2014世纪金榜第一章第一节.ppt

第一章 集合与常用逻辑用语、算法初步 第一节 集 合 1.集合的基本概念 (1)元素的特性 _;_;_. (2)集合与元素的关系 确定性互异性无序性 (3)常见集合的符号 (4)集合的表示方法 _;_;_. 自然数集正整数集 整数集 有理数集 实实数集 N*或N+ N Z Q R 列举法描述法Venn图法 2.集合间的基本关系 文 字 语语 言 符 号 语语 言 相 等 集合A与集合B中的 所有元素_ A_B且B_A A=B 子 集 A中任意一个元素均为为 B中的元素 _ 真子集 A中任意一个元素均为为 B中的元素,且B中至少 有一个元素不是A中 的元素 _ 空 集 空集是_的子集,是 _的真子集 _ _ 关系 表示 相同 AB或B A A B或B A 任何集合 任何非空集合 A B(B) 3.集合的基本运算 基本运 算 并集 交集 补补集 符号表 示 _ 若全集为为U，集合A为为 全集U的一个子集，则则 集合A的补补集为为 U A 图图形 表示 数学 语语言 表示 AB AB x|xA 或xB x|xA且xB UA=x|xU且x A 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)(1，2)=1，2.( ) (2)已知集合A=x|y=x2,B=y|y=x2,C=(x,y)|y=x2，则 A=B=C.( ) (3)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n-1， 非空真子集的个数是2n-2.( ) (4)AB=的充要条件是A=B=.( ) 【解析】(1)不正确.集合(1，2)表示元素为点(1，2)的点的 集合，而1，2则表示元素为1，2的数的集合. (2)错误.集合A是函数y=x2的定义域，即A=(-,+)；集合B是 函数y=x2的值域，即B=0,+)；集合C是满足方程y=x2的实数 x,y的集合，也可以看作是函数y=x2图象上的点组成的集合，因 此这三个集合互不相等. (3)正确.空集的子集个数为1个，即 ；含有1个元素的集合 a1的子集个数为2个，即 ,a1；含有2个元素的集合a1,a2 的子集个数为4个，即 ,a1,a2,a1,a2归纳可得含有n 个元素的集合的子集个数为2n个，故其真子集个数是2n-1，非 空真子集的个数是2n-2. (4)错误.AB= 时，只要集合A,B没有公共元素即可，不一定 是A=B= . 答案:(1) (2) (3) (4) 1.已知集合A=xN|0x5, AB=1,3,5，则集合B=_. 【解析】集合A=0,1,2,3,4,5,所以集合B=0,2,4. 答案：0，2，4 2.已知集合A=x|-14，则集 合A( UB)等于_. 【解析】 UB=x|-1x4, A( UB)=x|-1x3. 答案:x|-1x3 考向 1 集合的基本概念 【典例1】(1)(2012新课标全国卷改编)已知集合 A=1,2,3,4,5,B=(x,y)|xA,yA,x-yA,则B中所含元素 的个数为_. (2)(2013无锡模拟)设集合A=-1,1,3,B=a+2,a2+4， AB=3,则实数a的值为_. 【思路点拨】(1)集合B中的元素是满足xA,yA,x-yA的有 序实数对，根据要求分类列举求解. (2)根据3B分类讨论求解a的值，根据集合元素的互异性确定 a的值. 【规范解答】(1)方法一：x=2时，y=1，x-y=1，此时 (x,y)=(2,1)，此时(x,y)有1个； x=3时，y=1,2，此时x-y=2,1，(x,y)有2个； x=4时，y=1,2,3，此时x-y=3,2,1，(x,y)有3个； x=5时，y=1,2,3,4，此时x-y=4,3,2,1，(x,y)有4个. 所以集合B中的元素个数为1+2+3+4=10. 方法二：在平面直角坐标系中列出x,yA的点，其中在直线x- y=a(aA)上的点的个数即为集合B中元素的个数.如图，容易 计算其中是集合B的元素的共有10个. 答案:10 (2)因为AB=3，3B，所以当a2+4=3时，a2=-1无意义， 当a+2=3，即a=1时，B=3,5.此时AB=3满足条件，故a=1. 答案：1 【互动探究】在本例题(1)的集合B中如果去掉x-yA的限制条 件，其他条件均不变，则集合B中含有的元素个数是多少？ 【解析】当x=1时，y=1,2,3,4,5，同理当x=2,3,4,5时， y=1,2,3,4,5，所以集合B中含有55=25个元素. 