向量组的线性相关习题.ppt

第一章 习题课 一、向量的定义一、向量的定义 定义: n 个有次序的数a1, a2, , an所组成的数组 称为n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第 i 个 数ai 称为第 i 个分量. 分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的 向量称为复向量. 行向量; 列向量. 向量的相等; 负向量; 零向量. 向量按照矩阵运算法则进行运算. 向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算, 满足下列八条运算规则: 二、向量的线性运算二、向量的线性运算 (1) 加法交换律: + = + ; (2) 加法结合律: ( + ) + g = + ( +g ) ; (3) 对任一向量 , 有 +O = ; (4) 对任一向量, 存在负向量 , 有 +( ) = O ; (5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对向量加法的分配律: k( + ) = k + k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: ( k + l ) = k + l ; 其中, , g为n维向量, 1, k, l为数, O为零向量. 除了上述八条运算规则, 显然还有以下性质: (1) 0 =O; (2) 若 k = O, 则或者k=0, 或者 = O; (3) 向量方程: + x = , 有唯一解 x = - ; 其中, 为n维向量, 0为数零, k任意数, O为零向量. 三、线性组合三、线性组合 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组 成的集合叫做向量组. 定义: 给定向量组A: 1, 2, , m, 对于任何一组 实数k1, k2, ,km, 向量 k11 + k22 + + kmm 称为向量组A: 1, 2, m一个线性组合, k1, k2, ,km 称为这个线性组合的系数. 给定向量组A: 1, 2, , m和向量b, 如果存在一 组数1, 2, ,m, 使 b = 11 + 22 + + mm 则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量 组A线性表示. 定理1: 向量b能由向量组A线性表示的充分必要 条件是矩阵A=(1, 2, , m)与B=(1, 2, , m, b)的 秩相等. 定义: 设有两向量组 A: 1, 2, , m 与 B: 1, 2, , s . 若B组中的每一个向量都能由A组线性表示, 则称向量 组B能由向量组A线性表示; 若向量组B与向量组A可以 相互线性表示, 则称这两个向量组等价. 四、线性相关性四、线性相关性 定义: 给定向量组A: 1, 2, , m , 如果存在不全 为零的数 k1, k2, ,km , 使 k11 + k22 + + kmm = O 则称向量组A是线性相关的, 否则称它是线性无关. 定理3: 向量组1, 2, , m线性相关的充分必要 条件是它所构成的矩阵A=(1, 2, , m)的秩小于向 量个数m; 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m. 定理2: 向量组 1, 2, , m (当 m2 时)线性相关 的充分必要条件是1, 2, , m中至少有一个向量可 由其余 m1个向量线性表示. 定理4: (1)若向量组A:1, 2, , m线性相关, 则 向量组B: 1, 2, , m, m+1也线性相关; 反言之, 若向 量组B线性无关, 则向量组A也线性无关. (2)设 即j 添上一个分量后得向量j. 若向量组A: 1, 2, , m线性无关, 则向量组B: 1, 2, , m也线性无关; 反 言之, 若向量组B线性相关, 则向量组A也线性相关. (3) m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量 个数m时一定线性相关 (4) 设向量组A: 1, 2, , m线性无关, 而向量组 B: 1, 2, , m, 线性相关, 则向量 必能由向量组A 线性表示, 且表示式是唯一的. 定义: 设有向量组A, 如果在A中能选出r 个向量 A0: 1, 2, r, 满足 (1)向量组A0: 1, 2, r, 线性无关; (2)向量组A中任意r+1个向量(如果存在的话)都线 性相关. 那末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无 关向量组(简称最大无关组). 