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3.3 解对对初值值的连续连续 性和可微性定理 考察考察 的解的解 对初值的一些基本性质对初值的一些基本性质 v解对初值的连续性 v解对初值和参数的连续性 v解对初值的可微性 内容内容: : y x G图例分析 图例分析( (见右见右) ) 解可看成是关于 的三元函数 满足 解对初值的对称性: 前提前提 解存在唯一 例: 初值问题的解不单依赖于自变量 , 同时也依赖于初值 . 初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动. Q:Q:当初值发生变化时当初值发生变化时, ,对应的解是如何变化的对应的解是如何变化的? ? 当初始值微小变动时当初始值微小变动时, ,方程的解变化是否也是很小呢？方程的解变化是否也是很小呢？ 证明 则由解的唯一性知, 即此解也可写成: 且显然有: 按解的存在范围是否有限按解的存在范围是否有限, ,又分成下面两个问题又分成下面两个问题: : Q1:解在某有限闭区间a,b上有定义,讨论初值 的 微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容 包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在a,b 上有定义以及解在整个区间a,b上是否也变化很小? Q2: 解在某个无限闭区间 上有定义,讨论初值 的微小变化是否仍有解在 上有定义,且解在整个 区间 上变化也很小?这种问题称为解的稳定性 问题,将在第六章中讨论. 一一 解对初值的连续性解对初值的连续性 定义设初值问题 1.解对初值的连续依赖性 初值问题 2 2 定理定理1 (1 (解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理) ) 条件条件: : I.I. 在在G G内连续且关于内连续且关于 满足局部满足局部L Lipsips. .条件条件; ; II. II. 是是(1)(1)满足满足 的解的解, ,定义定义 区间为区间为 a,ba,b. 结论结论: : 对对 , , 使得当使得当 时时, ,方程方程(1)(1)过点过点 的解的解 在在 a,ba,b 上也有上也有 定义定义, ,且且 方程方程 0 思路分析：思路分析： 根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性, ,显然有显然有: : 3 3 定理定理2 2 ( (解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理) ) 条件条件: : 在在G G内连续且关于内连续且关于 满足局部满足局部L Lipsips. .条件条件; ; 方程方程 结论结论: : 在它的存在范围内是连续的在它的存在范围内是连续的. . , ,作为作为 的函数的函数 二二 解对初值和参数的连续依赖性解对初值和参数的连续依赖性 1 1 解对初值和参数的连续依赖定理解对初值和参数的连续依赖定理 2 2 解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理 三三 解对初值的可微性定理解对初值的可微性定理 证明 因此,解对初值的连续性定理成立,即 是方程的解 即 和 于是 设 即 是初值问题 的解, 根据解对初值和参数的连续性定理 则 的解
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