【拓展提升】 1.集合与元素的关系 集合与元素之间只能有“属于”“不属于”两种，二者必居其 一且只能居其一，即集合元素的确定性. 2.集合的含义 【变式备选】定义集合运算:A*B=z|z=xy,xA,yB.设 A=1,2,B=0,2,则集合A*B的所有元素之和为_. 【解析】根据指定的法则，集合A*B中的元素是A，B中的元素 的乘积，根据集合元素的性质，得A*B=0，2，4，故集合A*B 中所有元素之和为6. 答案:6 考向 2 集合间的基本关系 【典例2】(1)(2012大纲版全国卷改编)已知集合A=1,3, ，B=1,m，AB=A，则m=_. (2)若集合A=1,a,b，B=a,a2,ab，且AB=AB，则实数a的 取值集合是_. 【思路点拨】(1)AB=A B A，据此得关于m的方程，解出m 的值，再根据集合元素的互异性、集合的包含关系进行检验. (2)AB=AB A=B，得出关于a,b的方程组，解出a,b，再根 据集合元素的性质加以检验得出结论. 【规范解答】(1)因为AB=AB，所以AB=A,所以B A, 所以m=3或m= 若m=3， 则A=1,3, ,B=1,3，满足AB=A. 若 解得m=0或m=1.若m=0， 则A=1,3,0，B=1,0,满足AB=A. 若m=1，则A=1,3,1,B=1,1，显然不成立， 综上，m=0或m=3. 答案：0或3 (2)方法一：因为AB=AB，所以A=B， 所以1,b=a2,ab， 反代回A,B集合知，只有 适合， 所以 即实数a的取值集合是-1. 方法二:因为AB=AB，所以A=B，所以1，b=a2,ab.由于 两个数和另外两个数相等的充要条件是这两个数的和与积分别 等于另外两个数的和与积，故1,b=a2,ab成立的充要条件是 反代回A，B集合知，只有 适合. 即实数a的取值集合是-1. 答案:-1 【拓展提升】集合间的基本关系的几个结论 (1)AB=A B A. (2)AB=A A B. (3)AB=AB A=B. 【提醒】解决两个集合之间的包含关系时，注意空集的情况， 如A B，无论集合B如何，集合A都有为空集的可能. 【变式训练】(1)已知M=x|x-a=0,N=x|ax-1=0，若MN=N ，则实数a的值为_. 【解析】MN=N N M. 当a=0时，N= ，符合要求， 当a0时，只要 即a=1即可. 答案：0或1或-1 (2)设集合A=x,y,x+y,B=0,x2,xy，若A=B，则实数对(x,y) 的取值集合是_. 【解析】由A=B，且0B，故集合B中的元素x20,xy0，故 x0,y0，那么只能是集合A中的x+y=0，此时就是在条件 x+y=0下，x,y=x2,xy， 答案:(1,-1),(-1,1) 考向 3 集合的基本运算 【典例3】(1)(2012江苏高考)已知集合A=1,2,4， B=2,4,6，则AB=_. (2)(2013南京模拟)集合A=x|x-2|2,xR,B=y|y= -x2,-1x2,则 (AB)=_. 【思路点拨】(1)可以根据并集的定义直接求出AB. (2)集合A是一个不等式的解集，集合B是函数的值域，分别求 出A和B，然后求出AB，最后由补集的定义求 (AB). 【规范解答】(1)AB=1,2,42,4,6=1,2,4,6. 答案：1,2,4,6 (2)A=x|x-2|2,xR=x|0x4, B=y|y=-x2,-1x2=y|-4y0, AB=0, R(AB)=(-,0)(0，+). 答案：(-,0)(0,+) 【拓展提升】 1.集合的基本运算的关注点 (1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构 成入手是解决集合运算问题的前提. (2)对集合化简.有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系 并进行运算，可使问题简单明了，易于解决. (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、 坐标系和Venn图. 2.集合的运算律 (1)交换律：AB=BA,AB=BA. (2)结合律：(AB)C=A(BC)； (AB)C=A(BC). (3)分配律：A(BC)=(AB)(AC)； A(BC)=(AB)(AC). (4)狄摩根定律: U(AB)=( UA)( UB)； U(AB)=( UA)( UB). 【变式训练】(1)若集合 则 RA=_. 