[工学]线性系统理论第六章.ppt

线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 线性系统的时间域理论线性系统的时间域理论 第第6 6章章 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 分析分析 ： 综合与分析是相反的一个命题。综合与分析是相反的一个命题。 稳定性等）和定量的变化规律。稳定性等）和定量的变化规律。 研究系统运动的定性行为（如能控性、能观测性、研究系统运动的定性行为（如能控性、能观测性、 已知系统结构和参数及外输入作用，已知系统结构和参数及外输入作用， 001001 综合综合 ： 律及需要增加的结构和参数。律及需要增加的结构和参数。 确定需要施加于系统的外输入作用，即控制作用的规确定需要施加于系统的外输入作用，即控制作用的规 已知系统结构和参数及所期望的系统运动形式或某些已知系统结构和参数及所期望的系统运动形式或某些 特征。特征。 合问题。合问题。 以状态空间法为基础，在时间域内讨论线性反馈系统的综以状态空间法为基础，在时间域内讨论线性反馈系统的综 控制作用规律常取为反馈的形式。控制作用规律常取为反馈的形式。 抗扰动或抗参数变动，反馈系统优于非反馈系统。抗扰动或抗参数变动，反馈系统优于非反馈系统。 综合是建立在系统分析的基础上的。综合是建立在系统分析的基础上的。 002002 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 6.1 6.1 引言引言 uu综合问题的提出综合问题的提出 ： 维状态向量，维状态向量， ： 维输出向量，维输出向量， ： 维输入向量，维输入向量， 给定系统的状态空间描述：给定系统的状态空间描述： 矩阵矩阵 、 和和 为常阵且为给定。为常阵且为给定。 给定给定 ：期望的性能指标、某些特征向量、或某种期望形式、：期望的性能指标、某些特征向量、或某种期望形式、 或极小（或极大）值一个性能函数。或极小（或极大）值一个性能函数。 003003 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 寻找一个控制作用寻找一个控制作用 ，在其作用下系统的运动满足所给，在其作用下系统的运动满足所给 所谓综合：所谓综合： 出的期望性能指标。出的期望性能指标。 如果控制作用依赖于系统的实际响应：如果控制作用依赖于系统的实际响应： 输出反馈控制输出反馈控制 有有 状态反馈控制状态反馈控制 其中：其中： 为为 常阵，状态反馈矩阵。常阵，状态反馈矩阵。 为参考输入向量。为参考输入向量。 为为 常阵，输出反馈矩阵。常阵，输出反馈矩阵。 004004 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 uu性能指标的类型性能指标的类型 所导出的闭环结构的控制系统，分别称为状态反馈系统和所导出的闭环结构的控制系统，分别称为状态反馈系统和 输出反馈系统。输出反馈系统。 综合综合 ：确定控制：确定控制 的规律和形式。的规律和形式。 非优化型指标非优化型指标 ：不等式型的指标，：不等式型的指标， 即可。即可。 设计设计 ：还要考虑控制：还要考虑控制 的实现问题。的实现问题。 优化型指标优化型指标 ：一类极值型指标，所有值中取极值。：一类极值型指标，所有值中取极值。 005005 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 非优化型指标非优化型指标 ： （1 1）以渐近稳定作为性能指标，镇定问题。）以渐近稳定作为性能指标，镇定问题。 一个输出一个输出 ” ”作为性能指标，解耦问题。作为性能指标，解耦问题。 作为性能指标，跟踪问题。作为性能指标，跟踪问题。 （2 2）以一组期望的闭环极点作为性能指标，极点配置。）以一组期望的闭环极点作为性能指标，极点配置。 （3 3）以使一个多输入）以使一个多输入多输出系统实现多输出系统实现 “ “一个输入只控制一个输入只控制 （4 4）以使系统的输出）以使系统的输出 无静差地跟踪一个外部信号无静差地跟踪一个外部信号 006006 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 优化型性能指标优化型性能指标 ： 常取一个相对于状态常取一个相对于状态 和控制和控制 的二次型积分性能指标的二次型积分性能指标 ： 规定出加权矩阵规定出加权矩阵 和和 ，综合的任务，是确定一个控制，综合的任务，是确定一个控制 为最优控制，为最优控制， 为最优性能。为最优性能。 其中其中 ： 为正定对称常阵，为正定对称常阵， 为正定对称常阵或正半定对为正定对称常阵或正半定对 称常阵且称常阵且 为能观测。为能观测。 ，使指标，使指标 为极小值。为极小值。 007007 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 （1 1）建立可综合条件）建立可综合条件 综合问题分解为两个性质不同的命题。综合问题分解为两个性质不同的命题。 uu研究综合问题的思路研究综合问题的思路 给定的受控系统和指标，控制存在且实现综合的条件。