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第六章 简单超静定问题 6-1 超静定问题及其解法 6-2 拉压超静定问题 6-3 扭转超静定问题 6-4 简单超静定梁 61 超静定问题及其解法 一、关于超静定的基本概念 二、求解超静定问题的基本方法 一、关于超静定的基本概念 超静定问题与超静定结构未知力个数多于独 立平衡方程数 超静定次数 未知力个数与独立平衡方程数 之差 多余约束 保持结构静定多余的约束 静定问题与静定结构未知力(内力或外力)个 数等于独立的平衡方程数 A BD F A BCD F A BD F 二、求解超静定问题的基本方法 因为未知力个数超过了独立的平衡方程数，必须寻 找补充方程。 寻找补充方程的途径：利用结构的变形条件 结构受力后变形不是任意的，必须满足以下条件： 1、结构的连续性 2、变形与内力的 协调性 变形协调方程 补充方程 方法1： 寻找补充方程法（适用于求解拉压超 静定） 物理方程 变形比较法（适用于求解超静定梁） 1、建立相当系统：解除多余约束，代以多余约 束反力。 2、由梁的变形条件，求出多余约束反力。 3、求出多余约束反力后，按静定梁求解。 相当系统的内力图，应力和变形即为原超静 定梁的结果。 方法2： 静平衡方程 补充方程 各杆的内力 各杆的应力、变形 6-2 拉压超静定问题 一、拉压超静定问题的求解 二、温度应力和装配应力 一、拉压超静定问题的求解 例题：求图示杆的支反力A B F a b A B F a b 解： AB 杆受力如图 由： 本问题为共线力系，只有一个独立平衡方程 得： 现有两个未知力，本问题为一次超静定问题 需要建立一个补充方程 A B F a b A B F A B F A B 变形条件： 物理条件： 补充方程： A BCD 123 F l 图示结构,1、2杆的抗拉刚度相同，均为E1A1,3杆 的抗拉刚度为E3A3，受力如图。 求：各杆的内力。 例题 F FN3 FN1 FN2 A BCD 123 F l 本问题为一次超静定 对节点A 得到： 还需要建立一个补充方程 解： A BCD 123 F E A1 l 结构变形特点： 变形前三杆汇交于A点， 变形后三杆仍交于A点。 由于结构和受力的对称性 ，A点只有垂直位移。 变形协调方程： A BCD 123 F E A1 l A1 A2 A 1 2 3 物理方程 A1 A2 A 1 2 3 由变形协调方程和物理方程，可得到补充方程。 A BCD 123 F E A1 l 平衡方程 补充方程 解得： 图示结构,1、2杆的抗拉刚度相同，均为EA，AB杆 为刚杆 ，受力如图。 求：各杆的内力。 F AB 12 l aaa 例题 本问题为一次超静定 对杆AB F AB F AB 12 l aaa 得到: 解： C B C D D B A F AB 12 l aaa 变形协调方程 由结构的变形图,得到 物理方程 补充方程 C B C D D B A F AB 补充方程 静平衡方程 联解(a) (c),得: 二、温度应力和装配应力 1. 温度应力 静定结构中当温度变化时，内部不会产生应力。 超静定结构中当温度变化时，内部会产生附加 应力。 温度应力：超静定结构因温度变化而产生的应力。 AB AB 两端固支的直杆AB，长度为l ，抗拉刚度为EA， 热膨胀系数为 l。 求：温度升高 后杆内的应力。 AB l 例题 AB l 解： AB 本问题为一次超静定 静平衡方程 变形协调方程 物理方程 联解，得： AB l 杆端的约束力为： 杆中的温度应力为： 温度应力与杆的横截面面积A，杆的长度 l 无关。 无法用加大横截面面积的方法来 减小温度应力 AB l 杆中的温度应力为： 通过一组数据说明温度应力的大小： 钢材的热膨胀系数 求：温度升高 时的温度应力。 解： 温度应力的大小是很大的，工程中应当设法避免。 温度应力的大小是很大的，工程中应当设法避免 常使用的方法： 1、结构中适当留一 些间隙，（如钢轨, 桥梁,水泥路面） AB 2、结构中适当采用伸 缩节（如管道） AB 2.装配应力 静定结构中当结构尺寸有误差时，只会引起 结构几何位置的变化，内部不会产生应力。 超静定结构中当构件 尺寸有误差时，会引起强 迫装配，从而内部会产生 附加应力。 图示静定结构，1杆短，2杆长，装配时不会 产生装配应力。 12 装配应力：超静定结构因构件尺寸误差，引起 强迫装配而产生的应力。 123 图示静不定结构，3杆短了，装配时会 产生装配应力。 图示结构, 3根杆的抗拉刚度相同，均为EA， 3杆 比设计尺寸短了。 