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有限元方法理论及其应用1 课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分）撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。1.1 对一维杆单元有限元形式的理解将一维杆单元分成三段加以推导，并应用驻值条件，我们得到节点的平衡方程，即：我对此提出了几点疑问：1) 为什么边界条件u1=0，就要划去刚度矩阵k中对应的行列再解方程？2) 为什么刚度矩阵k会奇异？3) 为什么平衡方程本身是矛盾的，而加上边界条件u1=0之后就能解出一个唯一的近似解？4) 为什么刚度矩阵k是对称的？下面我谈谈自己的理解:节点平衡方程是在u1不定的前提下，假设单元内位移都是线性变化推导出来的，由此u1相当于一个不确定的定值约束，再加上中间两个节点的连续性要求，系统实际上只有三个独立的自由度（广义坐标）。对于第一个问题，其实刚度矩阵k中的元素不是一成不变的，相反它是伴随边界条件动态变化的。当u1=0时由刚度矩阵的推导过程可以知道，刚度矩阵的第一行和第一列都会变为0，所以此时第一行和第一列对于求解方程是没有作用的。对于第二个问题，由于系统自由度（广义坐标）只有三个，而我们的方程却列出了四个，显然这四个方程不可能线性无关，所以刚度矩阵奇异。对于第三个问题，首先我们应该明确方程区别于等式，虽然左右两边都是用“=”连接，但是方程只在特殊条件下取得定解。由于平衡方程是在没有约束的条件下推导出来的，显然它不可能满足等式要求。宏观上看，系统在没有外部约束，而又施加有外力，显然系统会产生加速度而绝不会平衡。所以平衡方程本身是矛盾的。而加上边界条件之后，不但满足了平衡的前提，还改变了矩阵的结构和性质，所以有解。但是，由于我们提前假设了位移线性变化，相当于人为对单元施加了额外约束，让位移按照我们假设的规律变化，所以得到的解是过刚的近似解。但对于方程本身而言是精确解。对于第四个问题，其力学的作用机理类似于作用力与反作用力，由于刚度矩阵不表征方向，所以其大小是相等的。1.2 有限元法的思想有限元法是求解连续介质力学问题的数值方法，更一般意义是一种分析结构问题和连续场数学物理问题的数值方法。有限元法的基本思想是离散化和分片插值。即把连续的几何机构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至个集合体上的场函数。对每个单元，选取适当的插值函数，使得该函数在子域内部、在子域分界面上以及子域与外界面上都满足一定的条件。单元组合体在已知外载荷作用下处于平衡状态时，列出一系列以节点、位移为未知量的线性方程组，利用计算机解出节点位移后，再用弹性力学的有关公式，计算出各单元的应力、应变，当各单元小到一定程度，那么它就代表连续体各处的真实情况。1.3 有限元法的数学基础有限元法的数学基础是加权余量法和变分原理。有限元法区别于有限差分法，即不是直接从问题的微分方程和相应的定解条件出发，而是从其等效的积分形式出发。加权余量法是等效积分的一般形式，它适用于普遍的方程形式。利用加权余量法的原理，可以建立多种近似解法，如配点法、最小二乘法、伽辽金法、力矩法等都属于这一类数值方法。如果问题的方程具有某些特定的性质，则它等效积分形式的伽辽金法可以归结为某个泛函的变分。相应的近似解实际上是求泛函的驻值问题。里兹法就是属于这一类数值解法。1.4 有限元法的力学基础一个弹性系统的所有可能位移中，满足平衡条件的位移（真实位移）使总势能取最小值。 也就是说，弹性力学中平衡问题的正确解（位移），其相应的系统总势能为一切满足位移边界条件和连续条件的位移构型对应的总势能中的最小者。一个“系统”是指一个结构加上作用其上的力。对于保守系统，系统总势能定义为：总势能 = 应变能 外力做功系统总势能是对应系统任何一个可能构型的由系统力学状态量（载荷、位移、应力、应变）决定的状态函数。系统总势能用符号p表示，当载荷不变时，运用弹性力学的几何方程和物理方程，可以将它转化为系统位移场函数的泛函。对于系统每一个“可能位移（场）”，系统有一个总势能（泛函）与之对应。