《协方差传播律及权》PPT课件.ppt

误差理论与测量平差基础 测绘工程学院 鲍建宽 第3章 协方差传播律及权 第三章 协方差传播律及权 第三章 协方差传播律及权 要求： 掌握协方差传播律的意义、计算 方法及应用；掌握权的定义和常用的 定权方法；掌握协因数的定义及协因 数传播律的应用 。 重点： 协方差传播律；权与定权的常 用方法；协因数传播律 。 第三章 协方差传播律及权 授课内容 3-1 协方差传播律 3-2 协方差传播律的应用 3-3 权与定权的常用方法 3-4 协因数与权阵 3-5 协因数传播律 3-6 由真误差计算中误差及其实际应用 3-7 系统误差的传播 综合练习 协方差传播律：描述观测量的精度(方差)与其 函数的精度(方差)之间关系的规律(公式)。 3-1 协方差传播律 一、概述 直接观测量 数值 真误差 精度(方差) 观测量的函数 数值 真误差 精度(方差) 从测量工作的现状可以看出，观测值函数与 观测值之间的关系可分为两种情况： 线性函数 （如观测高差与高程的关系） 非线性函数(观测角度、边长与待定点坐标 的的关系） 因此，分别从线性函数和非线性函数两种情 况研究协方差传播律。 3-1 协方差传播律 3-1 协方差传播律 二、一个线性函数的方差 设有观测值X ,数学期望为X ,协方差阵为DX ： X 的线性函数: 如何求Z的方差？ 为求Z的方差，我们需从方差的定义入手。根据 方差的定义，Z的方差为： 由数学期望运算可得： 将Z的函数式以及数学期望E(Z)代入得： 则函数Z的方差为 （公式1） p以上就是已知观测量的方差,求其函数方差的 公式。也称为“协方差传播律”。 3-1 协方差传播律 由上推导可得出以下结论： 观测值X 的协方差阵为DX ，其函数为： 方差(传播率公式)的纯量形式为： p可见：若DX为对角阵时，协方差传播律即为 “误差传播律”。 例1-2 在1：500的图上，量得某两点间的距离 d=23.4mm,d的量测中误差d =0.2mm，求该两点实 地距离S及中误差S 。 解： 练习题 最后写成: 3-1 协方差传播律 三、多个线性函数的方差阵 设有观测值X ,数学期望为X ,协方差阵为DX ， 若有X的t个线性函数为: 表示为矩阵形式: 如何求Z的方差阵？ 根据方差阵的定义，Z的方差阵为： 由数学期望运算可得： 将Z的函数式以及数学期望E(Z)代入得： （公式2） 可以看出 线性函数的协方差和多个线性函数的协方 差阵在形式上完全相同,且推导过程也相同; 所不同的是： DZZ前者是一个函数值的方差（1行1列）; 而后者是t个函数值的协方差阵(t行t列)。 即：前者是后者的特殊情况。 例4：已知向量 ，且： 若有函数： 并记 ，试求 。 练习题 解： 函数式 利用协方差传播律 p本题关健是：将函数式转换为“同一变量”L的形式。 3-1 协方差传播律 四、两组线性函数的互协方差阵 设有观测值X ,数学期望为X ,协方差阵为DX ， 若有X的2组线性函数为: 如何求Z关于Y的互协方差阵？ 根据互协方差阵的定义,可得: 再利用数学期望传播律，得： 同理,可得: （公式3） 例5:若有函数 ,已知X1和X2的 协方差阵D12时,试求Y对Z的协方差阵DYZ。 解： 故： 练习题 3-1 协方差传播律 五、非线性函数的方差传播率 设有观测值X ,数学期望为X ,协方差阵为DX ， 若有X的非线性函数为: 如何求Z的方差阵？即 p解决这类问题的关键是 必需先将非线性函数线性化,得到和前面已推导出的公 式“一致”的形式。因此，如何将非线性函数线性化，是我 们先要解决的问题。 p非线性函数的线性化的方法是： -将函数按泰勒级数展开，略去高次项 泰勒公式 如果函数f(x)在x0的某一邻域内具有 直到n+1阶的导数，则在该邻域内f(x)展开为 当x非常接近x0时，则可以舍去二次以上各项，即 线性函数 多元函数f(X)=f(X1, X2,Xn)，X的近似值X0， 按泰勒公式把f (X)在X 0处展开,并略去高次项为 和前述的线性函数形式一致 若令： 上式即为函数Z =f(X ) 的全微分式，和前面的线 性化函数的系数阵一致。即：用泰勒公式展开线性 化非线性函数等价于对非线性函数两边全微分 则，前式可表示为： 例7：已知角度观测向量 试求函数 的中误差。 练习题 解：非线性函数两边全微分得： 为什么 除 按方差传播律： 中误差为： 注：先取对数然后再全微分能简化计算。 