【解析】方法一：由不等式 得 故 RA=(-,0 方法二： 根据补集思想，RA=(-,0 答案： (2)(2013南通模拟)设全集U=R，集合A=x|x2，B= -1,0,1,2,3，则( UA)B=_. 【解析】 UA=x|x2，( UA)B=-1,0,1. 答案：-1,0,1 【创新体验】以集合为载体的创新型问题 【典例】(2011福建高考改编)在整数集Z中，被5除所得余数 为k的所有整数组成一个“类”，记为k,即k =5n+k|nZ，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论： 2 0111； -33； Z=01234; “整数a，b属于同一类”的充要条件是“a-b0” ，其中，正确结论有_ (填序号). 【思路点拨】 【规范解答】2 011=2 010+1=4025+11,正确；由 -3=-5+22可知不正确；根据题意信息可知正确;若 整数a，b属于同一类，不妨设a，bk=5n+k|nZ,则 a=5n+k,b=5m+k,n,m为整数，a-b=5(n-m)+00正确,故 正确. 答案： 【思考点评】 1.方法感悟：本题中对新定义的理解是解题的关键，定义中的 “类”实际上就是一个集合，这个集合中的元素被5除所得的 余数相同，即集合k中的元素特征是5n+k(n为整数)，明确 了这个特征后就可以通过计算和简单的推理解决问题了. 2.技巧提升：以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型 试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算 等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解 决问题的能力. (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问 题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破 解新定义型集合问题难点的关键所在. (2)用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性 质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题 时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键 之处用好集合的性质. 1.(2012湖南高考改编)设集合M=-1,0,1，N=x|x2x，则 MN=_. 【解析】N=x|0x1,M=-1,0,1,MN=0,1. 答案：0,1 2.(2012山东高考改编)已知全集U=0，1，2，3，4，集合 A=1，2，3，B=2，4，则( UA)B为_. 【解析】因为 UA=0,4,所以( UA)B=0,2,4. 答案：0,2,4 3.(2012浙江高考改编)设集合A=x|1x4，集合B=x|x2- 2x-30, 则A( RB)=_. 【解析】B=x|x2-2x-30=x|-1x3， A( RB)=x|1x4x|x-1或x3=x|3x4. 答案：(3，4) 4.(2012江西高考改编)若集合A=-1，1，B=0，2， 则集合z|z=x+y,xA,yB中的元素的个数为_. 【解析】因为xA,yB，所以当x=-1时，y=0,2，此时z=x+y= -1,1.当x=1时，y=0,2，此时z=x+y=1,3，所以集合z|z=- 1,1,3=-1,1,3，共3个元素. 答案：3 5.(2013连云港模拟)已知全集U=1，2，3，4，集合 P=1,2，Q=2,3，则 U(PQ)等于_. 【解析】PQ=1,22,3=1,2,3, U(PQ)=4. 答案：4 6.(2013苏州模拟)若不等式x2-3x0的解集为M.函数 f(x)=lg(1-x)的定义域为N，则MN=_. 【解析】M=x|0x3，N=x|x1. MN=x|x3. 答案：x|x3 1.有下列结论： 以上结论正确的是_(填序号). 【解析】令a=0,b=1，则 令a=0,b=1，则a+bi=i，故ix|x=a+bi,a,bC； 令a=1,b=1，则a+bi=1+i， 故1+ix|x=a+bi,a,bC. 答案： 2.已知P=a|a=(1,0)+m(0,1),mR,Q=b|b=(1,1)+ n(-1,1),nR是两个向量集合，则PQ=_. 【解析】因为a=(1,m)，b=(1-n,1+