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第六章 线性系统的动特性分析 第六章 线性系统的动特性分析 6-1 频率响应函数 6-2 单位脉冲响应函数 6-3 单位脉冲响应函数与频率响应函数的关系 6-4 卷积定理 本章将讨论振动系统的激励与响应关系，且 仅限于讨论稳定的常参数线性振动系统。 常参数系统（非时变系统）：振动系统的参数 （如质量、刚度和阻尼等）不随时间而变化。 线性系统:是指适用叠加原理的系统。 若系统在激励x1作用下,其响应为y1； 在激励x2作用下，其响应为y2； 则系统在激励ax1与bx2的联合作用下， 其响应为ay1+by2。 系统的线性假设可以使问题的分析大为简化，当系 统受到联合激励时，可以分别确定各个激励单独作用 时引起的响应，然后把它们叠加起来，便得到系统的 总响应。 常参数线性振动系统的运动可用常系数线性微分 方程来描述。 单自由度系统可用一个二阶常微分方程来描述； 多自由度系统则需用多个互相耦合的二阶常微分 方程来描述，其方程个数与自由度数相同。 如图所示的单输入和单输出的常参数系统，其响应 y(t)与激励x(t)之间的关系，可用如下一般形式的线性 微分方程来描述： 常参数线性振动系统 y(t) 输出（响应） x(t) 输入（激励） 激励x(t)可能是力、位移、速度或加速度等； 响应y(t)可能是力、位移、速度、加速度或应力等。 6-1 频率响应函数 频率响应法是描述线性系统动态特性的一种常 用方法。 对于常参数线性系统，当激励是稳态简谐输入 时，其稳态响应也一定是具有相同频率的简谐输 出，但其幅值和相位有所改变： 对常参数线性振动系统，采用频率响应法或脉 冲响应法来确定响应与激励之间的关系非常方便 ，上述两种方法中的频率响应函数与脉冲响应函 数互为傅里叶变换的关系。 将输入简谐函数表示为复指数 稳态输出则可表示为复数H()与输入x0ejt的乘积 H()又可写成复指数形式 |H()|表示复数H()的模，表示其幅角。于是: 复数H()描述了线性系统在频率域上的动态特性，称 为频率响应函数，简称频响函数。 频率响应函数是线性动力系统的本身特性，与外加激 励(输入)无关。 用复数H()表示输出与输入的振幅比y0/x0和相位， 其模代表了振幅比，幅角即为输出与输入之间的相 位差，前面的负号表示输出比输入滞后。 频率响应函数是系统对单位简谐输入的响应。 若已知系统的运动微分方程，则将x(t)与y(t)代入运动 微分方程并消去ejt项，可得到H()的代数方程。求 解此代数方程，便可得到复数频率响应函数H()。 解：对于刚度为k的线性弹 簧和阻尼系数为c的线性阻 尼器，可得系统的运动微 分方程 例5.1 图示弹簧阻尼器系统。假设在质量为 m的小车上作用激励力x(t)，小车的位移响应为 y(t)。试确定响应对激励的振幅比和相位角。 对恒幅的正弦激励x(t)=x0sint，稳态响应是具有相 同频率的恒幅正弦波，但相位滞后角，即 y(t)=y0sin(t-) 设： 带入方程： 频响函数： 实部A()和虚部B()皆为实函数，它们与的关系曲 线分别称为频率响应函数的实频特性和虚频特性。 H()的模与相位分别称为幅频特性和相频特性。 除了频率响应函数(对单位简谐输入的响应)也可以 用脉冲响应函数来描述系统的动态特性，它定义为系 统对单位脉冲（即冲量）输入的瞬态响应。 6-2 单位脉冲响应函数 单位脉冲可以用狄拉克函数表示 若系统激励x(t)的作用时间非常短，可视为理想脉冲 量纲:时间 当x(t)代表力时，则表示一次锤击或一个脉冲冲量，I 具有力乘时间的量纲。 “冲量”一词原只用于力冲量，在此进行扩展，x(t)可 代表任意一种输入参量，随x(t)代表的物理量不同，I 的量纲也不同。 如当x(t) 代表加速度时， I的量纲为加速度时间 自读此页 系统对在 t=0 时作用的单位脉冲所产生的响应h(t)， 称为单位脉冲响应函数。 如图所示，由于系统在冲量作用之前是静止的，故当 t0 时上式变为 这是弹簧质量系统的有阻尼自由振动微分方程。