正态分布、常用统计分布和.ppt

第五章 正态分布、常用统计分 布和极限定理 一、什么是正态分布 正态分布(Normal Distribution)服从一类 确定的规律，又称为常态分布或高斯分 布。 如统计了96人的初婚年龄 18.5 20.5 22.5 24.5 26.5 28.5 30.5 32.5 x (x) 表5-1 图5-1 (x) 1.正态分布曲线是单峰，有一个最高点； 2.分布曲线有一个对称轴x=； 3.分布曲线以横轴为渐近线。 中位值、中值、均值三者重叠。 分布密度曲线的特征： 1.曲线在x=处达到最高值，并且以x=对称。 正态分布的概率密度表达式为： 2.在不变的情况下，越小， 图形越尖锐，反之则低阔。 123 图5-2 图5-3 =0.5 =1 =2 参数和代表的意义 正态曲线下每一小块面积就是随机变量 在该小 块取值 所出现的概率，曲线下的整个面积由无 数个小直方形拼成。 曲线下任意两点 的概率，就是对从 到 的 所有小块面积进行累加，即 几个典型取值区间的概率值 图5-4 34.13%34.13% 13.6% 13.6% 2.16% 2.16% 0.11% 0.11% 二、标准正态分布 根据Z值所得到的分布就是标准正态分布，概率密度为 变量值标准化 标准正态分布其实是一般正态分布的一个特 例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(，2) 。 一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态 分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到点 ， 并且以为单位记分。 图5-5 0 =1 （一）正态分布与标准正态分布的特点对比 1.标准正态曲线在Z=0处达到最高点； 2.标准正态曲线以Z=0为中心，双侧对称； 3.标准正态曲线从最高点向左右缓慢下降，并无 限延伸，但永不与基线相交； 4.平均数为0，标准差为1； 5.标准正态曲线从最高点向左右延伸时，正负1 个标准差内向下向内弯，从正负1个标准差开 始，向下向外弯。 （二）正态分布与标准正态分布面积 之间的对应关系 34.13%34.13% 13.6%13.6% 2.16%2.16% 0.11%0.11% 图5-6 （三）标准分的实际意义 例1：甲、乙、丙3个同学社会统计学分数都 是80分，甲同学所在班平均成绩甲=80分， 乙 =75分， 丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙 、丙3个同学在班上的成绩。 例2：设甲、乙、丙三个学生所在班级的平均成 绩都为75分，甲=10分， 乙=15分， 丙=20分 ，比较甲、乙、丙三个学生在班上的成绩。 如果各科原始分数呈正态分布，可将各科原始分 数转换成标准分，求其总和，再比较总分大小。 例3：甲、乙两生高考的政治分数分别为70分、60分， 物理分数分别为60分、70分，从总分上看，两生的总 成绩相等，但政治的平均分是70分，=20，而物理 的平均分是50分，=40。 为了使标准分Z值变成形式上的原始分数，一般将Z 值乘以10，加上50，就变成了T分数：T=10Z+50 T甲=0.2510+50=52.5；T乙=010+50=50 标准分数的大小和正负可以反映某一个考生在全体 考分中所处的地位，如甲生英语分数为Z=-0.44之 上有67%的考生；乙生Z= 0.25之上有40.13%的考 生，通过每个考生在总体中的位置比较优劣，所以 称为相对分数。 三、标准正态分布表的使用 标准正态分布表是根据概率密度，用积分计算 Z取不同值时正态分布曲线下的面积。 有的从Z=-开始，Z逐渐增加，表中所列是某 个Z分数以下的累积概率； 有的从Z=0开始，Z逐渐变化，计算从Z=0到某 一定值之间的概率，因为正态分布对称，且对 称轴为=0，所以当Z0时相应的Z分数 概率值相等。 任意两点Z1，Z2之间的面积就是 图5-7图5-8 图5-9 例4： 例5： 例6： 例7： 例8 ： 例9 ： 即在60.24分到83.76分之间 包括有95%的学生。 图5-10 95% 例10 ： 表5-2 图5-11 0 Z 四、常用统计分布 样本具有两重性： 假设x1、x2xn是从总体X中抽取的样本，在一 次具体的观测或试验中，它们是一批测量值， 是一些已知数，即样本具有数的属性。 在不同的观测中样本取值可能不同，因此当脱 离开特定的具体试验或观测时，并不知道样本 x1、x2xn的具体取值是多少，可以把它们看 作随机变量，即样本具有随机变量的属性。 如果在相同条件下对总体X进行n次重复的独立 观测，那么可以认为所获得的样本x1、x2xn 是独立的，并且服从相同分布的随机变量。 如：当我们把一个长度为的物体测量了n次 ，获得样本x1、x2xn之后，要计算其算术平 均数作为的估计，其平均数就是对样本进行 处理后得到的一个统计量。样本均值、样本方 差是几个主要的统计量。 三大分布：x2分布、t分布和F分布 （一）x2分布 随着自由度增加，图形渐趋对称； x2具有可加性。设x2(k1)、x2(k2)，且与 相互独立，则+= x2(k1+k2)，即 + x2(k1+k2) 图5-12 K=1 K=2 K=6 X2分布表的编制与使用（附表6） （二）t分布（学生分布） 设随机变量N(0,1)，x2(k)，且与相互独立， 则随机变量的分布称为自由度为k的t分布 或学生分布，并记作t(k)。 图5-13 0 t分布表的使用 （三）F分布 图5-140 （1，10） （5，10） （10，10） （，10） F分布表是根据F分布函数计算得来的，附表7中 对于不同的自由度及不同的（0 1），给出 了满足式 的F值。 五、大数定理与中心极限定理 当观察次数n趋向于无穷大时所得出的一系列定 理，统称为极限定理。极限定理又分为大数定