2012届高考数学一轮复习7函数的奇偶性与周期性课件(文)新人教A版.ppt

第七讲函数的奇偶性与周期性 Date 1.函数的奇偶性 (1)函数的奇偶性的定义 奇偶性定义义图图象特点 偶函数如果函数f(x)的定义义域 内任意一个x都有f(- x)=f(x),那么函数f(x)是 偶函数. 关于y轴轴对对称 奇函数如果函数f(x)的定义义域 内任意一个x都有f(-x)=- f(x),那么函数f(x)是奇函 数. 关于原点对对 称 回归课本 Date (2)对函数奇偶性的理解 函数奇偶性的判断 a.首先看函数的定义域,若函数的定义域不关于原点对称,则函数 既不是奇函数,也不是偶函数. Date b.若函数的定义域关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.若f(-x)=- f(x),则函数是奇函数;若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(- x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数;若f(-x)f(x) 且f(-x)-f(x),则f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. Date 在公共定义域内 a.两奇函数的积与商(分母不为零时)为偶函数,两奇函数的和是奇 函数. b.两偶函数的和积与商(分母不为零)为偶函数. 奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单调性 相反. Date 2.函数的周期性 (1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的 每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数,非零 常数T叫f(x)的周期.如果所有的周期中存在一个最小的正数,那 么这个最小正数就叫f(x)的最小正周期. (2)周期函数不一定有最小正周期,若T0是f(x)的周期,则 kT(kZ)(k0)也一定是f(x)的周期,周期函数的定义域无上下 界. Date 考点陪练 答案:B Date 2.（2011安徽）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0 时，f(x)2x2x，则f(1)_. 解析:法一：f(x)是定义在R上的奇函数，且x0时， f(x) 2x2x， f(1)f(1) 2(1) 2(1)3. 法二：设x0，则x0=() A.x|x4B.x|x4 C.x|x6D.x|x2 解析:已知函数f(x)是偶函数,所以当x0,解得x0,解得x4,综上 x|f(x-2)0=x|x4,故选B. 答案:B Date 4.(2010山东)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时 ,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=() A.-3B.-1 C.1D.3 解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+20+b=0,解 得b=-1,所以当x0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+21- 1)=-3,故选A. 答案:A Date 5.(2010广东)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则 () A.f(x)与g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 解析:由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)为偶函数,由g(-x)=3-x-3x=-(3x-3- x)=-g(x)可知g(x)为奇函数. 答案:B Date 答案:2x+3 Date 类型一函数奇偶性的判断 解题准备:判断函数奇偶性的一般方法 (1)首先确定函数的定义域,看是否是关于原点对称的.否则,既不 是奇函数也不是偶函数. (2)若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断: 定义判断:f(-x)=f(x)f(x)为偶函数, f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数. Date 等价形式判断:f(-x)-f(x)=0f(x)为偶函数. f(-x)+f(x)=0f(x)为奇函数. (3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行. Date Date 分析判断函数的奇偶性,首先要检验其定义域是否关于原点对 称,若关于原点对称,再严格按照奇偶性的定义进行推理判断. Date Date Date 的定义域关于原点对称, 当x0时,-x0). 当x0, f(-x)=(-x)1+(-x)=-x(1-x) =-f(x)(x0, 1-x20,1+x10, (1-x2)(1+x1)=1+x1-x2-x1x20. Date 类型三函数的周期性 解题准备:三个结论:若ab是非零常数,且ab,则有 Date Date 结论2:(对称性与周期关系结论) (1)f(x)关于x=a及x=b对称,则T=2|b-a|; (2)f(x)关于x=b及M(a,0)对称,则T=4|b-a|; (3)f(x)关于M(a,0)和N(b,0)对称,则T=2|b-a|. 