导数在研究函数中的应用.doc

导数在研究函数中的应用编稿；周尚达 审稿：张扬 责编：严春梅目标认知学习目标：1会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 （多项式函数一般不超过三次）. 2了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用 导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）.3会求闭区间上函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）.重点：利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值。难点：函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.学习策略：理解导函数的符号与函数单调性之间的必然关系。数形结合，体会函数极值与最值的含义。紧紧抓住导函数为0的点，讨论函数的单调区间、极值和最值。知识要点梳理知识点一：函数的单调性(一) 导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，若，则在这个区间上为增函数；若，则在这个区间上为减函数；若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）注意：1因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数 在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区 间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。2若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的 情形完全类似）。即在某区间上，在这个区间上为增函数； 在这个区间上为减函数，但反之不成立。在某区间上为增函数在该区间； 在某区间上为减函数在该区间。在区间(a,b)内，（或）是在 区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！ 例如：而f(x)在R上递增.3只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.4注意导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：1. 确定函数的定义域；2. 求导数；3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区 间上为增函数；当时在相应区间上为减函数. 或者令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无 定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小 区间，判断在各个小区间内的符号。4. 写出的单调区间.注意：1求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。2求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。知识点二：函数的极值（一）函数的极值的定义一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值， 记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值， 记作.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.注意：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可 能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大 或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整 个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值 的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）求函数极值的的基本步骤：确定函数的定义域；求导数；求方程的根；检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)注意：可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，但x=0不是函数的极值点.可导函数在点取得极值的充要条件是且在两侧，的符号相异。知识点三：函数的最值（一） 函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.注意：函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。函数的极值可以有多个，但最值只有一个。（二）求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数 在闭区间上的最小值.注意：求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.（三）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：（1）认知、立式： 分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；（2）探求最值： 立足函数的定义域，探求函数的最值；（3）检验、作答： 利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个 点满足，并且在点处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小） 值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值.规律方法指导1利用导数讨论函数的单调区间应注意的问题利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D.若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定的x的取值范围为B，则应有.如.在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！即在某区间上，在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。2最值与极值的区别与联系函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念。最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.经典例题透析类型一：利用导数解决函数的单调性问题1设函数的图象与直线相切于点（1，11）.（1）求a，b的值；（2）讨论函数的单调性.思路点拨：先求函数的表达式，再利用导数确定函数的单调区间.解析：（1） 的图象与直线相切于点（1，11）. ，即 解之得a=1，b=3.（2）由（1），得. 令，解得x3或x1. 令，解得1x3. 当x（，1）和x（3，+）时，是增函数. 当x（1，3）时，是减函数.总结升华：利用导数求函数单调区间的基本步骤： 确定函数的定义域；求导数；在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.写出的单调区间.举一反三：【变式1】求函数的单调递增区间.【答案】 令，解得：或， 故函数的单调递增区间是，.【变式2】当时，求证：函数是单调递减函数.【答案】 ， 故函数在上是单调递减函数.【变式3】在下列所给区间中，使函数是增函数的区间为（ ）.A B C D【答案】B ；解析：，若在某区间是增函数，只需在此区间大于等于 0（不恒等于0）即可.只有当时恒成立. 只有B符合题意，2已知aR，求函数的单调区间.思路点拨：已知函数解析式中含字母，需分类讨论.解析：.（1）当a=0时， 若x0，则；若x0，则. 所以，当a=0时， 函数在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（2）当a0时， 由2x+ax20，解得或x0；由2x+ax20，解得. 所以，当a0时， 函数在区间内为增函数， 在区间内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（3）当a0时， 由2x+ax20，解得；由2x+ax20，解得x0或. 所以，当a0时， 函数在区间（，0）内为减函数， 在区间内为增函数，在区间内为减函数.举一反三：【变式1】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.【答案】（1）当时，则恒成立， 此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意；（2）当时， ， 当时，函数有三个单调区间， 增区间为：； 减区间为：，.