给定的受控系统和指标，控制存在且实现综合的条件。 （2 2）建立相应的用以综合控制规律的算法）建立相应的用以综合控制规律的算法 确定满足要求的控制律。确定满足要求的控制律。 008008 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 （1 1）状态反馈的构成问题）状态反馈的构成问题 uu控制系统工程实现中的一些理论问题控制系统工程实现中的一些理论问题 利用可测输入利用可测输入 和输出和输出 来构造出不能测的状态来构造出不能测的状态 。 称为状态重构，观测器问题。称为状态重构，观测器问题。 问题。问题。 （2 2）系统模型的不准确和参数慑动问题）系统模型的不准确和参数慑动问题 模型不准确和参数慑动，按理想模型得到的控制器组成的模型不准确和参数慑动，按理想模型得到的控制器组成的 控制系统中，是否产生达不到期望的性能指标或不稳定的控制系统中，是否产生达不到期望的性能指标或不稳定的 009009 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 鲁棒性问题鲁棒性问题 ：参数的不精确误差或摄动出现在模型参数：参数的不精确误差或摄动出现在模型参数 的一个邻域内时，系统仍能稳定地运行或保持期望的性能的一个邻域内时，系统仍能稳定地运行或保持期望的性能 值，则是鲁棒性的。值，则是鲁棒性的。 （3 3）对外部扰动的影响的抑制问题）对外部扰动的影响的抑制问题 扰动抑制问题。扰动抑制问题。 010010 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 6.2 6.2 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈 控制控制 取为状态取为状态 的线性函数，的线性函数， uu状态反馈和输出反馈的构成形式状态反馈和输出反馈的构成形式 称为状态反馈，线性的直接状态反馈。称为状态反馈，线性的直接状态反馈。 线性定常系统线性定常系统 011011 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 控制控制 取为输出取为输出 的线性函数，的线性函数， 称为输出反馈，线性非动态输出反馈，简称为输出反馈。称为输出反馈，线性非动态输出反馈，简称为输出反馈。 为参考输入。为参考输入。 012012 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 状态反馈的构成形式：状态反馈的构成形式： 传递函数矩阵为：传递函数矩阵为： 013013 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 输出反馈的构成形式：输出反馈的构成形式： 传递函数矩阵为：传递函数矩阵为： 014014 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 则则 受控系统的传递函数矩阵为：受控系统的传递函数矩阵为： 或或 证证 ： 015015 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 证证 毕毕 016016 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 两者都可改变系统结构属性和实现性能指标。两者都可改变系统结构属性和实现性能指标。 状态反馈和输出反馈，都可改变系统矩阵。状态反馈和输出反馈，都可改变系统矩阵。 令令 ： 则输出反馈达到的功能，必可找到相应的则输出反馈达到的功能，必可找到相应的 状态反馈要优于输出反馈。状态反馈要优于输出反馈。 一个状态反馈来实现。一个状态反馈来实现。 但但 的解的解 通常不存在，则反之不成立。通常不存在，则反之不成立。 017017 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 反馈的引入对能控性和能观测性的影响。反馈的引入对能控性和能观测性的影响。 结论结论 1 1：状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可能：状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可能 改变系统的能观测性。改变系统的能观测性。 结论结论2 2 ：输出反馈的引入不改变系统的能控性和能观测性。：输出反馈的引入不改变系统的能控性和能观测性。 能控（能观）能控（能观）= = 能控（能观）能控（能观） uu状态反馈和输出反馈系统的能控性和能观测性状态反馈和输出反馈系统的能控性和能观测性 018018 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 反馈信息的性质：反馈信息的性质： 状态状态 可完全地表征系统结构的信息，可完全地表征系统结构的信息， 状态反馈是一种完全的系统信息反馈。状态反馈是一种完全的系统信息反馈。 输出反馈是一种不完全的系统信息反馈。输出反馈是一种不完全的系统信息反馈。 