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椭圆的焦点三角形一 知识梳理定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直角三角形。性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。所以周长为定值2a+2cy F1 O F2 xP性质二：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则.证明：记，由椭圆的第一定义得在中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面积公式得：.性质三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则并且点P在y轴上是张角最大。证明：设则在中，由余弦定理得： 当切仅当，即点P在y轴是取的最小值，而角取得最大值。二 典型例题例1 如图把椭圆的长轴AB分成8分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于,七个点，F是椭圆的一个焦点，则_ 解：只需取椭圆的另一焦点与,七个点分别连接，由结论1和对称性可知例2若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，1）求的面积2）求点P的坐标例3已知、是椭圆的两个焦点，椭圆上一点使，求椭圆离心率的取值范围。由焦点三角形性质二， 三 练习题1. 椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当的面积为1时，的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 63. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当的面积最大时，的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 4已知椭圆（1）的两个焦点为、，P为椭圆上一点，且，则的值为（ ）A1 B C D5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程.6 A. 0 B. 1 C. 3 D. 47 椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是 。8已知椭圆的两个焦点为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 9已知ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则ABC的周长是.10设F1,F2是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,点M在椭圆上,若MF1F2是直角三角形,则MF1F2的面积等于()(A)485(B)365(C)365或16(D)485或16
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