常微分论文关于一阶微分方程的解的存在的探讨.doc

常微分方程论文学院：数学科学学院班级：12级统计班指导教师：宋旭霞 小组成员：张维萍 付佳奇 张韦丽 张萍 日期：2014.06.06关于一阶微分方程的解的存在的探讨 摘要：分析了解的存在唯一性定理，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，并且对此加以证明。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义。如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。关键词：微分方程 连续 可微 近似计算 误差估计 一、存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程 （3.1）这里是在矩形域： （3.2）上连续。 （一）、定理1：如果函数满足以下条件：1）在上连续：2）在上关于变量满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数，使对于上任何一对点，均有不等式成立，则方程（3.1）存在唯一的解，在区间上连续，而且满足初始条件 （3.3）其中,称为Lipschitz常数.解题思路：1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程的连续解。2） 构造近似解函数列 任取一个连续函数，使得，替代上述积分方程右端的，得到 如果，那么是积分方程的解，否则，又用替代积分方程右端的，得到 如果，那么是积分方程的解，否则，继续进行，得到 （3.4）于是得到函数序列.3） 函数序列在区间上一致收敛于，即 存在，对(3.4)取极限,得到 ，即.4) 是积分方程在上的连续解.（二）、五个命题 这种一步一步求出方程解的方法逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理.为了讨论方便,只考虑区间,对于区间的讨论完全类似.命题1 设是方程(3.1)定义于区间上,满足初始条件 （3.3）的解,则是积分方程 (3.5)的定义于上的连续解.反之亦然.证明 因为是方程(3.1)满足的解,于是有 两边取到的积分得到 即有 所以是积分方程定义在区间上的连续解.反之,如果是积分方程(3.5)上的连续解,则 （3.6）由于在上连续,从而连续,两边对求导,可得 而且 ,故是方程(3.1)定义在区间上,且满足初始条件的解.构造Picard的逐次逼近函数序列. （3.7）命题2 对于所有的，（3.6）中的函数在上有定义，连续且满足不等式 （3.8）证明 用数学归纳法证明 当时，显然在上有定义、连续且有 即命题成立. 假设命题2成立，也就是在上有定义、连续且满足不等式 当时， 由于在上连续,从而在上连续，于是得知在上有定义、连续,而且有 即命题2对时也成立.由数学归纳法知对所有的均成立.命题3 函数序列在上是一致收敛的.记,证明 构造函数项级数 (3.9)它的部分和为于是的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此，对级数(3.9)的通项进行估计. (3.10)由Lipschitz条件得知设对于正整数,有不等式 成立,则由Lipschitz条件得知,当时,有 于是由数学归纳法可知, 对所有正整数,有 (3.11)由正项级数 的收敛性,利用Weierstrass判别法,级数(3.9)在 上一致收敛.因而序列在上一致收敛. 设,则也在上连续,且 命题4 是积分方程(3.5)的定义在上的连续解.证明 由Lipschitz条件 以及在上一致收敛于,可知在上一致收敛于.因此即 故是积分方程(3.5)的定义在上的连续解.命题5设是积分方程(3.5)的定义在上的一个连续解,则,.证明 设,则是定义在的非负连续函数,由于 而且满足Lipschitz条件,可得 令,则是的连续可微函数,且,即,于是在上, 故,即,命题得证.（三）、对定理说明附注:1、存在唯一性定理中的几何意义.在矩形域中,故方程过的积分曲线的斜率必介于与 之间,过点分别作斜率为与的直线.当时，即,（如图(a)所示），解在上有定义；当时,即,（如图(b)所示），不能保证解在上有定义，它有可能在区间内就跑到矩形外去，只有当才能保证解在内，故要求解的存在范围是.2、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数在矩形域上关于的偏导数存在并有界，即，则李普希兹条件条件成立. 事实上 这里. 如果在上连续，它在上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数不一定有偏导数存在.例如函数在任 何区域都满足李普希兹条件,但它在处没有导数.3、设方程(3.1)是线性的,即方程为 易知,当在区间上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值所确定的解在整个区间上有定义、连续. 实际上,对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在上,是因为在构造逐步逼近函数序列时,要求它不越出矩形域,此时,右端函数对没有任何限制,只要取. 4、Lipschitz条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 例如 试证方程 经过平面上任一点的解都是唯一的. 