为了使反馈系统获得良好的动态性能，必须采用完全信息为了使反馈系统获得良好的动态性能，必须采用完全信息 uu状态反馈和输出反馈的比较状态反馈和输出反馈的比较 反馈系统，即状态反馈。反馈系统，即状态反馈。 019019 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 联补偿器，构成动态输出反馈系统。联补偿器，构成动态输出反馈系统。 欲使输出反馈也能达到满意的性能，引入串联补偿器和并欲使输出反馈也能达到满意的性能，引入串联补偿器和并 020020 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 输出变量可直接测量，状态反馈的工程构成，是引入状态输出变量可直接测量，状态反馈的工程构成，是引入状态 观测器，利用可量测变量观测器，利用可量测变量 和和 作为其输入，以获得作为其输入，以获得 的重的重 构量构量 ，来实现状态反馈。，来实现状态反馈。 时，时， 和和 相等。相等。 021021 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 6.3 6.3 极点配置问题极点配置问题 ：可配置条件和算法：可配置条件和算法 其中：其中： 为为 维状态向量，维状态向量， 为为 维控制向量，维控制向量， 和和 为为 uu状态反馈的极点配置问题状态反馈的极点配置问题 相应维数的已知常阵。相应维数的已知常阵。 线性定常受控系统线性定常受控系统 给定给定 个所期望的闭环系统的极点：个所期望的闭环系统的极点： 实数、或共轭复数。实数、或共轭复数。 希望闭环极点希望闭环极点 = = 性能指标。性能指标。 022022 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 极点配置极点配置 ： 确定状态反馈控制确定状态反馈控制 ： 为参考输入。为参考输入。 即确定一个即确定一个 的状态反馈增益矩阵的状态反馈增益矩阵 ，使得状态，使得状态 反馈闭环系统反馈闭环系统 ： 的极点为的极点为 即成立即成立 表示表示 的特征值。的特征值。 023023 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 解决两个问题解决两个问题 条件条件 ：利用状态反馈任意地配置其闭环极点的条件。：利用状态反馈任意地配置其闭环极点的条件。 算法算法 ：确定状态反馈增益矩阵：确定状态反馈增益矩阵 的算法。的算法。 uu极点可配置条件极点可配置条件 循环矩阵循环矩阵 ：系统矩阵：系统矩阵 的特征多项式等同于其最小多项式。的特征多项式等同于其最小多项式。 特性特性 ： （1 1） 为循环矩阵，当且仅当它的约当规范形中，相应于为循环矩阵，当且仅当它的约当规范形中，相应于 每一个不同的特征值仅有一个约当块。每一个不同的特征值仅有一个约当块。 024024 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 （2 2）如果）如果 的所有特征值为两两相异，则对应于每一个特的所有特征值为两两相异，则对应于每一个特 征值必仅有一个约当块，因此征值必仅有一个约当块，因此 必定是循环的。必定是循环的。 间，也即间，也即 为能控。为能控。 （3 3）若）若 为循环矩阵，则其循环是指为循环矩阵，则其循环是指 ：必存在一个向量：必存在一个向量 ，使向量组，使向量组 可构成一个可构成一个 维空维空 （4 4）若）若 为能控，且为能控，且 为循环，则对几乎任意的为循环，则对几乎任意的 实向量实向量 ，单输入矩阵对，单输入矩阵对 为能控。为能控。 025025 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 （5 5）若）若 不是循环的，但不是循环的，但 为能控，则对几乎任意为能控，则对几乎任意 的的 常阵常阵 ， 为循环。为循环。 结论结论 ：线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全 部极点的充分必要条件，是此系统为完全能控。部极点的充分必要条件，是此系统为完全能控。 uu单输入极点配置问题的算法单输入极点配置问题的算法 算法算法 ：给定能控性矩阵对：给定能控性矩阵对 和一组期望的闭环特征和一组期望的闭环特征 使成立使成立 值值 ，确定，确定 的增益矩阵的增益矩阵 ， 026026 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 第第 1 1 步步 ：计算：计算 的特征多项式，即的特征多项式，即 第第 2 2 步步 ：计算由：计算由 所决定的特征多项式。所决定的特征多项式。 即即 ： 第第 3 3 步步 ：计算：计算 027027 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 第第 4 4 步步 ：计算变换矩阵：计算变换矩阵 第第 5 5 步步 ：求：求 第第 6 6 步步 ：所求增益矩阵：所求增益矩阵 028028 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 例例 ：给定单输入线性定常系统为：给定单输入线性定常系统为 ： 再给定期望的一组闭环特征值为再给定期望的一组闭环特征值为 ： 解解 ：系统为完全能控，故满足可配置条件。