[高三数学]2012年高考文科数学专题复习——函数与导数.doc

2009 年高考文科数学试题分类汇编函数与导数 一、选择题 1.（09 年福建 2） 下列函数中，与函数 有相同定义域的是 1 y x a b c d( )lnf xx 1 ( )f x x ( ) |f xx( ) x f xe 【分析】本题考查函数的定义域. 【解析】函数的定义域为（0，+） ，函数定义域为（0，+） ，函数 1 y x ( )lnf xx 的定义域为，函数和的定义域都为 r,故选 a. 1 ( )f x x 0x ( ) |f xx( ) x f xe 2.（09 年福建 8） 定义在 r 上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上， f x2,0 下列函数中与的单调性不同的是 f x a b. 2 1yx| 1yx c. d 3 21,0 1,0 xx y xx , ,0 x x exo y ex 【分析】本题考查函数的图像与性质。 【解析】由偶函数的图像与性质知，函数在上是减函数，由二次函数的图像 f x2,0 知函数在上是减函数， 2 1yx2,0 3.(广东卷 4)若函数( )yf x是函数1 x yaaa（0，且）的反函数，且(2)1f，则 ( )f x ax 2 log b x 2 1 cx 2 1 log d2 2x 【答案】a 【解析】函数1 x yaaa（0，且）的反函数是( )logaf xx,又(2)1f,即log 21 a , 所以,2a ,故 2 ( )logf xx,选 a. 4.(广东卷 8)函数 x exxf) 3()(的单调递增区间是 a. )2 ,( b.(0,3) c.(1,4) d. ), 2( w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】d 【解析】 ( )(3)(3)(2) xxx fxxexexe ,令( )0fx,解得2x ,故选 d 5.（浙江 8）若函数 2 ( )() a f xxa x r，则下列结论正确的是（ ） aa r，( )f x在(0,)上是增函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ba r，( )f x在(0,)上是减函数 ca r，( )f x是偶函数 da r，( )f x是奇函数 c 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考 查结合函数的性质进行了交汇设问 【解析】对于0a 时有 2 f xx是一个偶函数 6. （2009 北京 4）为了得到函数 3 lg 10 x y 的图像，只需把函数lgyx的图像上所有 的点 （ ） a向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 b向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 c向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 d向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 【答案答案】c .w【解析解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. alg31lg103yxx ， blg31lg103yxx ， c 3 lg31lg 10 x yx ， d 3 lg31lg 10 x yx . 故应选 c. 7. (2009 山东卷 6)函数 xx xx ee y ee 的图像大致为( ). 【解析】:函数有意义,需使0 xx ee,其定义域为0|xx,排除 c,d,又因为 2 22 12 1 11 xxx xxxx eee y eeee ,所以当0x 时函数为减函数,故选 a. 答案:a. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点 在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 8. （09 山东 7） 定义在 r 上的函数满足= ，则( )f x( )f x 0),2() 1( 0),4(log2 xxfxf xx 的值为( )(3)f a.-1 b. -2 c.1 d. 2 【解析】:由已知得, 2 ( 1)log 5f 2 (0)log 42f 2 (1)(0)( 1)2log 5fff ,故选 b. 2 (2)(1)(0)log 5fff 22 (3)(2)(1)log 5(2log 5)2fff 答案:b. 【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程 9. (2009 山东卷文 12)已知定义在 r 上的奇函数)(xf，满足(4)( )f xf x ,且在区间 0,2上是增函数,则( ). a.