“可能位移” 满足内部连续性和位移边界条件的位移场。瑞利-里兹法是针对连续系统从一族满足约束条件的假定解中利用泛函驻值条件求“最好”近似解的一种普遍适用方法。其基本思想是：如果问题有相应的变分原理，就构造一族带有待定参量的试探函数（弹性力学中就是假定位移场），将其代入泛函表达式，泛函立刻成为多元函数，由驻值条件确定待定参量，就得到问题的近似解答。从经典里兹法解弹性体变形和应力的原理和过程可以总结出该方法的重要特点：1) 在求解域整体上假定位移场（试探函数）； 2) 假定的位移场必须是可能位移（或称为许可位移，即满足连续性和边界几何约束条件）和简单的。3) 要得到收敛解，试探函数必须是完备的。4) 里兹解往往过刚，除非位移试探函数包含了精确解。由于假定的位移模式往往给结构加上了约束，使结构不能按其要求的方式自由变形，从而刚化了结构。1.5 有限元法求解的原理和过程，推导计算列式1.5.1 有限元分析的基本步骤有限元法的基本解题步骤如下：1) 建立研究对象的近似模型2) 将研究对象分割成有限数量的单元3) 用标准方法对每一个单元提出一个近似解4) 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统5) 用数值方法求解这个近似系统6) 计算结果处理与结构验证1.5.2 一维杆的有限元分析下面以一维杆件的分析为例，研究有限元分析的求解原理和过程：图 1-11) 单元描述l杆长a截面积e弹性模量单元上的力学量和基本=关系如下： 杆单元沿轴向位移分布 杆单元应变分布 杆单元应力分布应变位移关系： (1-1)应力应变关系： （1-2）单元节点位移：单元节点力：2) 单元特性方程（刚度方程） 直接法导出杆单元特性采用材料力学基本知识对单元进行力学分析。杆单元伸长量： （1-3）杆应变： （1-4）杆应力： （1-5）杆内力： （1-6）杆对的轴向刚度： （1-7）由于轴向变形模式下，可以直接写出杆单元刚度方程： （1-8）写成符号形式：f = kd （1-9）因此杆单元的刚度矩阵为： （1-10） 公式法导出杆单元特性a) 在单元上假设近似位移场对图1-1所示的杆单元，首先利用函数插值法构造以单元节点位移为未知量的简单多项式函数，作为单元上的假设位移分布函数。插值过程如下。考虑到杆单元只有2个沿轴向的未知节点位移分量，因此假设单元上位移函数为一次多项式： （1-11）将单元两个节点的坐标值0，l分别带入上式得到：对上面2个方程联立求解，得到节点位移表示的多项式系数：/l上两式带入式（1-11），整理得： （1-12）上式中：分别为节点i,j的插值基函数，有限元法中称为形状函数，简称“形函数”。单元位移模式（1-12）写成矩阵形式为nd （1-13）式中n称为单元的形函数矩阵。b) 单元应变和单元应力公式可由直杆的应变位移方程（1-1）和单元位移模式（1-13）求出单元的应变分布和节点位移的关系： （1-14）式中： （1-15）称为单元的位移应变转换矩阵，简称应变矩阵。由杆的应力应变关系（1-2），得单元应力分布和单元节点位移的关系： （1-16）c) 用虚功原理导出杆单元刚度方程变形体的虚位移：假想在变形体上发生的，满足位移连续性条件和协调性条件的微小、任意位移场。虚功原理：变形体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于变形体内的虚应变能。节点虚位移：单元虚位移：单元虚应变：单元虚应变能为：根据虚功原理，上述节点力虚功等于虚应变能，因此有如下关系： (1-17)考虑到的任意性，从上式可以得到： （1-18）上式就是杆单元的刚度方程，杆单元的刚度矩阵为： （1-19）其导出原理和计算方法可以推广到其他类型的实体单元。具体计算式如下： (1-20)与直接法得到的单元刚度矩阵（1-10）式相同。1.6 等参单元的概念、原理和应用1.6.1 等参单元的概念及原理由于用较少形状规则的单元离散几何形状较为复杂的求解域常常会遇到困难。为了克服单元几何方面的限制，使其成为任意四边形和任意六面体单元，就引入了等参元的概念。等参元也就是运用了等参变换方法的单元，即采用相同的插值函数对单元的节点坐标和节点位移在单元上进行插值。