计算特征多项式：系统为完全能控，故满足可配置条件。计算特征多项式 029029 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 计算计算 可求得可求得 计算变换矩阵计算变换矩阵 030030 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 求出逆矩阵求出逆矩阵 所求增益矩阵为所求增益矩阵为 031031 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 状态反馈状态反馈 配置闭环系统矩阵的特征值配置闭环系统矩阵的特征值 配置闭环系配置闭环系 uu状态反馈对传递函数矩阵的零点的影响状态反馈对传递函数矩阵的零点的影响 状态反馈状态反馈 ：改变极点的同时，是否影响系统的零点。：改变极点的同时，是否影响系统的零点。 单输入单输入单输出，完全能控的线性定常系统，单输出，完全能控的线性定常系统， 统传递函数矩阵的极点。统传递函数矩阵的极点。 032032 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 其中其中 ： 引入适当的线性非奇异变换，将其化为能控规范形，引入适当的线性非奇异变换，将其化为能控规范形， 033033 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 传递函数传递函数 为为 ： 任意给定期望的一组闭环极点任意给定期望的一组闭环极点 相应的特征多项式为相应的特征多项式为 ： 034034 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 反馈增益矩阵为反馈增益矩阵为 ， 为使为使 由极点配置问题的算法可知由极点配置问题的算法可知 ： 化为能控规范形化为能控规范形 的变换矩阵，而的变换矩阵，而 则状态反馈系统为则状态反馈系统为 ： 035035 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 其中其中 ： 其能控规范形为其能控规范形为 ： 036036 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 状态反馈系统的传递函数状态反馈系统的传递函数 为为 ： 引入状态反馈，使引入状态反馈，使 的极点移动，但不影响零点。的极点移动，但不影响零点。 但是，移动极点与零点相重合而对消，也影响了零点，被对但是，移动极点与零点相重合而对消，也影响了零点，被对 消掉的极点成为不可观测的。消掉的极点成为不可观测的。 037037 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 反馈增益矩阵解的不唯一性。反馈增益矩阵解的不唯一性。 相同极点配置的两个不同的反馈增益矩阵相同极点配置的两个不同的反馈增益矩阵 和和 ， 相应的闭环传递函数矩阵相应的闭环传递函数矩阵 和和 将有不同的状态运动响应和输出响应。将有不同的状态运动响应和输出响应。 应选取使元增益值较小且瞬态响应较好的反馈增益矩阵解。应选取使元增益值较小且瞬态响应较好的反馈增益矩阵解。 一般是不相同的。一般是不相同的。 038038 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 uu输出反馈的极点配置问题输出反馈的极点配置问题 （ 为参考输入），不能任意地配置系统的全部极点。为参考输入），不能任意地配置系统的全部极点。 （1 1）一般地说，利用非动态输出反馈）一般地说，利用非动态输出反馈 其中：其中： 为为 维状态向量，维状态向量， 和和 为标量输入和标量输出。为标量输入和标量输出。 单输入单输入单输出系统单输出系统 039039 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 其中其中 ： 为参考输入，为参考输入， 为标量反馈增益。为标量反馈增益。 取反馈控制取反馈控制 其特征多项式为其特征多项式为 ： 输出反馈系统的传递函数为输出反馈系统的传递函数为 ： 040040 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 注意注意 ： 利用利用 ： 可得可得 ： 041041 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 再表再表 ： 引入输出反馈后，反馈系统的极点即为方程引入输出反馈后，反馈系统的极点即为方程 ： 则则 ： 的根。的根。 042042 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 极点和零点，则由根轨迹可知，闭环系统的极点只能分布于极点和零点，则由根轨迹可知，闭环系统的极点只能分布于 由由 和和 的根分别为的根分别为 的的 输出反馈不可能把反馈系统的极点配置到根轨迹以外的位置输出反馈不可能把反馈系统的极点配置到根轨迹以外的位置 以开环极点为始点和以开环零点为终点的一组根轨迹上。