( 25)(11)(80)fff b. (80)(11)( 25)fff c. (11)(80)( 25)fff d. ( 25)(80)(11)fff 【解析】:因为)(xf满足(4)( )f xf x ,所以(8)( )f xf x,所以函数是以 8 为周期 的周期函数, 则) 1()25(ff,)0()80(ff,)3()11(ff,又因为)(xf在 r 上是奇函 数， (0)0f,得0)0()80( ff,) 1 () 1()25(fff,而由(4)( )f xf x 得 ) 1 ()41 ()3()3()11(fffff,又因为)(xf在区间0,2上是增函数,所以 0)0() 1 ( ff,所以0) 1 ( f,即( 25)(80)(11)fff,故选 d. 答案:d. 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想 和数形结合的思想解答问题. 10.（2009 全国卷文 2）定义在 r 上的函数满足= ( )f x( )f x ，则的值为( ) 0),2() 1( 0),4(log2 xxfxf xx (3)f a.-1 b. -2 c.1 d. 2 答案：答案：b 解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数 x0 可知可知 ac 错错,原函数原函数 y0 可知可知 d 错，错， 选选 b. 11.（2009 全国卷文 3）函数 y= 2 2 log 2 x y x 的图像 （a） 关于原点对称 （b）关于主线yx 对称 （c） 关于y轴对称 （d）关于直线yx对称 答案：答案：a 解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又）关于原点对称，又 f(-x) =-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选 a。 12.（2009 全国卷文 7）设 2 lg ,(lg ) ,lg,ae bece则 （a）abc （b）acb （c）cab （d）cba 答案：答案：b 解析：本题考查对数函数的增减性，由解析：本题考查对数函数的增减性，由 1lge0,知知 ab,又又 c= 2 1 lge, 作商比较知作商比较知 cb, 选选 b。 13. （09 年安徽文 8）b,函数的图象可能是a 2 () ()yxaxb 【解析】可得 2 ,() ()0xa xbyxaxb为的两个零解. 当xa时,则( )0xbf x 当axb时,则( )0,f x 当xb时,则( )0.f x 选 c。 【答案】c 14. （2009 江西卷文 2）函数 2 34xx y x 的定义域为 a 4,1 b 4, 0) c(0,1 d 4, 0)(0,1 答案：d 【解析】由 2 0 340 x xx 得40x 或01x,故选 d. 15. （2009 江西卷文 5）已知函数( )f x是(,) 上的偶函数，若对于0x ，都有 (2( )f xf x），且当0,2)x时， 2 ( )log (1f xx ），则( 2008)(2009)ff的值 为 a2 b1 c1 d2 答案：c 【解析】 12 22 ( 2008)(2009)(0)(1)loglog1ffff,故选 c. 16.（2009 江西卷文 11）如图所示，一质点( , )p x y在xoy平面上沿曲线运动，速度大小 不 变，其在x轴上的投影点( ,0)q x的运动速度( )vv t的图象大致为 a b c d 答案：b y xo ( , )p x y ( ,0)q x o ( )v t to ( )v t t o ( )v t t o ( )v t t 【解析】由图可知，当质点( , )p x y在两个封闭曲线上运动时，投影点( ,0)q x的速度先由 正到 0、到负数，再到 0，到正，故a错误；质点( , )p x y在终点的速度是由大到小接 近 0，故d错误；质点( , )p x y在开始时沿直线运动，故投影点( ,0)q x的速度为常数， 因此c是错误的，故选b. 17.（2009 江西卷文 12）若存在过点(1,0)的直线与曲线 3 yx和 2 15 9 4 yaxx都相切， 则a等于 a1或 25 - 64 b1或 21 4 c 7 4 或 25 - 64 d 7 4 或7 答案：a 【解析】设过(1,0)的直线与 3 yx相切于点 3 00 (,)x x，所以切线方程为 32 000 3()yxxxx 即 23 00 32yx xx，又(1,0)在切线上，则 0 0x 或 0 3 2 x ， 当 0 0x 时，由0y 与 2 15 9 4 yaxx相切可得 25 64 a ， 当 0 3 2 x 时，由 2727 44 yx与 2 15 9 4 yaxx相切可得1a ，所以选a. 18. （2009 天津卷文 5）设 3 . 0 2 1 3 1 ) 2 1 (, 3log, 2logcba，则 a 21 ,得 (3)( 2)(1)fff,故选 a. 30.（2009 陕西卷文 12）设曲线 1* () n yxnn 在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横 坐标为 n x,则 12n xxx的值为 (a) 1 n (b) 1 1n (c) 1 n n (d) 1 答案:b 解析: 对 1* ()(1) nn yxnnynx 求导得,令1x 得在点（1，1）处的切线的斜率 1kn,在点 （1，1）处的切线方程为1(1)(1)(1) nn yk xnx ,不妨设0y , 1 n nn x 则 12 12311 . 