如图1-2为一个4节点任意四边形单元，单元有8个自由度。将矩形单元放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。但在建立单元位移模式时产生了新的问题：单元上没有一个如矩形单元中的简单直接的局部坐标系，而又不能直接用x，y坐标系下的双线性位移模式（位移沿边界二次变化，不协调）。因此，需要在任意四边形单元上建立一种新的非正交局部坐标系-（如图1-2），使得每条边有一个局部坐标为常数（1），则在-平面内，原任意四边形单元变为一个边长为2的正方形。同时，该局部坐标系的建立在x-y平面上的任意四边形单元与-平面上的正方形之间形成了一个一一对应的映射关系。图1-2 四节点任意四边形单元（a）及其母单元(b)称-平面内的正方形单元为基本单元或母单元，x-y平面内的任意四边形单元称为实际单元或子单元。显然，母单元节点对应不同的x，y坐标就可以得到不同大小、形状和方位的任意四边形实际单元。建立了局部坐标系或映射后，我们只需要在-平面上的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。任意四边形单元在母单元中的位移模式（或者称为-坐标系下的位移模式）与矩形单元相同：其中，形函数为： (i=1,2,3,4)当然，该位移模式关于x，y坐标不是双线性函数，位移沿单元边界线性变化，能保证单元的协调性。为了得到上述映射的数学表达，引入对母单元节点上x，y坐标进行插值的思想，将母单元上每一点对应的x，y坐标看成是对节点坐标的插值，插值函数与位移插值中的形函数相同：这样就得到了一个事实上的映射，该映射是用母单元描述实际单元力学特性的桥梁。由于该坐标变换式中采用了与位移插值相同的节点和参数（形函数），因此称为等参变换，所有采用等参变换的单元都称为等参单元。1.6.2 等参单元的应用等参单元在有限元法的发展中占有重要的地位，由于它能使局部坐标系中形状规则的单元变换为总体坐标系内形状扭曲的单元，从而为求解域是任意形状的实际问题的求解提供了有效的单元形式。所以要注意等参单元在实际应用中的环节，首先是由于等参单元的特性矩阵是建立在单元局部坐标系的，因此必须进行导数、体积、面积、长度等的变换，要掌握他们的变换方法是等参单元在应用中的重要环节，要保证等参变换能够实现，最基本的是要保证单元的形状不过分扭曲，要在实际应用中充分注意；其次就是积分阶次的选择，要选取合理的积分阶次和积分单元，在单元形态上要满足：1) 单元各方向的尺寸尽量接近；2) 单元边界不能过于曲折，不能有拐点和折点，尽量接近直线或抛物线；3) 边之间夹角接近直角。等参数单元的特征是单元上未加函数(位移插值函数)的插值公式与坐标变换的表达式具有完全相同的形式。它包括了相当大量的单元类型，可根据实际需要适当选用。构造等参数单元是以局部坐标为出发点，并使整个讨论立足于局部坐标上。即在局部坐标系中的规则单元上构造相容的插值函数导出相容的坐标变换式(得到整体坐标系中单元形状)由局部到整体坐标系的坐标变换形成有限元计算格式(其中用到数值积分)。整个讨论和计算都是在局部坐标系中规则单元内进行的。最后在整体坐标下叠加各单元刚度矩阵求解。等参数单元的优点是有较大的选择单元的自由、能很好地模拟曲线边界，计算精度高，输人数据少，这一点对复杂区域的求解时特别突出使用等参数中要进行复杂的坐标变换，必须采用数值积分。程序编制比较复杂，形成刚度矩阵的计算时间长，但不对计算带来本质影响。为保证精度和使计算切实可行，单元分割时要满足单元不过分歪斜的要求。中间节点尽量等分边长。等参数方法构造的插值函数只能做到本身满足相容性条件。它的一阶导数在相邻单元的公共边上不连续。因此原则上只能适用于二阶微分方程所描述的问题，如应力分析、稳定温度场、电磁场分析等，而对于板弯曲问题所必须满足的四阶微分方程，上述等参数单元方法般不适用。2 分析与计算（40分）2.1 第一题图示两个结构和单元相似，单元方位相同的平面应力有限元模型，两模型的单元厚度和材料相同。两个模型右端单元边上受均匀剪切面力。对于下列2种情况，试根据有限元法和力学有关知识来分析论证两个模型求解后对应节点（节点1）的位移值和对应单元的应力值之间的关系：1）两个模型面力的合力相等；2）两个模型面力值相等。