即，以开环极点为始点和以开环零点为终点的一组根轨迹上。即， 非动态输出反馈不能任意地配置系统的全部极点。非动态输出反馈不能任意地配置系统的全部极点。 上。上。 043043 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 统的维数为统的维数为 ，且，且 和和 ，则采用，则采用 （2 2）对于能控和能观测的受控系统）对于能控和能观测的受控系统 ，令系，令系 非动态线性输出反馈非动态线性输出反馈 ，可对数目为，可对数目为 ： 个闭环极点进行个闭环极点进行 “ “任意地接近任意地接近 ” ”式式 配置，即可使它们任意地接近于指定的期望极点位置。配置，即可使它们任意地接近于指定的期望极点位置。 （3 3）如果在引入输出反馈的同时，附加引入补偿器，那）如果在引入输出反馈的同时，附加引入补偿器，那 么通过适当选取和综合补偿器的结构和特性，将可对所导出么通过适当选取和综合补偿器的结构和特性，将可对所导出 的输出反馈系统的全部极点进行任意配置。的输出反馈系统的全部极点进行任意配置。 044044 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 对于线性定常受控系统对于线性定常受控系统 ： 状态反馈律状态反馈律 ： ， 为参考输入。为参考输入。 则称系统实现了状态反馈镇定。则称系统实现了状态反馈镇定。 6.4 6.4 镇定问题镇定问题 ：可镇定条件和算法：可镇定条件和算法 是渐近稳定的，也即其特征值均具有负实部，是渐近稳定的，也即其特征值均具有负实部， uu状态反馈的镇定条件状态反馈的镇定条件 如，通过反馈构成的闭环系统如，通过反馈构成的闭环系统 ： 045045 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 开平面上，属于极点区域配置问题。开平面上，属于极点区域配置问题。 镇定问题镇定问题 ：综合的目标不是使闭环系统的极点严格地配置：综合的目标不是使闭环系统的极点严格地配置 到任意指定的一组位置上，而是使其配置于复数平面的左半到任意指定的一组位置上，而是使其配置于复数平面的左半 uu可镇定条件可镇定条件 如果系统如果系统 为能控，必存在增益矩阵为能控，必存在增益矩阵 ，使得，使得 的全部特征值配置到任意位置上，包括使的全部特征值配置到任意位置上，包括使 046046 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 状态反馈镇定的充分必要条件为状态反馈镇定的充分必要条件为 ： 条件。条件。 为能控是系统可由状态反馈实现镇定的一个充分为能控是系统可由状态反馈实现镇定的一个充分 结论结论 ：线性定常系统是由状态反馈可镇定的，当且仅当：线性定常系统是由状态反馈可镇定的，当且仅当 其不能控部分是渐近稳定的。其不能控部分是渐近稳定的。 题中综合状态反馈增益矩阵题中综合状态反馈增益矩阵 的计算可按下述步骤进行的计算可按下述步骤进行 ： 算法算法 ：给定：给定 ，且知其满足可镇定条件，则镇定问，且知其满足可镇定条件，则镇定问 047047 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 第第 1 1 步步 ：对：对 按能控性进行结构分解，导出按能控性进行结构分解，导出 ，并求出变换矩阵，并求出变换矩阵 。 第第 2 2 步步 ：对：对 求出约当规范形，求出约当规范形， 其中，其中， 为为 常阵，且常阵，且 048048 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 为为 常阵，且常阵，且 为为 矩阵，并有矩阵，并有 同时，求出同时，求出 。 第第 3 3 步步 ：利用极点配置问题算法，计算：利用极点配置问题算法，计算 的反馈的反馈 增益矩阵增益矩阵 ，使，使 均具有均具有 负实部。负实部。 049049 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 第第 4 4 步步 ：所求的镇定反馈增益矩阵：所求的镇定反馈增益矩阵 ： 是通过把位于右半闭复数平面上的极点是通过把位于右半闭复数平面上的极点 “ “ 调整调整 ” ” 到左半开复到左半开复 数平面上而实现镇定的。数平面上而实现镇定的。 050050 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 6.5 6.5 解耦控制问题解耦控制问题 ：可解耦条件和算法：可解耦条件和算法 三个基本假定三个基本假定 ： 问题的提出问题的提出 ：多输入：多输入多输出的线性定常系统多输出的线性定常系统 其中，其中， 为为 维状态向量，维状态向量， 为为 维控制向量，维控制向量， 为为 维维 输出向量。输出向量。 051051 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 （2 2）控制律采用状态反馈结合输入变换，取）控制律采用状态反馈结合输入变换，取 为参考输入。为参考输入。 （1 1） ，输出和输入具有相同的变量个数。