上海大学2011级概率论与数理统计第6章.ppt

数理统计的特点： 数理统计是以概率论为理论基础，通过分析研究统计数据， 来对研究的对象作出有一定可信度的估计、判断或预测。 在数理统计中我们关心的是全体对象的某项指标，但我们 不是对全体对象进行观察，而是抽取一部分对象进行观察， 获得数据，然后通过对这些数据作“合理的处理”，来得到 有关全体对象的一些结论。 定义1： 我们所关心的全体对象的某项指标，称为一个总体 总体中的 每一个元素称为一个个体。 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量。 例如 ：考察某大学一年级男生的身高这一指标，若一年 级男生共2000人，每个男生的身高是一个个体，这 2000个个体的集合就是一个总体。 再例如：要考察某厂生产的电视机的寿命，该厂所有电视机的 寿命就是一个总体，而每一台电视机的寿命就是一个个体。 第六章 样本及其抽样分布 1 随机样本 我们关心的是全体对象的某项指标，即需要研究总体 的情况，但不是对总体中的每一个个体进行观察，而 是从总体中抽取一部分个体进行观察，这称为抽样 ，如果在抽样时每个个体被抽到的可能性相等，且抽 了一个后，总体成分不变（或近似不变）这样的抽样 方式称为简单随机抽样，抽到的n个个体称为一个简 单随机样本（简称样本），n称为样本容量。 一个总体就是全体观察对象的某项指标，这个指标是 一个随机变量X，即一个总体对应一个随机变量，因 此，以后就把总体看成一个随机变量X，所谓总 体分布就是指X的分布，总体数字特征就是指X的数 字特征。同理，样本也是随机变量,是n维的随机变量. 简单随机样本的特点： 设 是总体的一个简单随机样本， 显然 之间是相互独立的。（独立性） 且每一个 都与总体X有相同的分布（代表性 ） （因为个体是来自总体的代表） 对样本进行观察后得到的数值 ， 称为样本观察值。从理论上讲样本是随机变量， 样本观察值是数，但以后把两者混为一谈，统称 样本。 设 是一个总体, 是其分布函数, 是 一个样本 ,它是一个n维随机变量 ,根据简单随机样本的特点 （独立、同分布）可知该样本的分布函数为 若 为离散型随机变量，则该样本的分布律为 若 为连续型随机变量，则该样本的概率密度为 3 抽样分布 一、统计量 1、统计量的定义 定义1：设( )是来自总体 的一个样本， 是 的函数，若 中不含未知参数，则称 是统计量。 注意：统计量是随机变量的函数，是一维的随机变量。 例如： 和 两个都是 统计量； 再如总体 ，其中 是未知的， 是来自 的一个样本，则 不是统 计量，而 是统计量 因为 都是随机变量，所以统计量 也是一个随机变量。设 是对应于样本 的样本值，则称 是 的观察值。 统计量的分布称为抽样分布。 2、几个常用的统计量 设 是来自总体 的一个样本， 是 这个样本的观察值，定义 （1） 样本均值 （2）样本方差 样本标准差 （3）样本 阶（原点）矩 （4）样本 阶中心矩 上述这些都是统计量. 它们的观察值分别为 也还是称为样本均值，样本方差,样本k阶矩等 二、分位点 X是随机变量,对于给定的数 满足 2、 分布及其分位数 设 是来自总体 的样本，则称统计量 所服从的分布为自由度为 的 分布。记为 三、常用的统计分布及其分位点 1 、标准正态分布及其分位点. 例: 求 满足 分布的概率密度为 对于给定的正数 ， ，称满足条件 的点 为 分布 的上 分位点。 分布的 上 分位点可以通过查表来获得。 注意:1. 分布不具有对称性,故没有双侧分位点的概念. 2.当n很大(n45)时 , 近似服从正态分布 例: 求 3、 分布 设 ， ，且 独立，则称随 机变量 所服从的分布为自由度为 的 分布（也称学生 氏分布），记为 分布的概率密度函数为 即n当很大时t(n)近似服从标准正态分布 对于给定的正数 ， ，称满足条件 的点 为 分布的上 分位点。 分布具有对称性, 所以 例: 求 且有双侧分位点的概念,对于 4、 分布 设 ，且 独立，则称 随机变量 所服从的分布为自由度为 的 分布； 记为 分布的概率密度函数为 对于给定的正数 ， ，称满足条件 的点 为 分布的上 分位点。 注意:1.F分布不具有对称性,故没有双侧分位点的概念. 2. 例:求 四、关于样本均值和样本方差的性质 设总体 的均值为 ，方差为 ， 是来自 的一个样本（不管服从什么分布不管服从什么分布), 是样本均值和样本方差（是常用的统计量），有 定理1：设 是来自正态总体 的样本， 是样本均值，则有 即 定理2：设 是来自正态总体 的样 本， 分别是样本均值和样本方差，则有: 且 与 独立。 现在正态总体的样本均值和样本方差的分布 1. 单个正态总体的样本均值和样本方差的分布 定理3： 设 是来自正态总体 的样 本， 分别是样本均值和样本方差，则有 定理4：设 与 分别是来自正态 总体 和 的样本，且这两个总体 相互独立。设 和 与 和 分别是它们的 样本均值和样本方差，则 （1） （2）当 时 其中的 2. 双正态总体的样本均值与样本方差的分布 3.一般总体的抽样分布 设 是一个总体, 是来自正态总体 的样 本， 分别是总体均值和总 体方差，由中心极限定理 当n很大时, 且: 又因为当n很大时, 近似 所以近似地有 四、举例 例1： 设随机变量 和 都服从标准正态分布且相互独立 (A) 服从正态分布 ；(B) 服从 分布； (C) 和 都服从 分布；(D) 服从 分布。 例2：设 和 分别是两个独立总 体 和 的样本，以 和 分别表示 两个样本均值，求 。 例4: 设随机变量 和 相互独立且都服从正态分布 ， 而 和 分别是来自总体 和 的简单随机样本，则统计量 服从什么分布？ 例3：设 是来自正态