向量组的秩和线性相关性.ppt

2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 一一. . 基本概念基本概念 列向量组列向量组: : 1 1, , 2 2 , , , , s s 矩阵矩阵A A = ( = ( 1 1, , 2 2 , , , , s s ) ) 矩阵矩阵A A的秩的秩 向量组向量组 1 1, , 2 2 , , , , s s 的的秩秩 r(r( 1 1, , 2 2 , , , , s s ) ) 第二章第二章 n n维列向量维列向量 行向量组行向量组: : 1 1, , 2 2 , , , , s s 矩阵矩阵A A的秩的秩 向量组向量组 1 1, , 2 2 , , , , s s 的的秩秩 矩阵矩阵A A = = 1 1 2 2 s s r(r( 1 1, , 2 2 , , , , s s) ) 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章 n n维列向量维列向量 r( r( 1 1, , 2 2 , , , , s s ) ) s s r( r( 1 1, , 2 2 , , , , s s ) ) n n时时, , 任意任意s s个个n n维向量都线性相关维向量都线性相关. . (3) (3) 含有零向量含有零向量的向量组一定的向量组一定线性相关线性相关. . 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章 n n维列向量维列向量 例题2.2 求下列向量矩阵的的秩，并判断它 们是不是线性相关的。 （1） （2） （3）n维基本单位向量组 解：(1)记 则因为 ，所以行列式的秩小于3，明显 的，A的2阶行列式 故A的秩等于2，因此三个向量线性相关。 容易求得r(A)=3,因此向量组线组线 性无关。 (3) 因为为1, 2 ,., n 对应对应 的矩阵阵是单单位矩 阵, 从而其秩为为n，故该该向量组组是线线性无关 的 (2)记 例题2.3 设 线性无关，且 证明： 线性无关。 解：只对列向量的情形证明。记 据已知条件知，B=AP 而矩阵P是可逆 的，因此，r(A)=r(B)，因此 线性无关。 二二. . 向量组秩的性质向量组秩的性质 A A: : 1 1, , 2 2 , , , , r r B B: : 1 1, , 2 2 , , , , s s 若若B B组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由A A组中的向组中的向 量线性表示量线性表示, , 则称向量组则称向量组B B能由向量组能由向量组 A A线性表示线性表示. . 1. 1. 给定两个向量组给定两个向量组 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章 n n维列向量维列向量 能由能由 线性表示线性表示, , 例如例如: : 2 2 0 0 3 3 0 0 , , 1 1 0 0 0 0 1 1 , , 但但 2 2 0 0 3 3 0 0 不能由不能由 线性表示线性表示. . , , 1 1 0 0 0 0 1 1 , , 若向量组若向量组B B能由向量组能由向量组A A线性表示，同时线性表示，同时 向量组向量组A A能由向量组能由向量组B B线性表示线性表示, , 则称这则称这 两个向量组两个向量组等价等价. . 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章 n n维列向量维列向量 A A: : 1 1, , 2 2 , , , , r r B B: : 1 1, , 2 2 , , , , s s 4. 4. 给定两个向量组给定两个向量组 显然显然, , (1)(1)向量组向量组A A与其自身等价与其自身等价( (反身性反身性); ); (2) (2) 若若A A与与B B等价等价, , 则则B B与与A A等价等价( (对称性对称性); ); (3) (3) 若若A A与与B B等价且等价且B B与与C C等价等价, , 则则B B与与A A等价等价 ( (传递性传递性). ). 定理2.1 如果向量组1, 2, ., t可以由1, 2 ,., s线性表示, 则 r1, 2, ., t r1, 2,., s 推论2.1 如果向量组1, 2, ., t可以由1, 2,., s线性表示, 且t s, 则向量组1, 2, ., t一定线性相关。 推论2.2 如果向量组1, 2, ., t与向量组1, 2,., s等价, 则 r1, 2, ., t =r1, 2,., s 推论2.3 如果向量组1, 2, ., t与向量组1, 2,., s都线性无关且相互等价，则s = t 例2.4. 设有设有两个向量组两个向量组 I: I: 1 1 =1, 1, =1, 1, 2 2 =1, =1, 1, 1, 3 3 =2, 1, =2, 1, II: II: 1 1 = 1, 0, = 1, 0, 2 2 = 1, 2. = 1, 2. 即即I I可以由可以由IIII线性表示线性表示. . 则则 1 1 = = 1 1 + + 2 2, , 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 = = 1 1 2 2, , 2 2 3 3 2 2 1 1 3 3 = = 1 1 + + 2 2, , 2 2 3 3 2 2 1 1 即即IIII可以由可以由I I线性表示线性表示. . 1 1 = = 1 1 + + 2 2 +0+0 3 3, , 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 = = 1 1 2 2 +0+0 3 3, , 2 2 3 3 2 2 1 1 故向量组故向量组I I与与IIII等价等价. . 2.2 2.2 向量组的秩和线性相关性向量组的秩和线性相关性 第二章第二章 n n维列向量维列向量 例2.5 设向量组