23411 n nn xxx nnn , 故选 b. 31.（2009 全国卷文 6）已知函数( )f x的反函数为( ) 10g xx2l gx，则 )1()1(gf （a）0 （b）1 （c）2 （d）4 【解析】本小题考查反函数，基础题。 解：由题令1lg21 x得1 x，即1)1( f，又1)1( g，所以2)1()1( gf， 故选择 c。 32.（2009 湖北卷文 2）函数) 2 1 ,( 21 21 xrx x x y且的反函数是 a.) 2 1 ,( 21 21 xrx x x y且 b.) 2 1 ,( 21 21 xrx x x y且 c.) 1,( )1 (2 1 xrx x x y且 d.) 1,( )1 (2 1 xrx x x y且 【答案】d 【解析】可反解得 1 11 ( ) 2(1)2(1) yx xfx yx 故 故且可得原函数中 yr、y-1 所以 1 1 ( ) 2(1) x fx x 且 xr、x-1 选 d 33.（2009 福建卷文 11）若函数 f x的零点与 422 x g xx的零点之差的绝对值不 超过 0.25， 则 f x可以是 a. 41f xx b. 2 (1)f xx c. 1 x f xe d. 1 2 f xin x 解析解析 41f xx的零点为 x= 4 1 , 2 (1)f xx的零点为 x=1, 1 x f xe的零点为 x=0, 1 2 f xin x 的零点为 x= 2 3 .现在我们来估算 422 x g xx的零点，因为 g(0)= -1,g( 2 1 )=1,所以 g(x)的零点 x(0, 2 1 ),又函数 f x的零点与 422 x g xx的零 点之差的绝对值不超过 0.25，只有 41f xx的零点适合，故选 a。 34. （2009 重庆卷文 10）把函数 3 ( )3f xxx的图像 1 c向右平移u个单位长度，再向下 平移v个单位长度后得到图像 2 c若对任意的0u ，曲线 1 c与 2 c至多只有一个交点， 则v的最小值为（ ） a2b4c6d8 【答案】b 解析根据题意曲线 c 的解析式为 3 ()3(),yxuxuv则方程 33 ()3()3xuxuvxx，即 23 3(3)0ux uuv，即 3 1 3 4 vuu 对任 意0u 恒成立，于是 3 1 3 4 vuu 的最大值，令 3 1 ( )3 (0), 4 g uuu u 则 2 33 ( )3(2)(2) 44 g uuuu 由此知函数( )g u在（0，2）上为增函数，在 (2,)上为减函数，所以当2u 时，函数( )g u取最大值，即为 4，于是4v 。 35. （09 辽宁文 12）用用 min,表示表示,三个数中的最小值三个数中的最小值abcabc 设=（0),则的最大值为( )f xmin2 ,2,10 x xxx( )f x （a） 4 （b） 5 （c） 6 （d） 7 36. 二、填空题 1. （2009 北京 12）已知函数 3 ,1, ( ) ,1, x x f x xx 若( )2f x ，则x . .w.w.k.s.5【答案答案】 3 log 2 .w【解析解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值. 属于基础知识、基本运算 的考查. 由 3 1 log 2 32 x x x ， 1 22 x xx 无解，故应填 3 log 2. 2. （09 山东文 14）.若函数=（0 且1）有两个零点，则实数的( )f x x axaaaa 取值范围是 . 【解析】: 设函数且和函数,则函数(0, x yaa1a yxa =（0 且1）有两个零点, 就是函数且与函数( )f x x axaaa(0, x yaa1a 有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因yxa10 a1a 为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的(1) x yaayxa 上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是.1|aa 答案: 1|aa 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 3.（2009 辽宁卷文 15）若函数 2 ( ) 1 xa f x x 在1x 处取极值，则a 【解析】f(x) 2 2 2 (1)() (1) x xxa x 开始 s=0,t=0,n=0 ts s=s+5 n=n+2 t=t+n 输出 t 结束 是 否 f(1) 3 4 a 0 a3 【答案】3 4.（09 福建文 15）若曲线 2 f xaxinx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围 是 . 解析解析 解析：由题意该函数的定义域0x ，由 1 2fxax x 。因为存在垂直于y轴的 切线，故此时斜率为0，问题转化为0x 范围内导函数 1 2fxax x 存在零点。 解法 1 （图像法）再将之转化为 2g xax 与 1 h x x 存在交点。