（10分）建立坐标系如图所示，对（a）图，各节点坐标点号x坐标y坐标点号x坐标y坐标1400420202402050032006020单元节点信息数组可记为单元，面积，由式 可得 由式，可以得到单元应变矩阵为：为了计算简便，可设=0且为单位厚度，弹性矩阵大为简化，由式，可得由式可得到单元的应力矩阵为：由式（d），单元的单元刚度矩阵为根据单元刚度矩阵的性质可得对（b）各节点坐标点号x坐标y坐标点号x坐标y坐标1200410102201050031006010单元节点信息数组可记为：单元，面积，由式（a）可计算出由式（b），单元几何矩阵为由式（c）得单元的应力矩阵由式（d）得单元的单元刚度矩阵同理由单元刚度矩阵的性质可得综上可知，两个模型中的单元刚度矩阵均相同，所以它们的总刚度矩阵也相同，即 当两个模型面力的合力相等，它们的载荷列阵都为位移列阵为形成整体平衡方程 ：位移约束条件为，将此约束条件引入整体刚度方程，对其用“化一置零法”处理。即由上式可知在这种情况下，两种模型求解后对应节点的位移相等。有整体节点位移获取单元节点位移，所以对应的单元节点位移也相等。以单元为例，两种模型应力矩阵的关系，又由可得，模型（b）中单元的应力是模型（a）的2倍，其它单元可得到类似的结论。当两个模型面力值相等时，可设模型（a）右端受剪力的合力为2p，模型（b）右端受剪力的合力为p，则两种模型的载荷列阵分别为由上述内容可得，进而可知（a）模型中对应节点的位移是（b）模型的2倍。在单元中，所以由可知模型（a）和模型（b）中单元的应力相等，其他单元可类似说明。2.2 第二题证明3节点三角形单元满足协调性条件（相邻单元之间位移连续）。（10分）证明：三节点三角形单元位移模式选取一次多项式： （2-1）在（2-1）的1式中带入节点的坐标得到节点i在x向的位移，同理可得， （2-2）解（2-2）式可得到广义坐标由节点位移表示的表达式： （2-3） 将求解的广义坐标（2-3）式代入（2-1）式，可将位移函数表示成节点位移的函数 （2-4） 式中 （2-5）上式中式（2-4）写成矩阵形式为 (2-6)确定了刚体位移后，可以很方便的求得单元的应变和应力。由此可知，单元应变 （2-7）称为应变矩阵。 （2-8） 对（2-5）式求导得： （2-9）代入（2-8）式得到： （2-10）三节点单元应变矩阵是 （2-11） 式中是单元形状的参数。当单元节点坐标确定后，这些参数都是常数，因此b是常量阵。当单元的节点位移确定后，由b转换求得的单位应变都是常数，也就是说在载荷作用下单元中各节点具有同一的值，值及值。因此，三节点三角形单元称为常应变单元。应变应力可根据物理方程求得： （2-12） 其中成为应力矩阵。将平面应力弹性矩阵及式（2-11）代入式（2-12）可以得到计算平面应力问题的单元应力矩阵。的分块矩阵为 （2-13） 其中为材料常数。对于平面应力问题与应变矩阵b相同，应力矩阵s也是常量阵，即三节点三角形单元中各节点的应力是相同的。因此，相邻单元之间位移连续时，3节点三角形单元满足协调性条件。2.3 第三题对4节点四边形平面等参元，试验证等参变换能把平面上的正方形母单元映射成为平面上4节点任意四边形单元。（10分）解：在这个式中、，代入上式从而得到。同理可以验证各个顶点的x、y方向的坐标均可以用等参变换表示。在局部坐标系中沿正方形母单元的边界，比如12边，在该边界上形函数表示为，各个节点的形函数分别为： 母单元12边对应的坐标 ：从上式可以看出的数值随着数值的变化线性变化，直线的两个端点值分别为、。在平面上12边方向的坐标也是以、为端点的直线，从而论证12边在x方向上的坐标具有映射关系。同理可以论证母单元的各个边在方向上可以映射出平面上的相对应边的坐标。最终验证在母单元的四条边上用等参变换可以映射出平面上任意四边形单元的四条边。2.4 第四题图示一个一维直杆问题，杆的截面积为a,弹性模量为e。杆受线性变化的轴向线分布力。试构造一种三次杆单元求解该问题，单元有4个节点，节点间隔均匀，形函数可以由形函数性质直接构造或采用拉格朗日插值多项式。整个杆用1个单元离散化。