应用多元统计课件ch.ppt

第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布-Wishart分布的性质 性质4 分块Wishart矩阵的分布:设X() Np(0,) ( 1,n)相互独立，其中 又已知随机矩阵 则 1 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布-Wishart分布的性质 性质5 设随机矩阵WWp(n,)，记 则 相互独立。其中 (性质5,性质7和性质8不要求) 2 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布-Wishart分布的性质 性质6 设随机矩阵WWp(n,)，则 E(W)n. 证明:由定义3.1.4,知 其中ZNp(0,)(=1,n)相互独立.则 3 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布 一元统计中, 若XN(0,1), 2(n) ,X与 相互独立,则随机变量 下面把 的分布推广到p元总体. 设总体XNp(0,)，随机阵W Wp(n,),我们来讨论T2nXW -1 X的 分布. 4 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布 定义3.1.5 设XNp(0,),随机阵W Wp(n,) (0, np),且X与W相互独立, 则称 统计量T2nXW-1 X 为Hotelling T2 统计量 ,其分布称为服从n个自由度的T2 分布,记为 T2 T2 (p,n). 更一般地,若XNp(,) (0),则称T2 的 分布为非中心Hotelling T2 分布，记为 T2 T2 (p,n,). 5 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质 性质1 设X() Np(,) (1,n) 是来自p元 总体Np(,)的随机样本, X和A分别为总体 Np(,)的样本均值向量和离差阵,则统计量 事实上,因 6 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质 而AWp(n-1,),且A与X相互独立.由定 义 3.1.5知 7 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质 性质2 T2与F分布的关系:设T2T2 (p,n)， 则 在一元统计中 8 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质 当p=1时,一维总体XN(0,2)， 所以 注意:因 这是性质2的特例:即p=1时,T2F(1,n). 9 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质 一般地：(性质2的严格证明见参考文献2) 其中X-1 X2(p,) (0)，还可以证明 2(n-p+1),且与独立. 10 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质 性质3 设XNp(,), 随机阵WWp(n,) (0, np),且X与W相互独立, T2nXW -1 X 为非中心Hotelling T2 统计量(T2 T2 (p,n,). 则 其中非中心参数 . 11 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质 或 性质3 设X() Np(,) (1,n) 是来自p 元总体Np(,)的随机样本, X 和A分别为样本均 值向量和离差阵.记 12 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质 一元统计中(p=1时),t 统计量与参数2无关.类 似地有以下性质. 性质4 T2统计量的分布只与p,n有关, 而与无关. 即 13 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质 事实上,因XNp(0,) (0),WWp(n,),则 -1/2XNp(0,Ip)， 因此 14 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质 性质5 在非退化的线性变换下,T2统计量 保持不变 设X() (1,n) 是来自p元总体 Np(,)的随机样本, Xx和Ax分别表示正态 总体X的样本均值向量和离差阵,则由性质 1有 15 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质 令 其中C是pp非退化常数矩阵，d是p1 常向量。则可证明： 16 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Wilks 分布的定义 一元统计中,设2(m),2(n), 且相互独 立,则 在总体N(1,2(x)和N(2,2(y)方差齐性检验中,设 X(i)(i=1,m)为来自总体N(1,2(x)的样本, Y (j) (j=1 ,n)为来自总体N(2,2(y)的样本.取2(x)和2(y)的估 计量(样本方差)分别为 17 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Wilks 分布的定义 检验统计量 p元总体Np(,)中,协差阵的估计量为A/(n- 1)或A/n.在检验H0:12时,如何用一个数值来 描述估计矩阵的离散程度呢.一般可用矩阵的行 列式、迹或特征值等数量指标来描述总体的分 散程度. 18 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Wilks 分布的定义 定义3.1.6 设XNp(,),则称协差阵的 行列式|为X的广义方差.若X() (1, n ) 为p元总体X的随机样本，A为样本离 差阵, 有了广义方差的概念后,在多元统计的协差阵齐 次检验中,类似一元统计,可考虑两个广义方差之 比构成的统计量Wilks统计量的分布. 