表 示衰减振动，在小阻尼情况下，其通解为 两种初始条件分别为： (1)当t0时，系统是静止的 (2) 在t=0的邻域内，单位脉冲力(t)引起 位移与速度: 将上述初始位移与初始速度带入方程： 求得： 故在单位脉冲力作用下，图示系统的脉冲响应函数为 频率响应函数H()描述了系统对单位简谐输入的响应 脉冲响应函数h(t)描述了系统对单位脉冲输入的响应 两者分别在频域和时域描述了系统的动态特性。 6-3单位脉冲响应函数与频率响应函数的关系 两者都取决于系统参数，之间有何内在联系 假定系统稳定，即受激励前是静止的，且在脉冲作用 之后，其运动又逐渐衰减，则系统对单位脉冲输入的 响应函数h(t)是绝对可积的，即满足收敛条件： 单位脉冲输入 脉冲响应函数 分别作傅里叶变换 对于非周期输入信号x(t)，可将其利用傅立叶变换展 成一系列谐和分量之和。分别考虑各个谐和分量对系 统的作用结果，然后把它们叠加起来，就得到系统的 总响应。 对于任意输入信号x(t)，其频谱X()连续变化，取其 由到d频带内的频率分量X() d讨论，与之 对应的在同一频带内的输出y(t)的频率分量为Y() d 对应简谐分量输入的时域波形 与此简谐输入相对应的简谐输出的时域波形 对于简谐输入x(t)=x0ejt来说，与其相应的输出为 则输出简谐分量y(t)又可表示为 所以X()、Y()和H()三者之间的重要关系式为 or 此式对任一频率分量都成立，则对于任意非周期 输入来说，频率响应函数等于输出的傅里叶变换 与输入的傅里叶变换之比。 根据单位脉冲输入和脉冲响应函数的傅里叶变换： 将它们代入到X()、Y()和H()三者的关系式 说明频率响应函数是脉冲响应函数的傅里叶变换。 而脉冲响应函数是频率响应函数的傅里叶逆变换 可证明上述两式分别为傅立叶变换对 6-4 卷积定理 本章12节讨论了系统对单位简谐激励和单位脉 冲激励的响应。以此为基础应用频率响应法或脉冲 响应法分析线性系统对任意输入的响应。 若激励x(t)是任意已知的非周期函数，则在采用频率 响应法时，不能将其展开成傅立叶级数，而要采用 积分形式，对x(t)作傅里叶变换。只要输入x(t)绝对 可积，即 则其傅里叶变换存在 X()的物理意义是非周期函数激励x(t)的各个简谐分 量的幅值密度。对于每个频率的简谐分量，将分别存 在下式： Y()是响应y(t)的傅里叶变换，取其逆傅里叶变换： 对于任意激励x(t)，只要知道系统的频率响应函数 H()，即可得到相应的响应y(t)，但一般按上式对积 分是很困难的，于是在确定系统对任意输入的响应时 ，一般不采用频率响应法。 应用脉冲响应法计算任意激励下的响应。 对于图示任意输入x(t)，可以把它分解成一系列的强 度为 x()d 脉冲单元。将系统对各个脉冲单元的响 应叠加起来，便得到对x(t)的总响应y(t)。 t=0时刻，单位脉冲输入的响应为h(t)。 t=时刻，单位脉冲输入的响应则为h(t-)， 对于强度为x()d的脉冲输入， 其响应为单位脉冲输入响应h(t-)的x()d倍 应用叠加原理，把对t以前的每个脉冲单元输入的响 应加起来，便得到t时刻的总响应。如果脉冲单元分 得很细，则极限情况下求和便变成积分。 该形式的积分称为卷积积分或杜哈美(Duhamel)积分 对于线性系统来说，该定理为最重要的输入输出 关系式之一。这是卷积积分的第一种形式。 卷积积分的第二种形式 在卷积积分式中，积分下限，表示包含t 时刻以前的所有脉冲单元，积分上限实际可以扩展到 ，因为t以后的输入对时刻t处的响应不产生影响 卷积积分的第三种形式 令： 表示脉冲作用时间与计算系统响应时 刻t之间的时间推移。对第一种形式进行变量置换 第一种形式 去掉负号调换积分限 第三种形式 卷积积分的第四种形式 第三种形式 当相当于 意味着脉冲输入在计算响应的时刻之后 把第三种形式的下限扩展到 卷积积分的四种形式相互等价 采用分析方法计算卷积积分一般都比较繁琐。对于某 些简单函数，用图解法计算卷积积分却很方便，并可 便于理解卷积积分的真实意义。(此部分阅读) 卷积积分的图解算法 设有两个时间函数x(t)和h(t)，其数学表达式分别为 它们的图形如图所示，在图中将变量 t 换成变量。 图解计算的步骤如下: 第一步：折转。即把h()图形绕纵轴翻转180o，这样 就得到了h(-)的图形。 第二步：平移。即把所得的图形往右移一个t 的距 离，则得h(t-)的图形。 第三步：相乘。即把x