【变式2】已知f(x)=x2+1, g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-lf(x), 试问：是否存在实数l，使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.【答案】假设存在实数l满足题设. F(x)=g(x)-lf(x)=(x4+2x2+2)-l(x2+1)=x4-(l-2)x2+(2-l), F(x)=4x3-2(l-2)x, 令4x3-2(l-2)x=0, （1）若l2，则x=0. 当x(-,0)时，F(x)0；当x(0,+)时，F(x)0. F(x)在(-,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增，显然不符合题设. （2）若l2，则x=0或， 当时，F(x)0；当时，F(x)0； 当时，F(x)0；当时，F(x)0. F(x)的单调增区间是， 单调减区间是，. 要使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数， 则，即l=4. 故存在实数l=4，使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.类型二：利用导数解决函数的极值问题3求函数的极值.解析：令，解得，或当x变化时，与的变化情况如下表：3(3，+)+00+ 极大值极小值在处取得极大值，在处取得极小值.总结升华：利用导数求函数极值的的基本步骤：确定函数的定义域；求导数；求方程的根；列表，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.举一反三：【变式1】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A。【变式2】求函数的极值.【答案】 令，解得或 当x变化时，与的变化情况如下表：1(1，+)+00+极大值极小值 在处取得极大值， 在处取得极小值.4. 已知函数在处取得极值，求函数以及的极大值和极小值.思路点拨： 先求函数的表达式，再求极值.解析：依题意，即，令，得x=-1或x=1，当x变化时，与的变化情况如下表：1(1，+)+00+极大值极小值在处取得极大值，在处取得极小值.总结升华：利用“在处取得极值，则必有导数”是本题的破题关键.举一反三：【变式1】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值.【答案】依题意得方程组解得.当a=-3,b=3时，令得x=1.x(-,1)1(1,+)+0+无极值显然a=-3, b=3不合题意，舍去.当a=4, b=-11时，f(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11)令得或 x=1.x1（1，+）+0-0+极大值极小值f(x)在x=1处有极小值10，合题意，a=4, b=-11.【变式2】已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.（1）求常数的值；（2）求的极值.【答案】，令得方程 在处取得极值 或为上述方程的根， ，即 当时，（不符合题意） 当时，当x变化时，与的变化情况如下表：1(1，+)+00+极大值极小值 在处取得极大值，在处取得极小值. 由题意得， 整理得，又 联立，解得， 由表知道：， 当时，当x变化时，与的变化情况如下表： 当x变化时，与的变化情况如下表：1(1，+)-0+0-极小值极大值 在处取得极小值，在处取得极大值. 由题意得， 整理得，又 联立，解得， ， 综上可得： （），或， （）当，时， 当，时，【变式3】已知函数，其中aR.（1）当a=1时，求曲线在点处的切线方程；（2）当a0时，求函数的单调区间与极值.【答案】（1）当a=1时， 又，. 所以，曲线在点处的切线方程为， 即6x+25y32=0.（2）. 由于a0，令，得到x1=a， 以下分两种情况讨论. 当a0时，当x变化时，的变化情况如下表：x（，a）a00极大值极小值 所以在区间（，a），内为增函数，在区间内为减函数. 函数在处取得极小值且. 函数在x=a处取得极大值，且. 当a0时，当x变化时，的变化情况如下表：x）00极小值极大值 所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数. 函数在处取得极小值且. 函数在x=a处取得极大值，且.类型三：利用导数解决函数的最值问题5求函数在0，2上的最大值和最小值.解析：，令，化简为x2+x2=0.解得x=2（舍去）或x=1.，又因为，所以为函数在0，2上的最小值，为函数在0，2上的最大值.总结升华：函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值，且最值一定在极值点或端点处取得，因此，利用导数求函数在闭区间最值的一般步骤可简化为：（1）求；（2）令，解出在上的点，求出其相应的函数值；（3）求两个区间端点所对应的函数值；（4）比较这些函数值的大小，最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值.若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.举一反三：【变式1】求函数f(x)=3x-x3在闭区间的最大值和最小值.【答案】f(x)=3-3x2, 令f(x)=0,则x=-1或x=1. 又 f(-1)=-2, f(1)=2, , f(x)max=2, f(x)min=-18.【变式2】f(x)=x3-3x2+2在区间-1,1上的最大值是（ ）(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4【答案】f(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f(x)=0可得x0或2（2舍去）。 又f(-1)=-2；f(1)=0；f(0)=2； 所以当x0时，f(x)取得最大值为2，选C【变式3】设函数求的最小值;【答案】函数f（x）的定义域为（0，1） 令 当时，, 在区间是减函数； 当时，, 在区间是增函数. 在时取得最小值且最小值为类型四：导数在研究函数中的应用6设函数f(x)=ax3+bx+c(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数的最小值为-12()求a,b,c的值；()求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在-1,3上的最大值和最小值.解析：()f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c，c=0的最小值为-12，b=-12且又直线x-6y-7=0的斜率为因此，a=2,a=2,b=-12,c=0()f(x)=2x3-12x，列表如下：x+0-0+极大极小所以函数f(x)的单调增区间是f(-1)=10， ， f(3)=18f(x)在-1,3上的最大值是f(3)=18，最小值是举一反三：【变式1】已知，函数在-1，1上有最大值1，最小值，求常数a,b的值.【答案】f(x)=3x2-3ax=3x(x-a). 令f(x)=0得x=0或x=a.x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1+0-0+极大值b极小值 函数f(x)最大值只可能在x=0或x=1处获得。 由 ， ， ， f(0)-f(1)0, 即f(0)=b是f(x)最大值 b=1 函数f(x)最小值只可能在x=-1或x=a处获得. ，a-20, a(a+2)+10. f(a)-f(-1)0，即是最小值， ， 综上，b=1.【变式2】已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解析：（I）是二次函数，且的解集是 可设 在区间上的最大值是 由已知，得 （II）方程等价于方程设则当时，是减函数；当时，是增函数。方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。7设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a 令g(x)0，解得xea11， (i)当a1时，对所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函数，又g(0)0，所以对x0，都有g(x)g(0)，即当a1时，对于所有x0，都有f(x)ax (ii)当a1时，对于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是减函数，又g(0)0，所以对0xea11，都有g(x)g(0)，即当a1时，对所有的x0，都有f(x)ax成立综上，a的取值范围是（，1 解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立 对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 当x ea11时，g(x)0，g(x)为增函数，当1xea11，g(x)0，g(x)为减函数， 所以要对所有x0都有g(x)g(0)充要条