，输出和输入具有相同的变量个数。 为为 反馈增益矩阵，反馈增益矩阵， 为为 输入变换矩阵，输入变换矩阵， （3 3）输入变换矩阵）输入变换矩阵 为非奇异，即为非奇异，即 。 052052 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 结构图如下结构图如下 ： 状态空间描述为状态空间描述为 ： 053053 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 传递函数矩阵为传递函数矩阵为 ： ，则，则 为为 的有理分式矩阵。的有理分式矩阵。 解耦控制问题解耦控制问题 ：对（：对（1 1）式给出的多变量受控系统，寻找）式给出的多变量受控系统，寻找 一个输入变换和状态反馈矩阵对一个输入变换和状态反馈矩阵对 ，使由（，使由（3 3）式所定）式所定 出的传递函数矩阵出的传递函数矩阵 为非奇异对角线有理分式阵，即为非奇异对角线有理分式阵，即 054054 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 两个问题两个问题 ： 关系式关系式 ： 实现解耦后，存在实现解耦后，存在 如下关系，输出变量和参考输入变量之间如下关系，输出变量和参考输入变量之间 ： （1 1）受控系统的可解耦性，实现解耦的条件。）受控系统的可解耦性，实现解耦的条件。 （2 2）解耦控制问题的算法，求）解耦控制问题的算法，求 。 055055 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 受控系统包含着变量间的耦合，通过外部的控制作用，受控系统包含着变量间的耦合，通过外部的控制作用， 可使一个可使一个 维的多输入维的多输入多输出系统化为多输出系统化为 个相互独立的个相互独立的 单输入单输入单输出控制系统。单输出控制系统。 一个输出量仅由一个输入量所完全控制。一个输出量仅由一个输入量所完全控制。 uu传递函数矩阵的两个特征量传递函数矩阵的两个特征量 完全能观测的多输入完全能观测的多输入多输出线性定常系统多输出线性定常系统 056056 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 为为 的传递函数矩阵，的传递函数矩阵， 为它的第为它的第 个行传递函数向量，并有个行传递函数向量，并有 ： 表表 的分母多项式的次数和的分母多项式的次数和 的分子的分子 多项式的次数之差。多项式的次数之差。 则则 的第一个特征量的第一个特征量 定义为定义为 ： 必为非负整数。必为非负整数。 当当 给定后，给定后， 为唯一确定。为唯一确定。 057057 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 的第二个特征量的第二个特征量 定义为定义为 ： 的常行向量。的常行向量。 两个特征量两个特征量 和和 的基本属性的基本属性 ： （1 1）如果）如果 的相应的状态空间描述为的相应的状态空间描述为 ， 且表且表 为为 的第的第 个行向量。个行向量。 058058 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 则有则有 ： 和和 059059 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 状态反馈闭环系统的传递函数矩阵状态反馈闭环系统的传递函数矩阵 的第的第 个行个行 传递函数向量可表为传递函数向量可表为 ： （2 2）对于任意的矩阵对）对于任意的矩阵对 ，其中，其中 ， 其中其中 ： 060060 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 和和 061061 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 而而 的两个特征量的两个特征量 和和 可表为可表为 ： 和和 062062 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 开环系统和闭环系统的传递函数矩阵的特征量之间存在如下开环系统和闭环系统的传递函数矩阵的特征量之间存在如下 的关系式的关系式 ： （3 3）对于任意的矩阵对）对于任意的矩阵对 ，其中，其中 ， 063063 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 结论结论 ：线性定常受控系统，可采用状态反馈和输入变换，：线性定常受控系统，可采用状态反馈和输入变换， 即存在矩阵对即存在矩阵对 进行解耦的充分必要条件，是如进行解耦的充分必要条件，是如 uu可解耦条件可解耦条件 为非奇异。为非奇异。 下的下的 常阵常阵 ： 064064 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 解耦后系统能正常运行，并具有良好的动态性能，要求受控解耦后系统能正常运行，并具有良好的动态性能，要求受控 系统是能控的，至少是能镇定的。系统是能控的，至少是能镇定的。 （1 1）能否实现解耦，由传递函数矩阵）能否实现解耦，由传递函数矩阵 的两组特征的两组特征 推论推论 ： 量量 和和 决定。决定。 （2 2） 可由传递函数矩阵组成，也可由状态空间描述组可由传递函数矩阵组成，也可由状态空间描述组 成。成。 065065 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 （3 3）一个可解耦的受控系统，当选取）一个可解耦的受控系统，当选取 为为 ： 阵，阵， 时，时， 使系统解耦，解耦系统的传递函数矩阵为使系统解耦，解耦系统的传递函数矩阵为 ： 066066 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 均具有多重积分器的特性，称为积分型解耦。均具有多重积分器的特性，称为积分型解耦。 解耦后，每个单输入解耦后，每个单输入单输出闭环控制系统的传递函数单输出闭环控制系统的传递函数 有一定的价值。有一定的价值。 动态性能不好，没有实用价值，但作为一个中间步骤，动态性能不好，没有实用价值，但作为一个中间步骤， 067067 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 给定受控系统为给定受控系统为 ： 其中其中 ： ， 为能控。为能控。 uu确定解耦控制矩阵对确定解耦控制矩阵对 的算法的算法 系统要实现期望的极点配置。系统要实现期望的极点配置。 实现解耦，同时对解耦后的每一个单输入实现解耦，同时对解耦后的每一个单输入单输出控制单输出控制 068068 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 判断，判断， 是否为非奇异。是否为非奇异。 第第 1 1 步步 ：计算：计算 和和 若是，可解耦，进入下一步。若否，不能解耦。若是，可解耦，进入下一步。若否，不能解耦。 第第 2 2 步步 ：计算：计算 和和 069069 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 导出积分型解耦系统导出积分型解耦系统 第第 3 3 步步 ：取：取 为为 ： 其中，其中， 且由且由 能控，知能控，知 为能控。为能控。 070070 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 变换为如下的解耦规范形变换为如下的解耦规范形 第第 4 4 步步 ：引入线性非奇异变换：引入线性非奇异变换 ，把，把 071071 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 （ 不完全能观测，或状态反馈导致不完全能观测，或状态反馈导致 不完全能不完全能 其中，虚线分块化表示按能观测性的结构分解形式，其中，虚线分块化表示按能观测性的结构分解形式， 观测）。观测）。 当当 为能观测时，则为能观测时，则 中不出现不能观测部分。中不出现不能观测部分。 072072 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 此外，进而有此外，进而有 ： 073073 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 其中，其中， 074074 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 现解耦控制和解耦后的单输入现解耦控制和解耦后的单输入单输出控制系统的极点配置。单输出控制系统的极点配置。 第第 5 5 步步 ：对解耦规范形：对解耦规范形 ，引入状态反馈，来实，引入状态反馈，来实 其中，其中， 状态反馈增益矩阵取为如下形式的状态反馈增益矩阵取为如下形式的 常阵常阵 ： 075075 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 并且，由此可以导出并且，由此可以导出 ： 076076 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 和和 077077 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 的元则由解耦后的第的元则由解耦后的第 个单输入个单输入单单 表明，表明， 的结构形式保证了解耦控制的实现，而的结构形式保证了解耦控制的实现，而 部特征值。部特征值。 由于需保证实现解耦，状态反馈所能控制的不是由于需保证实现解耦，状态反馈所能控制的不是 的全的全 输出控制系统的期望极点组所决定。输出控制系统的期望极点组所决定。 078078 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 使其实现解耦和对解耦后各单输入使其实现解耦和对解耦后各单输入单输出系统进行期单输出系统进行期 第第 6 6 步步 ：对于所讨论的受控系统：对于所讨论的受控系统 ： 望的极点配置的望的极点配置的 为为 ： 079079 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 uu静态解耦控制问题静态解耦控制问题 控制系统控制系统 ： 输出维数和输入维数相等的线性定常系统输出维数和输入维数相等的线性定常系统 ： 如果存在状态反馈和输入变换如果存在状态反馈和输入变换 ，使得所导出的闭环，使得所导出的闭环 080080 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 具有如下的属性具有如下的属性 ： （2 2） 一般为非对一般为非对 （1 1）闭环控制系统是渐近稳定的。）