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课件制作：应用数学系 概率统计课程组 概率论与数理统计 4.4 协方差及相关系数 4.4.1 协方差及相关系数的定义 4.4.1 协方差及相关系数的性质 问题 对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布边缘分布 这说明对于二维随机变量，除了每个 随机变量各自的概率特性以外，相互之间 可能还有某种联系. 问题是用一个什么样 的数去反映这种联系. 数 反映了随机变量X ,Y 之间的某种关系 定义 称 为X ,Y 的协方差. 记为 称 为（X , Y ）的协方差矩阵 4.4.1 协方差及相关系数的定义 若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称 为X ,Y 的 相关系数，记为 若称 X ,Y 不相关. 4.4.2 协方差及相关系数的性质 注: 注: 显然 相关 不相关 正相关 负相关 协方差的性质 q q q q q 当D(X ) 0, D(Y ) 0 时，当且仅当 时，等式成立 Cauchy-Schwarz不等式 协方差和相关系数的性质回顾 证 5 令 对任何实数 t , 即 等号成立有两个相等的实零点 即 又显然 即 即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性 关系为 完全类似地可以证明 当E(X 2) 0, E(Y 2 ) 0 时，当且仅当 时，等式成立 利用函数的期望或方差计算协方差 q 若 ( X ,Y ) 为离散型， q 若 ( X ,Y ) 为连续型， 协方差和相关系数的计算 q 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 求 Cov (X ,Y ), XY 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y 1 0 1 0 p 0 0 q 0 p 1 p + q = 1 解: 1 0 p q X Y P 例4.4.1 例4.4.2 解: 例4.4.3 解: q X , Y 不相关 X , Y 相互独立 X , Y 不相关 若 X , Y 服从二维正态分布， X , Y 相互独立 X , Y 不相关 X和Y独立时， =0，但其逆不真. 由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0. 故= 0 但由并不一定能推出X和Y 独立. 请看下例. 例4.4.4 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X, （请课下自行验证） 因而 =0，即X和Y不相关
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