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第2章 第2节1下列函数在(0,1)上是减函数的是()Aylog0.5(1x)Byx0.5Cy0.51x Dy(1x2)【解析】ylog0.5(1x)在(0,1)上为增函数；yx0.5在(0,1)上是增函数；函数y(1x2)在(，0)上为增函数，在(0，)上为减函数，函数y(1x2)在(0,1)上是减函数【答案】D2若函数yf(x)的值域是1,3，则函数F(x)12f(x3)的值域是()A5，1 B2,0C6，2 D1,3【解析】1f(x)3，1f(x3)3，62f(x3)2，5F(x)1.【答案】A3已知函数f(x)是(，)上的减函数，那么a的取值范围是()A(0,3) B(0,3C(0,2) D(0,2【解析】依题意得解得0a2.【答案】D4函数f(x)ln(43xx2)的单调递减区间是_【解析】函数f(x)的定义域是(1,4)，u(x)x23x42的减区间为.e1，函数f(x)的单调减区间为.【答案】5已知函数f(x)的定义域是(0，)，当x1时，f(x)0，且f(xy)f(x)f(y)(1)求f(1)；(2)证明f(x)在定义域上是增函数；(3)如果f()1，求满足不等式f(x)f()2的x的取值范围【解】(1)令xy1，得f(1)2f(1)，故f(1)0.(2)证明：令y，得f(1)f(x)f()0，故f()f(x)任取x1，x2(0，)，且x11，故f()0，从而f(x2)f(x1)f(x)在(0，)上是增函数(3)由于f()1，而f()f(3)，故f(3)1.在f(xy)f(x)f(y)中，令xy3，得f(9)f(3)f(3)2.又f()f(x2)，故所给不等式可化为f(x)f(x2)f(9)，即fx(x2)f(9)解得x1.x的取值范围是1，)课时作业【考点排查表】考查考点及角度难度及题号错题记录基础中档稍难函数单调性的判断与证明1013求函数的单调区间1,37函数单调性的应用2,45,6，8,119,12一、选择题1(2013山东省实验中学模拟)下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是()Af(x) Bf(x)Cf(x)2x2x Df(x)tan x【解析】f(x)是奇函数，但在定义域上不单调，f(x)为非奇非偶函数f(x)tan x在定义域上是奇函数，但不单调，故A、B、D均不正确【答案】C2若函数yf(x)的值域是，则函数F(x)f(x)的值域是()A. B.C. D.【解析】令tf(x)，则t3，则函数g(t)t在区间上是减函数，在1,3上是增函数，则g，g(1)2，g(3)，故值域为.【答案】B3函数y的单调递增区间是()A(，1) B(1，)C(1,1) D(1,3)【解析】依题意32xx20，即1x3.函数的定义域为(1,3)又函数yx22x3(x1)24在(1,3)上单调递减，所以原函数的单调递增区间是(1,3)【答案】D4(2013海淀模拟)已知偶函数f(x)在区间0，)单调增加，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.【解析】f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，f(2x1)f(|2x1|)又f(x)在0，)上递增，f(2x1)f|2x1|x.【答案】A5已知函数f(x)x22axa，在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定()A有最小值 B有最大值C是减函数 D是增函数【解析】f(x)在(，1)上有最小值，对称轴xa1.又g(x)1，当x1时，g(x)0，g(x)在(1，)上是增函数，故选D.【答案】D6用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)min2x，x2,10x(x0)，则f(x)的最大值为()A4 B5C6 D7【解析】由f(x)min2x，x2,10x(x0)画出图象，最大值在A处取到联立得y6.【答案】C二、填空题7.函数yf(x)(xR)的图象如图所示，则函数g(x)f(logx)是单调增区间是_【解析】设g(x)f(u)，ulogx，ulogx在(0，)上是减函数，且g(x)f(logx)是单调增函数，则gf(x)应为减函数，则logx0，1x.单调增区间为1，【答案】1，8已知yf(x)是定义在(2,2)上的增函数，若f(m1)f(12m)，则m的取值范围是_【解析】依题意，原不等式等价于m.【答案】9已知函数f(x)1，x0,1，对于满足0x1x21的任意x1、x2，给出下列结论：(x2x1)f(x2)f(x1)0；x2f(x1)x1f(x2)；f(x2)f(x1)x2x1；f.其中正确结论的序号是_【解析】函数f(x)1，x0,1的图象如图所示，命题可等价为，即f(x)在x0,1上是单调递减函数，命题错误；对于命题，作差即可知其正确；命题可变形为1，不等式左端的几何意义是图象上任意两点连线的斜率，由图象知斜率不都大于1，命题错误；对于命题，因为图象是凹函数，满足f，所以命题正确【答案】三、解答题10判断函数f(x)在(1，)上的单调性，并证明【证明】当a0时，函数yf(x)在(1，)上单调递增当a0时，函数yf(x)在(1，)上单调递减设任意的1x1x2，则f(x1)f(x2).1x1x2，x1x20，x110，x210.当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数yf(x)在(1，)上单调递增同理当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数yf(x)在(1，)上单调递减11已知函数f(x)log3的定义域为R，值域为0,2，求m与n的值【解】若m0时，则f(x)log3的定义域为，与题设矛盾，故m0.于是由f(x)的定义域为R，有mx28xn0恒成立，故m0且644mn0.令y，则应有1y9，即题设条件转化为xR时，y的值域为1,9由式变形得(my)x28x(ny)0.当my时，xR，644(my)(ny)0，整理得y2(mn)ymn160，由题意解得当my时，式可化为8xnm0，这时mn5满足条件m5，n5.12已知函数f(x)，x1，)(1)当a时，求f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围【解】(1)当a时，f(x)x2，设1x1x2，xx2x10，则yf(x2)f(x1)(x2x1)(1)1x1x2，10，y0，f(x)在1，)上是增函数，f(x)的最小值为f(1).(2)在区间1，)上f(x)0恒成立，即x22xa0恒成立，设g(x)x22xa，x1，)，则g(x)(x1)2a1在区间1，)上是增函数，当x1时，g(x)min3a，故当3a0即a3时，f(x)0恒成立故a的取值范围为a3.四、选做题13已知函数f(x)a2xb3x，其中常数a，b满足ab0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab0，求f(x1)f(x)时的x的取值范围【解】(1)当a0，b0时，任意x1，x2R，x1x2，则f(x1)f(x2)a(2x12x2)b(3x1