求：强迫装配后，各杆 的轴力。 A BCD 123 l 例题 解： 对节点A 得到： 还需要建立一个补充方程 FN3 FN1 FN2 A 本问题为一次超静定 A BCD 123 l A BCD 123 l A BCD 123 l A A1 A2 A3 变形协调方程 物理方程 补充方程 A A1 A2 A3 A BCD 123 l 平衡方程 补充方程 解得： A BCD 123 l 求：3根杆的装配应力。 图示结构, 3根杆的抗拉刚度相同，均为 EA， 3 杆比设计尺寸短了，若：3根杆均为圆钢杆 例题 A BCD 123 l 解： 3根杆的装配内力为： 3根杆的装配应力为： A BCD 123 l 3根杆的装配应力为： 利用圆轴扭转时的变形条件可以求解扭 转超静定问题。 ACB l ab 两端固定的圆轴， 受力如图。 求：两端的约束力偶矩。 6-3 扭转超静定问题 ACB 轴受力如图 一次超静定 变形条件： T 联解（1）（2），得： 图示两种材料的组合杆 ，扭转刚度分别为： ,端头受一扭转力偶矩 作用 。 求：各杆所受的力偶矩。 例题 物理方程： 将（3）、（4）代入（2），得补充方程 杆受力如图 变形条件： 解： 联解（1）、（5） 解得： 6-4 简单超静定梁 一、概述 三、简单组合结构的超静定问题 二、简单超静定梁 迄今为止，所研究梁的支反力都可以利用静 平衡方程直接求得 静定梁 支反力的数量 = 独立的平衡方程的数量 静定梁的条件为： 实际工程中，为了提高梁的强度和刚度，常 用的方法为增加梁的支座 超静定梁 支反力的数量 独立的平衡方程的数量 对于超静定梁： 一、概述 实例: 细长工件的 车削加工。 F 二、简单超静定梁 为了提高加工精度， 增加尾顶针。 力学模型: MA FAy FB FAx 一次超静定梁 A B l aF C 求解超静定梁的方法: 变形比较法 1、解除多余约束，代以多余 约束反力，建立相当系统。 本问题中，解除支座B，代以多余约束反力FB。 2、由梁的变形条件， 求出多余约束反力。 本问题中，梁的变形条件为： 3、求出多余约束反力后，按静定梁求解。 A B l aF C A B l aFMA FAy FAx FB C 解题过程如下： 对于相当系统有： 解得： A B l aFMA FAy FAx FB C A B l aF MA FAy FAx FB C 作出梁的弯矩图 M MA MC A B l F MA FAy FAx FB C 特殊地，当 时， 若未加尾顶针B，此时梁上的最大弯矩为： M MA MC A B l F MA FAy FAx FB C 特殊地，当 时， 梁上最大挠度为： 未加尾顶针时梁上的最大挠度为 合理地增加多余约束 可以明显减小梁上的 弯矩和变形。 变形比较法 1、解除多余约束，代以多余约束反力，建立 相当系统。 2、由梁的变形条件，求出多余约束反力。 3、求出多余约束反力后，按静定梁求解。 相当系统的内力图，应力和变形即为原超静定 梁的结果。 相当系统不是唯一的，但必须是静定系统。 A B q l 作出图示梁的剪力图和弯矩图。 例题 FBMA FAy FAx 取相当系统如图： A B q l 由梁的变形条件： 解得： M 取另一相当系统如图： 由梁的变形条件： A B q MA 解得： M q l AB 求图示梁的最大弯矩。 在某些高次超静定问题中,合理地应用对称性 分析可以降低超静定次数。 该问题理论上说，是三 次超静定问题。 在忽略x方向的轴向力 时，该问题简化为是二 次超静定问题。 可取相当系统如图： q l AB MB q l AB MB 由梁的变形条件： 解得： M A B q 取另一相当系统如图： MB MA 对于本问题，由对称性 分析可知： 该问题可简化为一次超 静定问题。 进而可得到： M 例题（例6-8，p194） 梁的抗弯刚度 外载荷 AC B q 4m3m2m F D 求作梁的剪力图和弯矩图。 解： AC B q 4m3m2m F D 本问题为一次超静定梁 解除B端的转动约束，代以 多余约束力偶 得相当系统如图。 C F D B A B q C F D B A B q AC B q 4m3m2m F D 变形条件为： C F D B A B q 由： 得： 解得： 对相当系统，可以求出各支座的支反力： AC B q 4m3m2m F D 求出支反力后， 即可以按照静定 梁的方法，画出 梁的剪力图和弯 矩图。 32.05 47.95 18.40 11.64 25.68 31.80 23.28 q l AB C a 三、简