解出节点位移后，由单元有关方程导出单元上位移和应力的函数表达式，并将有限元解与精确解作比较。（10分）解：考虑题图中的结构，由要求用4节点一维杆单元求解，单元的自由度为4。应用里兹法假设位移场，在单元内假设位移场应是二次多项式，即：（）其中，为待定参数（称为广义坐标）。为方便计算，采用题图所示的局部坐标系，则有单元：（）对单元来说，在上面的式中分别代入节点1、2、3、4的坐标，可得节点1、2、3、4在方向上的位移、，即：其中，。用局部坐标系表示为：其中，,。于是有： 解得：将上面求得的广义坐标代入原来假设的位移场，可将单元的位移函数表示成节点位移的函数，即 整理得：将上式写成矩阵形式为其中，插值函数矩阵，或称形函数矩阵；单元的节点位移列阵显然，整个杆上，由各单元上假设的位移场拼接而成的位移试探函数是连续的，只要我们记住，得到的就是全域可能位移场。这样的位移场已经把节点位移自由度作为广义坐标。在单元上进行总势能计算：首先计算应变在单元内有式中，应变矩阵：所以单元内的应变能为：由于节点位移列阵与无关，故有：式中，单元刚度矩阵：载荷为，则载荷在单元内表达为： 带入外力功积分式，对单元计算外力功。单元外力功为：系统总势能是单元的总应变能减去单元外力功，则系统总势能表达为：上式简写为：应用驻值条件：，得到节点平衡方程：，即解得：由此得到的位移场在节点处为精确解，而一般位置上均为近似值（小于精确解）。根据几何方程求单元应变，再利用物理方程求单元应力。对单元有：于是可得单元节点处的应力近似解如下：，该问题的位移和应力的精确解分别为：于是可得单元节点处的应力精确解如下：， 位移和应力的计算结果与精确解的比较如图4-1所示：图2-1 受轴向力杆的精确结果和有限元结果由图中可以看出，由于在求得结构的节点位移后，要通过导数的运算来求单元的应变和应力，导致了精度的下降，因此位移的近似程度比应力的近似程度更好。3 上机实验（30分）3.1 实验一：带孔平板应力分析3.1.1 实验题目一个200mm200mm平板，中心有一个直径5mm圆孔，左右两边受面内均匀拉伸载荷1mpa。建立平面应力问题有限元模型，分别采用3节点三角形单元和8节点四边形等参元计算孔边应力集中，对两种单元的求解精度进行比较。注意优化模型单元网格布局和网格密度过渡。撰写实验报告。（10分）3.1.2 实验目的建立平面应力问题有限元模型，分别采用3节点三角形单元和8节点四边形等参元计算孔边应力集中，对两种单元的求解精度进行比较。3.1.3 建模概述根据题目要求，基于结构和载荷的对称性，可以只取模型的1/4进行分析。1) 创建部件 在part模块左侧工具区点击（create part），弹出如图3-1所示的create part对话框。将模型所在空间（modeling space）设为2d plana（二维平面），其余参数不变。点击continue。根据题目要求，创建如图所示的模型。图3-1 创建部件并生成模型2) 创建材料和截面属性在窗口左上角的module列表中选择property功能模块来定义材料。点击左侧工具区的（create material），在弹出的edit material对话框依次点击mechanicalelasticityelastic。在数据表中设置youngs module（弹性模量）为210000，poissons ratio（泊松比）为0.3，其余参数不变，点击ok。图3-2 编辑材料点击左侧工具区的（create section），保持默认参数不变，点击continue。然后点击左侧工具区的（assign section），选中视图区的平板模型，弹出edit section assignment对话框，点击ok。图3-3 创建截面并赋予截面属性3) 在窗口左上角的module列表中选择assembly功能模块。点击工具区的（instance part），在弹出的cerate instance对话框（如图3-4），选择默认参数，点击ok。图3-4 创建实体4) 设置分析步在窗口左上角的module列表中选择step功能模块。点击左侧工具区的（create step），在弹出的create step对话框中，在name后面输入apply load，其它保持默认参数值，点击ok。