医药数理统计-6.ppt

通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整 地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机 变量某些方面的重要特征的一些数值。 3.1 随机变量的数学期望； 3.2 随机变量的方差 ； 本章内容： 数字特征 第三章 随机变量的数字特征 定义 设离散型随机变量X的概率分布为 PX = xk = pk ， k =1,2,3 若级数 ，则称级数和 为随机变量 X 的数学期望（或均值）， 记作E（X） 随机变量 X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的， 而不应受 X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求 否则，称随机变量的数学期望不存在 解 易知 X 1 3 P 0.4 0.6 例1 设随机变量X的分布列为 求 若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为 0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一 次扣1分，则 E(X) = 1.4 是指甲队平均每次可得分 定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 说明：如果积分 不收敛 ，则称随机变 量X的数学期望不存在。 收敛，则称积分值 为X的数学期望（或 均值）。记作E(X)， 2. 连续型随机变量的数学期望 试证X的数学期望不存在 证 因为 例2 设随机变量X 服从柯西分布,其密度函数为 即 不收敛，所以X的数学期望不存在 求X的数学期望（page 56）. 例3 设随机变量X的概率密度函数为 解 3. 随机变量函数的数学期望 如果级数 收敛，则有 定理3 设X是随机变量，Y = g(X)是X的连续函数，则有 (1) 若 为离散型变量，其概率函数为 (2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x), 如果积分 收敛 则有 求E(X2)及E(2X-1). 例3.5 设随机变量X的概率密度函数为 证 可将C看成离散型随机变量，分布律为 PX=C=1，故由定 义即得E(C)=C. 2. 设C为常数，X为随机变量，则有E(CX)=CE(X) 证 设X的密度函数为 ，则有 3. 设 为任意两个随机变量，都有 1. 设C为常数，则有E(C)=C 4. 数学期望的性质 4. 设X, Y为相互独立的随机变量，则有 注：3、4可以推广到有限个的情形 解: 二项分布的均值 Poisson 分布 解: 解: 均匀分布 指数分布 解: 常见随机变量的数学期望 分布 期望概率分布 参数为p 的 0-1分布 p B(n,p) np P() 分布 期望 概率密度 区间(a,b)上的 均匀分布 E() N(, 2) 例 为普查某种疾病, n 个人需验血, 可采用两种 方法验血： (1) 分别化验每个人的血, 共需化验 n 次； (2) 将 k 个人的血混合在一起化验，若化验结果为阴 性, 则此 k 个人的血只需化验一次；若为阳性, 则 对 k 个人的血逐个化验，找出有病者, 这时 k 个人 的血需化验 k + 1 次. 设某地区化验呈阳性的概率为p，且每个人是否为阳 性是相互独立的.试说明选择哪一种方法可以减少化 验次数 为简单计，设 n 是 k 的倍数，设共分成 n / k 组 第 i 组需化验的次数为X i Xi P 1 k + 1 解: 若则EX n 例如， 中位数、众数和分位点 定义 定义 定义 例 例 解: 解: 双侧 分位数的概念 设X 为连续型随机变量,其概率密度函数为f ( x ) 则对于满足 0 1/2 的 , 则称 x /2 为X 所服从的分布的双侧 分位数 若 标准正态分布的上 分位数 z u 常用 数字 /2 -u/2 = u1-/2 /2 u/2 -u/2 四分位数指 例：page63 例3.11 若E X - E(X)2 存在, 则称其为随机 称为 X 的均方差或标准差. 方差的定义 定义1 即 V(X ) = E X - E(X)2 变量 X 的方差, 记为V (X ) 或 Var (X ) 两者量纲相同 D(X ) 描述 随机变量 X 的取值偏离 平均值的平均偏离程度 数 若 X 为离散型 随机变量，分布律为 若 X 为连续型随机变量 ，概率密度为 f (x) 计算方差的常用公式： (1) V (C) = 0 (2) V (aX ) = a2V(X) （3）若X ,Y 相互独立，则 方差的性质 若相互独立， 为常数 则 常见随机变量的方差(P.70 ) 分布 方差概率分布 参数为p 的 0-1分布 p(1-p) B(n,p)np(1-p) P() 分布 方差概率密度 区间(a,b)上 的均匀分布 E() N(, 2) 例1 设X P (), 求V ( X ). 解 方差的计算 例2 设X B( n , p)，求V(X ). 解引入随机变量 相互独立， 故 例3 设 X N ( , 2), 求 V( X ) 解 仅知 r.