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选修4-4 坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系 考纲纲 考情 广东东五年2考 高考指数: 1.理解坐标标系的作用,了解在平面直角坐标标系伸缩变缩变 换换作用下平面图图形的变变化情况 2.能在极坐标标系中用极坐标标表示点的位置,理解在极 坐标标系和平面直角坐标标系中表示点的位置的区别别,能 进进行极坐标标和直角坐标标的互化 3.能在极坐标标系中给给出简单图简单图 形(如过过极点的直线线、 过过极点的圆圆或圆圆心在极点的圆圆)的方程,理解用方程 表示平面图图形时选择时选择 适当坐标标系的意义义 五年 考题题 2013 T14 2010 T15 考情 播报报 1.直角坐标标系与极坐标标系是历历年高考命题题的热热点 2.直线线与圆圆的极坐标标方程与直角坐标标方程的相互转转 化是重点 3.以填空题题形式出现现,难难度不大 【知识识梳理】 1.平面直角坐标标系中的坐标标伸缩变换缩变换 设设点P(x,y)是平面直角坐标标系中的任意一点,在变换变换 : 的作用下,点P(x,y)对应对应 到点P(x,y), 称为为平面直角坐标标系中的坐标标伸缩变换缩变换 ,简简称伸缩变换缩变换 . 2.极坐标标系与点的极坐标标 (1)极坐标标系:在平面内取一个定点O,叫做_,自极点O引一 条射线线Ox,叫做_;再选选定一个长长度单单位、一个角度单单位(通 常取弧度)及其正方向(通常取逆时针时针 方向),就建立了极坐标标系. (2)点的极坐标标:对对于极坐标标系所在平面内的任一点M,若设设 |OM|=(0),以极轴轴Ox为为始边边,射线线OM为终边为终边 的角为为, 则则点M可用有序数对对_表示. 极点 极轴轴 (,) (3)极坐标标与直角坐标标的互化公式: 在平面直角坐标标系xOy中,以O为为极点,射线线Ox的正方向为为极轴轴, 取相同的长长度单单位,建立极坐标标系.设设点P的直角坐标为标为 (x,y), 它的极坐标为标为 (,),则则相互转转化公式为为 cos sin x2+y2 3.直线的极坐标方程 (1)特殊位置的直线的极坐标方程: 直线线极坐标标方程图图形 过过极点,倾倾斜角为为=_(R)或 =_(R) (=_和=_ (0) + + 直线线极坐标标方程图图形 过过点(a,0),与极轴轴 垂直 _=a 过过点 与极轴轴平行 _=a(00,R,将直角坐标M(3,3 )化为极坐标为 _. 【解题视点】(1)由公式 计算点的直角坐标. (2)由公式 先求极径，再求极角. 【规范解答】(1)由公式 得 所以点M的直角坐标为( ,1). (2)由公式 得 当0,2)时，有= .又0,R， 所以点M的极坐标为(6， +2k),kZ. 答案：(1)( ,1) (2)(6， +2k),kZ 【易错警示】注意极角的取值范围 由点的直角坐标化为极坐标可能不惟一，这可以由极角的取值 范围进行确定.如本例(2)若限定0,0,2)，则直角 坐标M(3,3 )化为极坐标为(6， ). 【规律方法】直角坐标化为极坐标的关注点 (1)根据终边相同的角的意义，角的表示方法具有周期性， 故点M的极坐标(，)的形式不惟一，即一个点的极坐标有 无穷多个. 当限定0，0,2)时，除极点外，点M的极坐标是惟 一的. (2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角应注意判断点M 所在的象限(即角的终边的位置)，以便正确地求出角 0,2)的值. 提醒:极点O的极坐标为(0，)，为任意值，但一般取=0 ，即极点的极坐标为(0，0). 【变式训练】(1)将点的极坐标(, )化为直角坐标为_. (2)若0,0,2),将点的直角坐标(1,1)化为极 坐标为_. 【解析】(1)由公式 得 x=cos =0，y=sin =， 所以点的极坐标(, )化为直角坐标为(0,). (2)由公式 得 tan = =1, 点(1,1)在第三象限, 所以= . 所以点(1,1)的极坐标为 答案：(1)(0,) (2) 考点3 直线与圆的极坐标方程 【典例3】(1)(2013北京高考)在极坐标系中，点(2, ) 到直线sin =2的距离等于_. (2)(2014中山模拟)在极坐标系中，过点 作圆 =4sin 的切线，则切线的极坐标方程为_. 【解题视点】(1)转化为直角坐标和直角坐标方程进行计算. (2)将点的极坐标化为直角坐标，圆的极坐标方程化为直角坐 标方程，判断点与圆的位置关系，再求切线方程. 【规范解答】(1)极坐标系中点(2, )对应直角坐标系中坐标 为( ,1)，极坐标方程sin =2对应直角坐标系中的直线 方程为y=2，所以点( ,1)到直线y=2的距离为1. (2)将点的极坐标 化为直角坐标为(2,2)，将圆的极坐 标方程=4sin 化为直角坐标方程为x2+y2-4y=0，配方，得 x2+(y2)2=4， 圆经过点(2,2)，所以过点(2,2)的圆的切线方程为x=2，化为 极坐标方程为cos =2. 答案：(1)1 (2)cos =2 【规律方法】 1.解决有关极坐标方程问题的一般思路 由于根据极坐标方程不容易确定方程的曲线形状与位置关系， 所以常常把极坐标方程化为直角坐标方程求解. 2.将极坐标方程化为直角坐标方程的使用公式 因为直线和曲线是满足某种条件的点的集合，所以将极坐标方 程化为直角坐标方程的公式仍然用点的极坐标化为直角坐标的 公式y=sin ,x=cos . 【变式训练】(2013天津高考)已知圆的极坐标方程为= 4cos ,圆心为C,点P的极坐标为(4, ),则|CP|=_. 【解析】方法一：将圆的极坐标方程=4cos 化为直角坐 标方程为x2+y24x=0，标准方程为(x2)2+y2=4，圆心为 C(2,0)，将点P的极坐标(4, )化为直角坐标为(2,2 ),则 |CP|=2 . 方法二：如图, 由圆的极坐标方程为=4cos 知|OC|=2, 又因为点P的极坐标为(4, ),所以|OP|=4, POC= ,在POC中,由余弦定理得 |CP|2=|OP|2+|OC|22|OP|OC|cos =16+4-242 =12,所以|CP|=2 . 答案：2 【加固训练】(2013湛江模拟)圆C的极坐标方程为= 2cos -2 sin (02)，则圆心的极坐标为 _. 【解析