数-第二章分离变量法作业题.ppt_第1页
数-第二章分离变量法作业题.ppt_第2页
数-第二章分离变量法作业题.ppt_第3页
数-第二章分离变量法作业题.ppt_第4页
数-第二章分离变量法作业题.ppt_第5页
已阅读5页，还剩18页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

第二章 分离变量法 作业题-习题二 1. 设弦的两端固定于x=0及x=l,弦的初位移 如图所示，初速度为零, 又无外力作用,求弦 作横向振动时的位移函数u(x,t)。 解：如图所示,设弦作横向振动 时初始条件题为 则u(x,t)是下列定解问题的解 0l x u(x,t) h c 初速度为零 其中系数Cn和Dn由课本第23页(2.12)式得 该定解问题的解由课本第22页(2.11)式得 分别是 在0, l区 间上正弦展开的Fourier级数 的系数，即 求得的系数代入前面的级数解中，即可得 到原来定解问题的解： 6.解一维热传导方程,其初始条件及边界条件为 u(x,t=0)=x, u(x=0,t)x=0, u(x=l,t)x=0. 解：依题意写出定解问题如下: 用分离变量法求解： 得 首先找到所有具有变量分离形式的满足 齐次方程和齐次边界条件的非零特解。 令 (I) 代入方程和边界条件得到 即 以及 (1) (2) (3) (II)特征值问题 (3) 情形(A) 情形(B) 时(2)通解: 由(3) 得 其通解为 有非零解 X=A由(3) 可推 只有零解X=0=u (2) 由此，就得到原方程满足边界条件的变 量分离的非零特解: 代入(1)可得 其通解为 情形(C)通解： 由X(0) = 0推 由 使必须 于是有 这样就找到了一族非零解：特征函数 得一族特征值 注：n=0即l=0的情况。 (III)特解的叠加 由初始条件知 故Cn是x在 0, l上余弦展开的Fourier级数的系数: 再代入前面的级数解中，即得到原定解问题的解。 13.一半径为a的半圆形平板，其圆周边界上的 温度保持u(a,q)=Tq(p-q)，而直径边界上温度 保持为零度，板的侧面绝缘，试求稳恒状态下 的温度分布情况。 u (r, q=0) u (a, q) u (r, q) u (r, q=p) 解 ：原定解问题转化为 下面采用分离变量法来求解。为此，令 代入偏微分方程 ，即得 分离变量,令其比值为为常数,得 这样,我们得到了两个常微分方程： 直径边界条件 自然边界条件 (1) (2) (3) 求解特征值问题(1) (2) 于是特征值为 特征函数为 代入(3),得 欧拉方程 特解： 其中n=1,2,。特解叠加： 利用初始条件u(a,q) =Tq(p-q)来确定系数: 其中 则原定解问题解为 9. 求下列定解问题的形式解,A为常数: 解: 边界条件是非齐次的。本问题中,方程的 自由项与边界条件均与t 无关，所以令 u(x,t)=V(x,t)+W(x) 代入方程及边界条件，有 所以取 则原定解问题化为关于V(x,t) 的齐次边界齐次 方程的问题,简化了计算难度。通过求解上述 常微分方程的边值问题，积分两次可得 则原定解
人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论