闭环控制系统是渐近稳定的。 角线矩阵，但是，当角线矩阵，但是，当 时其为对角线非奇异常阵，即时其为对角线非奇异常阵，即 则称受控系统是静态能解耦的。则称受控系统是静态能解耦的。 前面所研究的解耦问题为动态解耦问题。前面所研究的解耦问题为动态解耦问题。 081081 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 信号的情况。信号的情况。 静态解耦的概念只适用于参考输入静态解耦的概念只适用于参考输入 的各个分量为阶跃的各个分量为阶跃 令令 ： 其中其中 ： 为非零常数，为非零常数， 为单位阶跃函数。为单位阶跃函数。 利用拉普拉斯变换的终值定理，在系统为渐近稳定的前提利用拉普拉斯变换的终值定理，在系统为渐近稳定的前提 下，可得到系统为稳态时的输出为下，可得到系统为稳态时的输出为 ： 082082 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 即有即有 ： 083083 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 表明，相对于分量为阶跃信号的参考输入，当系统实现表明，相对于分量为阶跃信号的参考输入，当系统实现 静态解耦时，可做到稳态下每个输出都只受同序号的一个静态解耦时，可做到稳态下每个输出都只受同序号的一个 输入的完全控制。输入的完全控制。 但输出和输入间的交叉耦合关系并不能消除。但输出和输入间的交叉耦合关系并不能消除。 静态解耦与动态解耦的区别。静态解耦与动态解耦的区别。 084084 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 结论结论 ：存在存在 ，可使受控系统静态解耦的充分必，可使受控系统静态解耦的充分必 是否能实现静态解耦的判据是否能实现静态解耦的判据 要条件是要条件是 ： （1 1）受控系统是用状态反馈能镇定的。）受控系统是用状态反馈能镇定的。 （2 2）受控系统的系数矩阵满足关系式）受控系统的系数矩阵满足关系式 ： 其中，其中， 为系统的维数，为系统的维数， 为输出（和输入）的维数，且为输出（和输入）的维数，且 为非奇异。为非奇异。 085085 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 阵的秩条件是否成立。阵的秩条件是否成立。 静态解耦算法静态解耦算法 第第 1 1 步步 ：判断：判断 是否能稳定或能控，判断系数矩是否能稳定或能控，判断系数矩 算法，确定一个状态反馈增益矩阵算法，确定一个状态反馈增益矩阵 ，使，使 的特征的特征 第第 2 2 步步 ：对于满足可静态解耦条件的系统，按极点配置：对于满足可静态解耦条件的系统，按极点配置 值均具有负实部。值均具有负实部。 086086 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 稳态增益要求，确定稳态增益要求，确定 的值，且取的值，且取 第第 3 3 步步 ：按照静态解耦后各单输入：按照静态解耦后各单输入单输出系统的单输出系统的 第第 4 4 步步 ：取输入变换阵：取输入变换阵 ： 则则 ： 087087 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 6.6 6.6 跟踪问题跟踪问题 ：无静差性和鲁棒控制：无静差性和鲁棒控制 控系统控系统 ： 问题的提出问题的提出 ：考虑同时作用有控制和扰动的线性定常受：考虑同时作用有控制和扰动的线性定常受 其中，其中， 为为 维状态向量，维状态向量， 为为 维控制向量，维控制向量， 为为 维维 输出向量，输出向量， 为为 维扰动向量。维扰动向量。 088088 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 假定假定 为能控，为能控， 为能观测。为能观测。 所谓跟踪问题，即讨论系统所谓跟踪问题，即讨论系统 ，在满足什么条件下可找，在满足什么条件下可找 受控系统的输出受控系统的输出 所要跟踪的参考信号为所要跟踪的参考信号为 ， 跟踪的误差信号跟踪的误差信号 ： 到适当的控制规律到适当的控制规律 ，来实现使，来实现使 跟踪跟踪 的目标。的目标。 089089 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 相应的跟踪问题的系统结构框图如下。相应的跟踪问题的系统结构框图如下。 090090 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 由于物理可实现性的限制，要找到使对于所有由于物理可实现性的限制，要找到使对于所有 均有均有