1）按要求写出函数式； 2）若是非线性函数式，则先对函数式两边求全 微分； 3）将函数式（或微分关系式）写成矩阵形式（ 有时要顾及单位的统一）； 4）应用协方差传播律公式求方差或协方差阵。 p归纳应用协方差传播律的计算步骤： 3-1 协方差传播律 应用协方差传播率解决精度问题的步骤： 1.确定观测向量X，及其方差阵DXX 2.建立欲计算精度的量Y与观测向量X的函数关系 若为非线性函数，则线性化（全微分即可） 3.利用传播率公式计算 注意单位统一。 3-2 协方差传播律的应用 一水准测量的精度 设水准测量中每一测站观测高差的精度相同,其 方差均为 ,若某水准路线有N个测站，则其高差的 方差和中误差为 在平坦地区的水准测量中，每公里的测站数大致 相等，因此，每公里观测高差的方差相等为 ， 若某水准路线长S公里，则观测高差的方差和中误差 分别为 结论的用法：已知任量求第三量 二、同精度独立观测值的算数平均值的精度 设对某量以同精度独立观测了N次，得观测值L1、 L2、Ln，它们方差均为2)，其算术平均值为 则算术平均值X的中误差为： 由协方差传播律知，平均值x的方差 在若干独立误差的联合影响下，观测结果的真误 差为 由协方差传播律可得： 三若干独立误差的联合影响 结论：观测结果的方差等于各独立误差所对应 的方差之和。 四支导线点的点位精度 如图支导线，观测值： 求C点的点位方差。 第一种解法: 1.列函数式 2.将上式线性化 3.用传播率计算 第二种解法，由C点纵、横向方差求点位方差 AC边长方差 为纵向方差；横向方差是由AC边的坐标 方位角的方差引起，由图知 则 五交会定点的精度 六GIS线元素的精度 在测量平差计算之前,须知L的精度。而精度的绝 对指标(方差)往往是不知道的， 而精度的相对的数字指标(权)却可以根据事先给定 的条件予以确定。因此，权在平差计算中将起着很 重要的作用。 一概述 3-3 权与定权的常用方法 方差是表征精度的一个绝对指标； 自然,方差之间的比例关系也可比较各观测值间的精度 表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权， 故权是表征精度的相对的数字指标。 引入相对精度指标“权”的必要性？ 二权的定义 设有一组观测值Li，其方差分别为 (i=1,2,n), 如选定任意一常数 ，则定义 称pi为观测值Li的权 。 3-3 权与定权的常用方法 p由权的等于可以看出 权与方差成反比； 权是表征观测值之间的相对精度指标（权是不唯 一的，单个权是没意义的）； 对同一问题中，为使权能起到比较精度高低的作 用， 应取同一定值（否则就破坏了权间的比 例关系）。 二单位权中误差的概念 3-3 权与定权的常用方法 单位权的定义：等于1的权为单位权。 对应的观测值为单位权观测值。 对应观测值的中误差称为单位权中误差。 u可见： 权的定义中，常数02值一经选定，就有具 体含义了，即为单位权方差。 0可以是某一具体观测值的中误差，也可 能不等于某一个具体观测值的中误差。 例：已知两个观测值的中误差为1=2cm、 2=4cm，试确定它们的权。 解：（1）设0=2cm， 则： p1=02/12=1 p2=02/22=1/4。 （2）设0=1cm，则 p1=02/12=1/4 p2=02/22=1/16。 单位权中误差 单位权 单位权不在其中 单位权中误差 练习题 例4：在边角网中，已知测角中误差为1.0，测边的 中误差为2.0厘米，试确定它们的权。 解：设0= =1.0 则由权定义得： v可见：权有时是有量纲的。 练习题 三测量中常用的定权方法 1、水准测量的权 适用条件：同一水准网且各测站观测高差精度相同。后 式式式式式式适用平坦地区 符号意义：Pi：第i条水准路线观测高差的权 Ni：第i条水准路线的测站数；Si：第i条水准路线的长度 C1：任选常数;单位权观测值的测站数;一个测站高差的权 C2：任选常数、单位权观测高差的路线长、一km观测高 差差差的权 2、同精度观测值的算术平均值的权 三测量中常用的定权方法 适用条件：单次观测值的差精度相同 符号意义： Pi：第i个观测值Li的权 Ni：第i个观测值观测次数 C：任选常数；单位权观测值的观测次数； 测量一次的观测值权 一、协因数的定义 设观测值Li、Lj，其方差及协方差为 ，则定义：如果任选一常数 3-4 协因数和权阵 Qii与Pi一样是比较观测值精度高低的一种相对指标； Qij是比较观测值之间相关程度的一种指标。 