图3-5 创建分析步5) 在窗口左上角的module列表中选择load功能模块。点击工具区的（create load），弹出的create load对话框将分析步载荷类型设置为pressure，其它参数保持不变,点击continue。在视图区选中平板右侧边界线，在弹出的edit load对话框(如图3-6)，在magnitude后面输入-1，点击ok。图3-6 创建并编辑载荷点击左侧工具区的（create boundary condition），根据要求设定平板的对称边界条件。设置完成后，如图3-7所示。图3-7 定义边界条件6) 划分网格在窗口左上角的module列表中选择mesh功能模块，为部件划分网格。点击工具区的（sseed edge：by number），设置边界上的单元数为10。点击左侧工具区的（assign mesh controls）将网格划分技术设置为structure，其余参数保持默认，点击ok。点击工具区的(assign element type),设置网格类型（题目要求为三节点三角形网格和8节点四边形等参单元）。划分的网格如图3-8所示。 图3-8（a）三节点三角形单元 图3-8（b）八节点四边形网格7) 提交作业分析在窗口左上角的module列表中选择job功能模块。点击（job manager），创建新的作业，点击submit（提交分析）。分析完成后，点击对话框中的result，进入visualization模块,查看分析结果以及应力云图等。3.1.4 计算结果分析与结论提交分析后的应力云图如图3-9所示。 （a）三角形网格 （b）八节点四边形网格图3-9 边界种子数目为10时的应力云图可以看出三节点三角形网格的最大x方向应力为2.022mpa，八节点四边形网格的最大x方向应力为2.677mpa，因此，在边界网格数目相同的情况下，三节点三角形网格的计算精度不如八节点四边形网格的计算精度，并且两种网格的计算精度都比较差。因此，要想得到精度较高的计算结果需要对网格进行加密，在平板每条边上布置种子数目设定为20，重新划分网格进行计算，计算结果如图3-10所示。（a）三角形网格 (b) 八节点四边形网格图3-10 边界种子数目为20时的应力云图从计算结果中可以看出，网格加密以后三节点三角形单元的最大x方向应力为2.681mpa，八节点四边形网格的最大x方向应力为3.124mpa，与粗网格相比，计算精度有了较大的提高。但是网格加密以后，计算代价比较大，因此为了获得应力集中部位较准确的计算结果，又不需要付出较大的计算代价，可以只在应力集中部位（圆孔周围）划分较密集的网格进行计算，同时考虑采用二次减缩积分单元等进行计算。表3-1给出了各种单元的的分析结果比较。表3-1 各种单元分析结果比较单元类型cps3(10)cps3(20)cps3(部分加密)cps8(10)cps8(20)cps8(部分加密)分析结果圆孔顶部x方向应力(/mpa)2.0222.6812.7872.6773.1243.002计算时间/s111111111111这里需要对计算时间作一些说明，表面上看粗细单元的计算时间是大致相当的，但是其是有区别的，只是这里的计算模型较为简单，计算耗时相对提交时间很短，没有得到充分体现。事实上，相同条件单一变量下，网格越密，节点越多，单元精度越高计算时间越长。比较分析结果，可以得出以下结论。1）使用各种单元类型计算得到的位移结果相差不大；2）三节点三角形单元的计算精度不如八节点四边形等参单元的计算精度；3）对应力集中部位进行网格加密对提高计算精度和减小计算代价是非常重要的；4）减缩积分单元对于求解应力集中问题的效果不明显，即精度相对较差；5）应力集中处的的网格细化对于提高应力结果的精度非常重要，对于减缩积分单元尤其如此。3.1.5 实验体会与总结在计算平面应力问题时，不同的网格类型对位移的计算结果差别不大，对应力的计算差别还是比较大的；三节点三角形单元的计算精度比较低，在计算平面应力问题时，应尽量选用精度高的cps8单元，并对应力集中部位的网格进行加密，以获得较精确的计算结果。3.2 实验二：空心球应力分析3.2.1 实验题目一个空心球的外半径，内半径。内壁受均匀压力。试用有限元法计算该空心球体的应力分布情况。