这样挑选 合适吗？为什么？ 对上述考核成绩，请你提出一个统计计算的方案。按照你 的方案这个学校应该招聘哪位老师？ 评析:本例告诉我们应意识到不同的指标重要程度不同，应 为各个指标设定一个占分比例（即权重意识）。 面试理论考试上课 满 分100100100 张老师908580 王老师758590 (2)对于评判质疑能力的考查，一般可以呈现一 些具体的统计活动或者活动的有关结论、甚 至一些争议等，要求学生进行适当的评析， 这样做既可以考查学生利用统计知识解决实 际问题的能力，也具有一定的现实意义。 例18、A、B两布袋中装有除颜色外其他都相同 的红、白两种玻璃球，A袋中装有2只红球和6 只白球，B袋中装有10只红球和30只白球，有 甲、乙二人分别从A、B两袋中去摸球，每次 摸1只看一下放回袋中搅匀，继续摸，两人摸 的次数相同，乙摸到红球的机会一定比甲摸 到红球的机会大吗？谈谈你的看法。 例19、某校初三(1)班、(2)班各有49名学生，两班在 一次数学测验中的成绩统计如下表： (1)请你对下面的一段话给予简要分析：初三(1)班的 小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均 79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里可算 上游了!” (2)请你根据表中的数据，对这两个班的测验情况进 行简要分析，并提出教学建议。 班 级平均分众数中位数标准差 初三(1)班79708719.8 初三(2)班7970795.2 例20某公司2001年的利润是2100万元，2002年的利润是 2400万元，在2002年底召开的股东大会上，该公司提 供给广大股民的财务报表中选用了图1.1的一幅条形图 来说明盈利情况。 (1)公司绘制的条形图希望说明什么？它的画法是否合理 ？为什么？ （2）画一幅你认为合理的条形图。 （3）比较两幅不同的条形图产生的视觉效果，如果你是 股民更希望看到哪一幅条形图？为什么？ (3)关注学生解决问题策略与反思能力的考查， 引导学生对解决问题的过程和问题的最终结 果进行反思。例如，反思结果的正确性与合 理性，反思自己的思维过程，反思在问题解 决中所遇到的困难以及解决的方法，反思这 些问题与日常生活或者以前所解决其他问题 的联系，反思解决问题各个方案的优缺点和 相互关系，反思该问题解决中的方法并迁移 使用，反思问题本身并进行引申拓广等。 例21、小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了 半径分别2和3的同心圆（如左图），蒙上眼在 一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否 则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判。 你认为游戏公平吗？为什么？ 游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率 估计概率的方法，来估算某一不规则图形（如右图 ）的面积呢？”。请你设计方案，解决这一问题。 （要求补充完整图形，说明设计步骤、原理，写出 估算公式） 三、引导学生做好解题后的反思和 总结. n易错分析 题不二错 用好错题集 错题要归类订正,特别要做好易错分析,写下注意点, 如：确定事件不仅仅指必然事件, 还包括不可能事件 n规律总结 举一反三 提高解题效益 如：常见概率模型的归纳小结 有返回摸 无返回摸 面积模型 例22、口袋中装有1个红球和2个白球，有返回地 摸出两个球： 正： 摸出球1 红 白 白 摸出球2 红 白 白 红 白 白 红 白 白 误： 摸出球1 红 白 摸出球2