态的表象和算符的矩阵表.pptx

态和力学量的表象 态的表象和算符的矩阵表示 周世勋 量子力学教程4.1，4.2 2013.11.26 （一）动量表象 （二）力学量表象 （三）讨论 1 态的表象 到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态 的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。 波函数也可以选用其它变量的函数， 力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。 表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前采用 的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。 但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标 系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它 们对空间的描写是完全是等价的。 在坐标表象中，体系的状态用波函数(x,t)描写，这样一个态如 何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。 动量本征函数： 组组成完备备系，任一 状态态可按其展开 展开系数 假设设 (x,t) 是归归一化波函数 ，则则 C(p,t) 也是归归一的。 命题题 证证 （一）动量表象 |C(p,t)|2dp 是在(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量 所得结果在 p p+dp 范围内的几率。 |(x,t)|2 dx 是在(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位 置所得结果在 x x+dx 范围内的几率。 (x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应对应 ，描述同一状态态。 (x,t) 是该该状态态在坐标标表象中的波函数； 而C(p,t) 就是该该状态态在动动量表象中的波函数。 C(p,t) 物理意义义 若(x,t) 描写的态是具有确定动量 p 的自由粒子态，即： 则则相应动应动 量表象中的波函数： 所以，在动动量表象中， 具有确定动动量p的粒 子的波函数是以动动量 p为变为变 量的- 函数。 换换言之，动动量本征函 数在自身表象中是一 个函数。 x 在自身表象即坐标标表象中对应对应 有确定值值 x本征函数是 (x-x)。 同样样 这这可由本征 值值方程看出： 那末，在任一力学量Q表象中， (x,t) 所描写的态又如何表示呢？ 推广上述讨论： x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象 因此可以对任何力学量 Q 都建立一种表象，称为 力学量 Q 表象。 问题 （1）具有分立本征值的情况 （2）含有连续本征值情况 （二）力学量表象 （1）具有分立本征值值的情况 设设 算符Q的本征值为值为 ： Q1,Q2,., Qn, .， 相应应本征函 数为为：u1(x), u2(x), ., un(x), .。 将(x,t) 按 Q 的 本征函数展开： 若, un都是归归一化的， 则则 an(t) 也是归归一化的。 证： 由此可知，| an| 2 表示 在(x,t)所描述的状态态 中测测量 Q 得 Qn 的几率。 a1(t),a2(t),.,an(t), . 就是(x,t)所描写状态态 在Q表象中的表示。 写成 矩阵形式 共轭轭矩阵阵 归归一化可写为为 写成 矩阵形式 （2）含有连续连续 本征值值情况 例如氢氢原子能量就是这样这样 一种力学量， 即有分立也有连续连续 本征值值。 设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为： Q1, Q2, ., Qn, ., q u1(x),u2(x), .,un(x),.,uq(x) 则则 归一化则变为： |an(t)|2 是在 (x,t) 态态中测测量力学量 Q 所得结结果为为 Qn 的几率； 在这样这样 的表象中， 仍可以用一个列矩阵阵 表示： 归归一化仍可表为为：+= 1 |aq(t)|2dq 是在(x,t) 态态中 测测量力学量 Q 所得结结果在 q q+dq之间间的几率。 同一状态态可以在不同表象用波函数描写，表象不同， 波函数的形式也不同，但是它们们描写同一状态态。 （三）讨论讨论 坐标表象动量表象 动量本征 函数 不含时 动量本征函数 本征方程 态态矢量 基本矢量 这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。 矢量 A在直角坐标系由三分量Ax Ay Az 描述； 在球坐标系用三分量Ar A A 描述。 Ax Ay Az 和 Ar, A, A 形式不同，但描写同一矢量A。 波函数 是态矢量在Q表象中沿各基矢方向上的“分量 ”。Q表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在 的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为 Hilbert空间。 所以我们可以把状态看成是一个矢量态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系， u1(x), u2(x), ., un(x), . 是 Q 表象 的基本矢量简简称基 矢。 态迭加原理一般可写为： 量子力学中态所具有的性质与希尔伯特空间 中矢量所具有性质是一致的，因此用希尔伯 特空间中矢量可表示量子力学的态。量子力 学的数学基础是泛函分析。 态叠加原理的一般形式 （一）力学量算符的矩阵表示 （二）Q 表象中力学量算符 F 的性质 （三）Q 有连续本征值的情况 算符的矩阵表示 坐标标表象： Q表象： 假设只有分立本征值，将 , 按un(x)展开： 两边左乘 u*n(x) 并对 x 积分 Q表象的 表达方式 代入 （一）力学量算符的矩阵表示 Q表象的表达方式 F 在 Q 表象中是一个矩阵阵， Fnm 是其矩阵阵元 =F 简简写成 写成矩阵阵形式 （1）力学量算符用厄密矩阵阵表示 所以厄密算符的矩阵 表示是一厄密矩阵。 （二）Q表象中力学量算符 F 的性质 （2）力学量算符在自身表象中的形式 Q的矩阵阵形式 结论结论 ： 算符在自身表象中是一 对对角矩阵阵，对对角元素就 是算符的本征值值。 （1）只有连续连续 本征值值 如果 Q只有连续本征值q ，上面的讨论仍然适用，只需将u, a, b的角标从可数的 n, m 换成连续变化的 q，求和换成积 分，见下表。 分立谱谱连续谱连续谱 算符F在Q表象仍是一个矩 阵阵，矩阵阵元由下式确定： 只是该矩阵的行列是不是 可数的，而是用连续下标 表示 （三） Q 有连续本征值的情况 例题 （周世勋P. 116) 4.1. 求在动量表象中角动量 的矩阵元 和 的矩阵元。 解 ： 动量本征函数组组 成完备备系： (周世勋 P.116) 4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动 量的矩阵元。 解： 当 时 基矢： 能量本征值 对角元： 例 1：求 Lx , Ly , Lz ,在 L2, Lz 共同表象，=1子空间间中的矩阵阵表示。 令： u1 = Y11 u2 = Y10 , u3 = Y1-1 Lx矩阵阵是33矩阵阵 计计算中 使用了 公式 由此得Lx矩阵阵元 (Lx)11 = (Lx)22 = (Lx)33 = 0 (Lx)13 = (Lx)31 = 0 (Lx)12 = (Lx)21 = (Lx)23 = (Lx)32 = /21/2 则则 Lx 的矩阵阵元可如下计计算： (Lx)11 = (Lx)22 = (Lx)33 = 0 (Lx)13 = (Lx)31 = 0 (Lx)12 = (Lx)21 = (Lx)23 = (Lx)32 = /21/2 写 成 矩 阵阵 同理可得Ly Lz Lz在自身表象中具有最简简 单单形式，是一个对对角矩阵阵， 对对角元素就是 Lz的本征值值。 例2：在例1中给