证明 时, ,在上连续, 也在上连续,因此对轴外的任一点,方程满足的解都是唯一存在的.又由 可得方程的通解为 ,其中为上半平面的通解, 为下半平面的通解,它们不可能与相交.注意到是方程的解,因此对轴上的任一点,只有通过,从而保证平面上任一点的解都是唯一的. 但是 因为,故不可能存在,使得 所以方程右端函数在的任何邻域并不满足Lipschitz条件. 此题说明Lipschitz条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 2)考虑一阶隐方程 (3.12)由隐函数存在定理,若在的某一邻域内连续且,而,则必可把唯一地表为的函数 (3.13)并且于的某一邻域连续,且满足如果关于所有变元存在连续的偏导数,则对也存在连续的偏导数,并且 (3.14)显然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)满足初始条件的解存在且唯一.从而得到下面的定理.定理2 如果在点的某一邻域中:) 关于所有变元连续,且存在连续的偏导数；）则方程（3.12）存在唯一的解 （为足够小的正数）满足初始条件 （3.15）（四）、近似计算和误差估计求方程近似解的方法Picard的逐次逼近法 对方程的第次近似解和真正解在内的误差估计式 （3.16）此式可用数学归纳法证明.设有不等式成立,则 例1 讨论初值问题 , 解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中, .解 ,由于,根据误差估计式(3.16) 可知.于是 就是所求的近似解,在区间上,这个解与真正解得误差不超过0.05.1、求初值问题的第三次近似解；解 由解的存在唯一性定理知，1），2）中的初值问题的解分别在，的邻域内存在且唯一。下面求它们的近似解。， ，2、 求初值问题的第二次近似解。解 由解的存在唯一性定理知，1），2）中的初值问题的解分别在，的邻域内存在且唯一。下面求它们的近似解。， 。评注：逐次逼近函数序列，在实际中有广泛的应用。利用此序列求近似解时，须验证初值问题的解存在唯一，否则求出的结果可能并不是我们想要的近似解。3、设，求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。解 设，显然，方程在上满足解的存在唯一性定理，则，所以，方程过点的解的存在区间为：，即。设是初值问题 的解，是第二次近似解，则， 。在区间上，与的误差为，取 ，所以 。评注：需要掌握第次近似解和真正解在区间内的误差估计公式，在进行近似计算时，可以根据误差的要求，选取适当的逐步逼近函数。二、解的延拓（一）局部利普希兹条件，即对于内的每一点，有以其为中心的完全含于内的闭矩形存在，在 上关于满足利普希兹条件（二）解的延拓定理如果方程(3.1)右端的函数在有界区域内连续，且在内关于满足局部利普希兹条件，则方程(3.1)的通过内任意一点的解可以延拓，直到点任意接近区域的边界以向增大的一方的延拓来说，如果只能延拓到区间上，则当时，趋于区域的边界（三）推论如果是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下，方程(3.1)的通过的解可以延拓，以向增大的一方的延拓来说，有下面两种情况：(1) 解可以延拓到区间；(2) 解只可以延拓到区间，其中为有限数，则当时，或者无 界，或者点趋于区域的边界三、 解对初值的连续性和可微性定理（一）解关于初值的对称性定理设方程(3.1)的满足初始条件的解是唯一的，记为，则在表达式中，和可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式（二）解对初值的连续依赖性1引理如果函数在某区域内连续，且关于满足利普希兹条件，则对方程(3.1)的任意两个解，在它们的公共存在区间成立着不等式 (3.20)其中为所考虑区间内的某一值2解对初值的连续依赖性定理设在区域内连续，且关于满足局部利普希兹条件，是(3.) 的满足初始条件的解，它在区间上有定义，则对于任意给定的，存在正数使得当时，方程(3.1)的满足条件的解在区间上也有定义，并且3解对初值的连续性定理 若在区域内连续，且关于满足局部利普希兹条件，则方程(3.1)的解作为的函数在它的存在范围内是连续的(三)解对初值的可微性1解对初值的可微性定理 若及都在区域内连续，则方程(3.1)的解作为的函数在它的存在范围内是可微的例题 假设函数及都在区域内连续，又是方程满足初始条件的解，试证存在且连续，并写出其表达式。证 1）因及都在区域内连续，则在内满足局部利普希兹条件，故解 在它的存在范围内对连续。2）设由初值和足够小，所确定的解分别为和，则这两个解均满足积分方程 。即 和，所以其中是关于的连续函数，且当时，于是有，即是初值问题 的解，因此是的连续函数。由上边微分方程解得，故存在，显然，它是的连续函数。评注：我们看到，在表达式中，包含有方程满足初始条件的解，一般来说，初值问题解的表达式很难得到，因此，偏导数公式的实际应用并不广泛，但理论上表明初值问题解对初值的连续可微性。总结：本文研究了解的存在唯一性定理并在常微分方程的基础上，分别用皮卡的逐步逼近法、归纳法、和格朗瓦尔不等式法证明了解的存在唯一性定理的唯一性：对解存在但是否唯一做了分析，给出了解的唯一性的一点注记，使读者加深了对唯一性定理的理解和条件上的限制：并且对解的初值的性质进行了分析。参考文献1王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松 常微分方程（第三版）M.北京高等教育出版社20072杨继明 常系数线性微分方程组