当0a 不符合题意， 当0a 时，如图 1，数形结合可得显然没有交点，当0a 如图 2，此时正好有一个交点， 故有0a 应填,0 或是|0a a 。 5. （2009 重庆卷文 12）记 3 ( )log (1)f xx的反函数为 1( ) yfx ，则方程 1( ) 8fx 的解x 【答案】2 解法 1 由 3 ( )log (1)yf xx，得 1 3yx ，即 1( ) 31fxx ，于是由318x ，解 得2x 解法 2 因为1( )8fx，所以 3 (8)log (8 1)2xf 解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程 1 20ax x 在0,内有解，显然可得 2 1 ,0 2 a x 6.（2009 江苏卷 3）函数 32 ( )15336f xxxx的单调减区间为 . 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。 2 ( )330333(11)(1)fxxxxx， 由(11)(1)0xx得单调减区间为( 1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 7.（2009 江苏卷 9）在平面直角坐标系xoy中，点 p 在曲线 3 :103c yxx上，且在 第二象限内，已知曲线 c 在点 p 处的切线的斜率为 2，则点 p 的坐标为 . 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。 2 31022yxx ，又点 p 在第二象限内，2x 点 p 的坐标为（-2，15） 8.（2009 江苏卷 10）已知 51 2 a ，函数( ) x f xa，若实数m、n满足( )( )f mf n， 则m、n的大小关系为 . 【解析】考查指数函数的单调性。 51 (0,1) 2 a ，函数( ) x f xa在 r 上递减。由( )( )f mf n得：m1 ()讨论 f(x)的单调性; ()若当 x0 时，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关 键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成 立条件得出不等式条件从而求出的范围。立条件得出不等式条件从而求出的范围。 解： （i）)2)(2(4)1 (2)( 2 axxaxaxxf w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由1a知，当2x时，0)( x f，故)(xf在区间)2 ,(是增函数； 当ax22时，0)( x f，故)(xf在区间)2 , 2(a是减函数； 当ax2时，0)( x f，故)(xf在区间),2(a是增函数。 综上，当1a时，)(xf在区间)2 ,(和),2(a是增函数，在区间)2 , 2(a是 减函数。 （ii）由（i）知，当0x时，)(xf在ax2或0x处取得最小值。 aaaaaaaf2424)2)(1 ()2( 3 1 )2( 23 aaa244 3 4 23 af24)0( 由假设知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m , 0)0( , 0)2( 1 f af a 即 . 0 24 , 0)6)(3( 3 4 , 1 a aaa a 解得 10,得： 22 3232 ()()0 33 aaaa xx xa 讨论得：当 26 (,) 22 a时，解集为( ,)a ; 当 62 (,) 22 a 时，解集为 22 3232 ( ,) 33 aaaa a ; 当 22 , 22 a 时，解集为 2 32 ,) 3 aa . 19(09 高考数学文 21)（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 10 分 .有时可用函数 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0.1 15ln,6, ( ) 4.4 ,6 4 a x ax f x x x 描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数（） ，表x * xn( )f x 示对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关. （1）证明：当7 时，掌握程度的增长量总是下降；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m x(1)( )f xf x （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为（115，121,(121,127, (127,133.当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科. 证明（1）当时，7x 0.4 (1)( ) (3)(4) f xf x xx 而当时，函数单调递增，且7x (3)(4)yxx(3)(4)0xx 故函数单调递减(1)( )f xf x 当时，掌握程度的增长量总是