结论3:(奇偶性与周期关系结论) (1)f(x)是偶函数且关于直线x=a对称,则T=2|a|; (2)f(x)是奇函数且关于直线x=a对称,则T=4|a|. (上述结论中的T为函数的周期,但不一定是最小正周期). Date Date Date Date 类型四函数的奇偶性与周期性的综合问题 解题准备:奇偶性和周期性都是函数的整体性质.奇偶性是解决函 数图象的对称性问题,周期性是解决函数图象的平移问题.函数 的单调性揭示函数的局部性质,灵活运用函数性质可解决与函 数相关的方程不等式等综合问题. Date 【典例4】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x,都有 f(x+1)=-f(1-x),且方程f(x)=0在-1,1上只有一个根,则方程 f(x+1)=0的第2000个根是多少.(从x轴右半轴开始从左到右数 起). 解由f(x+2)=-f1-(x+1)=-f(-x)=f(x)得:f(x)是周期函数,且周期为 2.f(x+1)是把f(x)的图象向左移1个单位.由xR,f(x)是奇函数, 且f(x)=0在-1,1上只有一个根,知f(0)=0,方程f(x)=0的第 2000个根是4000,f(x+1)=0的第2000个根是3999. Date 错源一忽略定义域出错 Date 剖析判断函数奇偶性,首先要看函数的定义域,若定义域是关于 原点的对称区间,则函数可能具有奇偶性;否则,函数一定不具 有奇偶性.其次,要看f(x)与f(-x)之间的关系. 正解函数的定义域为x|x1,定义域不关于原点对称,因此该函 数为非奇非偶函数. Date 错源二忽视对参数的讨论 【典例2】判断函数f(x)=x2+|x-a|+1(aR)的奇偶性. 错解显然函数定义域为R. 因为f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, 所以f(-a)f(a),且f(-a)-f(a), 所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. Date 剖析此解法错在于没有对参数进行讨论,未考虑到a=0这种特殊 情形,以致解题出错. 正解当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x), 此时f(x)为偶函数; 当a0时, f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, f(-a)f(a),f(-a)-f(a), 此时f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. Date 技法一快速解题(数形结合法) 【典例1】已知定义在R上的函数f(x)不恒为零,且满足f(x+3)=-f(3 -x)f(x+4)=f(4-x),则f(x)是() A.奇函数也是周期函数 B.偶函数也是周期函数 C.奇函数但非周期函数 D.偶函数但非周期函数 Date 快解由于本题为选择题,故可用数形结合法,画出符合题意的图 象即可选对答案.函数f(x)以点(3,0)为对称中心,以直线x=4为 对称轴,如下图所示,点(2k-1,0)都是对称中心,直线x=2k都是对 称轴,这里的kZ,故选B. Date 另解切入点因为f(x+3)=-f(3-x)、f(x+4)=f(4-x),所以函数f(x)以 点(3,0)为对称中心,以直线x=4为对称轴. 分析思维过程要利用两个条件式,推证出f(x)是奇函数或偶函数, 需找到两式的联系.x+4=(x+1)+3,有3-(x+1)=2-x出现,如此推 演,有望得到结果. Date 解析f(x+3)=-f(3-x) f(x+4)=f(4-x) f(x+4)=f(x+1)+3=-f-(x+1)+3=-f(2-x)=-f4-(x+2) =-f4+(x+2)=-f3+(x+3)=f3-(x+3)=f(-x). 则f(4-x)=f(-x)+4=f(x). f(-x)=f(x),且f(x+4)=f(x). 故函数f(x)是偶函数,也是周期函数,选B. 答案B Date 方法与技巧解是由函数满足的关系一步一步推证,步骤较多,不 易掌握.而数形结合法简单直观,好掌握,易理解,对于解选择题 非常适宜. 得分主要步骤运用好已知的两个条件式是很重要的.首先由式 入手,使之出现式的形式,再由到,每步都需认真思考,是 否满足条件,是否可以得到需要的结果. 易丢分原因各步变换时,注意符号,稍有不慎将会出错.如由 f(x+4)得到f(-x),故f(4-x)=f(-x)+4=f(x). Date 技法二探寻判断奇偶性的途径 Date 解解法一:对于比较复杂的函数解析式,除了用定义法进行判断 外,还可以考虑用f(-x)=f(x)变形式:f(-x)f(x)=0进行判断,应注 意的是在利用这两个式子进行判断之前,应先探求是用f(- x)+f(x)=0还是用f(-x)-f(x)=0来进行判断. Date Date Date 方法与技巧本题是用验证法判断函数的奇偶性.关系式f(- x)f(x)=0实质是函数奇偶性的定义f(-x)=f(x)的一个变形式, 使用这个变形式进行判断时,降