二、协因数阵 已知观测向量X、Y，方差阵及互协方差阵DXX、DYY 、DXY 3-4 协因数和权阵 同样： QXX、QYY为X和Y的协因数阵；QXY为X关于Y的互 协因数阵 关于协因数阵的几点说明 协因数阵同协方差阵一样，是一个对称方阵； 主对角线元素Qii为随机变量Xi的协因数，即权倒 数； 非主对角线元素Qij(ij）则为Xi关于Xj的互协因 数，是比较观测值之间相关程度的一种指标。 三、权阵 令 PXX为观测向量X的权阵。 * 权阵中Piipi ，即权阵中的元素不是权。 * 独立观测向量的权阵为对角阵，其中Pii=(Qii)-1=pi 观测向量X，其方差阵DXX、协因数阵QXX、权阵PXX 四 方差阵、协因数阵与权阵的关系 解：由权阵定义得 又由 得观测值的权为： 例1：已知观测向量L的协因数阵为： 试求观测向量L的权阵P及观测值L1、L2的权。 例题 p可见： 观测值的权与权阵中的主对角线元素并不一定相等 这时权阵中的各个元素不具有权的意义 例2：已知观测向量L的权阵为： 求观测值L1、L2、L3的权。 例题 解： 例3： 设有独立观测值Li（i=1，2n），其方差为 i2，权为Pi，单位权方差为02，写出观测向 量L的: (1)方差-协方差阵； (2)协因数阵； (3)权阵。 例题 解： 观测向量X，其方差阵DXX、协因数阵QXX，X的函数 分别为Y=FX+F0，Z=KX+K0。求QY、QZ、QYZ。 据协方差传播公式 3-5 协因数和协因数传播律 一、协因数传播律 上右式为观测向量X与其函数Y、Z之间的协因数传播公式。 协方差传播律与协因数传播律合称广义传播律。 1.确定观测向量X，及其方差阵QXX 2.建立欲计算精度的量Y与观测向量X的函数关系 若为非线性函数，则线性化（全微分即可） 3.利用传播率公式计算 注意单位统一。 应用协因数传播解决精度计算问题的方法步骤与协方差 传播律相同。 例6：已知观测向量X1和X2的协因数阵 和互 协因数阵 ，或写为 设有函数 ： 试求Y关于Z的互协因数 。 例题 解：函数式可写为 应用协因数传播律得 线性函数的一般表达式 3-6 由真误差计算中误差及其应用 一、由同精度独立的真误差计算(单位权)中误差的公式 若取观测值的权pi=1，则 若有一组同精度独立观测的真误差为： 则该组观测的中误差为： 3-6 由真误差计算中误差及其应用 二、利用不同精度的独立真误差计算单位权中误差的公式 现有一组不等精度的独立观测值，它们对应的： 其单位权中误差怎样计算？ 设有一组虚拟的观测值（其权为1）： 由权倒数传播律得（说明什么？） 对应的真误差关系（怎样得到？） 利用上公式得到的中误差（或单位权中误差？）： 推证： 3-6 由真误差计算中误差及其应用 三、由真误差计算单位权中误差的实际应用 推证方法： 1菲列罗公式（由三角形闭合差计算测角中误差） 等精度独立观测三角形之内角，由此得到内角 和闭合差为：w1，w2，,wn ，测角中误差？ 内角和的中误差为 而内角和与角度的函数关系式 则由误差传播律得 v上式称为菲列罗公式，在三角测量中用来初步评定测角的精度。 2利用双观测值之差求单位权中误差 在测量工作中，常常对一系列观测量分别进行成对 的观测，成对的观测称为双观测。 设对量X1，X2，Xn各测两次，得独立观测值为 双观测之差为： 设同一对观测等精度，不同的观测对精度不同，且 各观测对的权为： 单位权中误差？ 推证方法： 一对观测的差数为： 则差数的真误差： 按协因数传播律得： 由前述公式： 得： v以上就是由双观测值之差求单位权中误差的公式。 设水准环的闭合差为 ，环线长为 ，水 准网共有N个环； 并设以1公里水准观测高差为单位权观测值； 则单位权方差的估值为： 3、由水准环线高差闭合差计算水准测量单位权方差 设水准路线往返测高差闭合差为 ，路线长为 ，水准路线有N条； 并设以1公里水准观测高差为单位权观测值； 则单位权方差的估值为： 4、由水准路线往返测高差闭合差计算单位权方差 思考：如果设C=4，会有哪些不同？ 3-7 系统误差的传播* 一、观测值的系统误差与综合方差 综合误差包括系统误差和偶然误差 观测值的综合误差的定义 同真误差定义 可知=E()=L E(L)，即期望对真值的偏 差。描述准确度的指标 综合方差均方误差： 3-7 系统误差的传播* 二、系统误差的传播 可得 观测值Li的系统误差i=E(i)，观测值的函数 对上式取期望 系统误差传播率 3-7 系统误差的传播* 三、系统误差与偶然误差联合传播 其综合方差 观测值Li的函数 练习题 2. 等精度独立观测值的中误差均为，求X的中误差 ： 1. 观测向量L协方差阵为 ，求函数的方差 ： 练习题