19 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Wilks 分布的定义 定义3.1.7 设A1Wp(n1,) , A2Wp(n2,) (0,n1p), 且A1与A2独立, 则称广义方差之比 为Wilks(或)统计量,其分布称为Wilks(威 尔克斯)分布,记为 (p,n1,n2) (或p,n1,n2) 20 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Wilks 统计量的性质 在实际应用中,常把统计量化为T2统计量,进 而化为F统计量,利用我们熟悉的F统计量来解决 多元统计分析中有关检验的问题. 结论1 当n21时,设n1=np,则 注意:在这里记号(p,n,1)有两重含义:统计量(也是随 机变量); 其分布是参数为p,n,1的威尔克斯分布. 21 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Wilks 统计量的性质 或 证明 设X() (1,n,n+1)相互独立同 Np(0,)分布,显然有 22 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Wilks 统计量的性质 由定义3.1.7，知 23 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Wilks 统计量的性质 利用分块矩阵求行列式的公式(见附录的推论4.1): 24 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Wilks 统计量的性质 所以 结论2 当n22时,设n1np,则 25 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Wilks 统计量的性质 结论3 当p=1时，则 因p=1时,(1,n1,n2)就是 (n1 /2,n2 /2) 利用贝塔分布与F分布的关系,即有以上 结论. 26 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Wilks 统计量的性质 结论4 当p=2时，则 结论5 当n22,p2时,可用2统计量或F统计 量近似. Box(1949)给出以下结论： 设(p, n, n2),则当n时， -rln2(p n2 ), 其中r = n-(p- n2+1)/2. (二个重要结论不要求) 27 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Wilks 统计量的性质 下面不加证明地给出地二个重要结论： (1) 若(p,n1,n2),则存在相互独立B1,Bp , Bk (k=1,p)使得 d p=1时(1,n1,n2)就是 (n1 /2,n2 /2). (2) 28 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验 在多元统计分析中,考虑的总体是p维正 态总体Np(,),关于均值向量的检验问题经 常是需要的. p元正态随机向量的每一个分量都是一元正 态变量,关于均值向量的检验问题能否化为 p个 一元正态的均值检验问题呢?显然这是不完全的. 因为p个分量之间往往有互相依赖的关系,分开作 检验,往往得不出正确的结论.但我们可以构造出 类似于一元统计中的统计量,用来对均值向量进 行检验. 29 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验 关于均值向量的检验包括: 一个p元正态总体Np (,),检验 H0: 0; 二个p元正态总体Np(1,1)和Np (2,2)，检验H0: 12 k个p元正态总体Np(i,)(i1,k),当 协差阵相等时检验k个均值向量是否全相 等(即多元方差分析). 30 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验 设总体XNp(,),随机样本X() ( 1,n).检验 H0: 0 (0为已知向量),H1: 0 1. 当0已知时均值向量的检验 利用二次型分布的结论(“2.结论1”)知 31 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验 取检验统计量为 按传统的检验方法,对给定的显著水平, 查2分布临界值表得 : 32 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验 由样本值x() (1,n),计算X及T20值,若 T20 ,则否定H0,否则H0相容. 利用统计软件(如SAS系统),还可以通过计算显 著性概率值(p值)给出检验结果,且由此得出的结 论更丰富. 假设在H0成立情况下,随机变量T20 2(p),由 样本值计算得到T20的值为d,可以计算以下概率 值： p=P T20 d , 常称此概率值为显著性概率值，或简称为p值. 33 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验 对给定的显著性水平,当p值时(即d值大,X 与偏差大),则在显著性水平下否定假设H0 ； 在这种情况下,可能犯“以真当假”的第一类错误, 且就是犯第一类错误的概率. 当p值时(即d值小, X与偏差小),则在显著性 水平下H0相容；在这种情况下，可能犯“以假 当真”的第二类错误,且犯第二类错误的概率为 =P T20 |当=10 , 其中检验统计量T20 2(p,),非中心参数 =n(1 - 0)(0 )-1(1 - 0 ). 34 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验 p值的直观含义可以这样看,检验统计量T20的 大小反映X与0的偏差大小,当H0成立时T20 值应 较小.现在由观测数据计算T20值为d；当H0 成立 时统计量T20 2(p),