要求分别应用轴对称二次等参单元建立轴对称模型、应用二次六面体等参单元建立三维模型求解，对两个模型计算结果进行对比分析。注意利用对称性简化建模。撰写实验报告。（10分）3.2.2 实验目的应用轴对称二次等参单元建立轴对称模型、应用二次六面体等参单元建立三维模型求解，对两个模型计算结果进行对比分析。3.2.3 建模概述根据题目要求，基于结构和载荷的对称性，可以只取模型的1/4进行分析。1） 创建部件在part模块左侧工具区点击（create part），弹出create part对话框，将modeling space设置为axisymmetric（轴对称），进入绘图环境，绘制二维图如图3-11所示，三维图如图3-12所示。图3-11 轴对称模型 图3-12三维实体模型2） 创建材料和截面属性在module列表中选择property功能模块，依次点击create material、create section、assign section来创建材料和界面属性。3） 定义装配件在窗口左上角的module列表中选择assembly功能模块。点击工具区的（instance part），在弹出的cerate instance对话框（如图3-3），选择默认参数，点击ok。4） 设置分析步在窗口左上角的module列表中选择step功能模块。点击左侧工具区的（create step），在弹出的create step对话框中，将procedure type设置为general ，并选中static，general，点击continue,在弹出的对话框保持默认值不变，点击ok。5） 施加载荷和边界条件在窗口左上角的module列表中选择load功能模块。点击工具区的（create load），弹出的create load对话框将分析步载荷类型设置为pressure，其它参数保持不变,点击continue，定义完成后的效果图如图3-13、3-14所示。图3-13 轴对称模型的载荷和边界条件图 3-14 三维实体模型的载荷和边界条件6） 划分网格首先为边布种，厚度方向单元划分数为10，圆周方向单元划分数为50，划分后如图3-15、3-16所示。图3-15 轴对称模型的网格(cax4r) 图3-16 三维实体模型网格（c3d20）7） 提交作业分析在窗口左上角的module列表中选择job功能模块：创建分析作业并提交分析。8） 后处理分析完成后点击result，自动进入后处理模块，显示应力云图。3.2.4 计算结果分析与结论提交分析后的应力云图如图3-17、3-18所示。图3-17轴对称二次单元建立轴对称模型应力云图 图3-18 三维模型应力云图（c3d20）这是应力随厚度方向的变化曲线，显然由内而外应力线性减小。3.2.5 实验体会与总结通过两种建模分析方法的比较可以得出，在分析对象是轴对称的并且载荷也是轴对称的情况下，可以通过创建轴对称模型，减小计算规模，获得与三维实体模型相似的计算精度，提高仿真计算效率。通过本次上机实验，体验到abaqus本身的建模功能能比较方便的满足简单模型的建模，当然，对于一些相对复杂的三维实体模型还需要通过专业的三维绘图软件绘制，然后导入到abaqus中进行分析。在以后的学习研究工作中，要不断熟练三维绘图软件和仿真分析软件的使用，为以后的科研工作打下基础。3.3 实验三：矩形平板模态分析3.3.1 实验题目一个矩形平板，长1000mm,宽100mm，厚度10mm。材料的e=200gpa， 。板的一侧短边固支，其它三边自由。在相同的较粗网格（厚度方向1层单元）下，分别用8节点六面体全积分等参元和二次六面体等参元计算其前六阶自由振动频率和振型。计算结果列在表中，对计算结果作对比和分析。并撰写实验报告。（10分）3.3.2 实验目的用8节点六面体全积分等参元和二次六面体等参元计算其前六阶自由振动频率和振型。3.3.3 建模概述1) 创建部件创建三维模型如图3-19所示。图3-19 矩形平板三维模型具体参数为：长1000mm,宽100mm，厚度10mm。2) 创建材料及截面属性 创建材料：输入弹性模量e=200000mpa，泊松比=0.3，其他参数不变。，如图3-20所示。图3-20创建材料 创建截面属性。给部件赋予截面