最大无关组所含向量个数r 称为向量组的秩. 五、向量组的秩五、向量组的秩 定理1: 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于 它的行向量组的秩. 定理2: 设向量组B能由向量组A线性表示, 则向量 组B的秩不大于向量组A的秩, 即 R(B)R(A). 推论1: 等价的向量组的秩相等. 推论2: 设Cmn = Ams Bsn, 则 R(C)R(A), R(C)R(B). 推论3: 设向量组B是向量组A的部分组, 若向量组 B线性无关, 且向量组A能由向量组B线性表示, 则向量 组B是向量组A的一个最大无关组. 六、向量空间六、向量空间 定义: 设V为n维向量的集合, 如果集合V非空, 且 集合V对于加法及乘数两种运算封闭, 那么就称集合V 为向量空间. 集合V对于加法及乘数两种运算封闭是指: 若, V, 则 + V; 若 V, R, 则 V. 一般地, 由向量组a1, a2, , am所生成的向量空间 为: 七、子空间七、子空间 定义: 设有向量空间V1及V2, 若有V1V2. 则称V1 是V2的子空间. 八、基与维数八、基与维数 定义: 设V是向量空间, 如果有r 个向量1, 2, , rV, 满足 (1) 1, 2, , r 线性无关; (2) V中任一向量都可由1, 2, , r 线性表示. 则称向量组1, 2, , r为向量空间V的一个基, 称整 数r 为向量空间V的维数, 并称V为r 维向量空间. 说明1: 只含有零向量的向量空间称为0维向量空 间, 因此它没有基 说明2: 若把向量空间V看作向量组, 那末V的基就 是向量组V的最大无关组, V的维数就是向量组的秩. 说明3: 若向量组1, 2, , r 是向量空间V的一个 基, 则V可表示为 九、齐次线性方程组九、齐次线性方程组 向量方程; 解向量. 解向量的性质 (1) 若x = 1, x = 2为Ax = 0的解, 则 x =1 + 2也是 Ax = 0的解. (2) 若x = 1为Ax = 0的解, k为数, 则 x = k1也是 Ax = 0的解. 由以上两个性质可知, 方程组的全体解向量所组 成的集合, 对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一 个向量空间, 称此向量空间为齐次线性方程组 Ax = 0 的解空间. 定义: 如果向量组1, 2, , t 为齐次线性方程组 Ax = 0的解空间的一组基, 则向量组1, 2, , t 称为 齐次线性方程组Ax = 0的基础解系. 称向量组1, 2, , t为齐次线性方程组Ax = 0的 基础解系, 如果 (1) 1, 2, , t 是Ax = 0的一组线性无关的解; (2) Ax = 0的任一解都可由1, 2, , t 线性表出. 方程组Ax = 0的基础解系是不唯一的. 如果向量组1, 2, , t 为齐次线性方程组Ax = 0 的一组基础解系, 那么, Ax = 0的通解可表示为: x = k11 + k22 + + ktt 其中k1, k2, , ktt 为任意常数. 求齐次线性方程组的基础解系 1. 用初等行变换将系数矩阵A化为最简行阶梯形: 2. 将第r+1, r+2, , n列的前r个分量反号, 得解1, 2, ,n-r的前r个分量: 3. 将其余nr个分量依次组成 nr 阶单位矩阵, 于 是得齐次线性方程组的一个基础解系: 十、非齐次线性方程组十、非齐次线性方程组 (1) 设 x=1 及 x=2 都是方程组 Ax=b 的解, 则 x=12为对应齐次方程组Ax=0的解. (2) 设 x= 是方程组 Ax=b 的解, x= 是方程组 Ax=0 的解, 则 x=+ 仍为方程组 Ax=b 的解. 解向量的性质 求非齐次线性方程组的特解 用初等行变换将增广矩阵B化为最简行阶梯形: 当dr+10时, 则方程组 Ax=b 无解; 否则, 得齐次线 性方程组Ax=0的基础解系1, 2, ,n-r和非齐次线性 方程组Ax=b的一个特解: *=(d1, d2, , dr , 0, , 0)T. 一、向量组线性相关性的判定一、向量组线性相关性的判定 典 型 例 题典 型 例 题 研究这类问题一般有两个方法. 方法1. 从定义出发 整理得齐次线性方程组: 令 k11 + k22 + + kmm = 0, 即 (1) 若齐次线性方程组(1)只有零解, 则1, 2, , m 线性无关; 否则, 1, 2, , m线性相关. 方法2. 利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系 给出一组n维向量1, 2, , m, 就得到一个相应 的矩阵A=(1, 2, , m), 求R(A), 则 若R(A)=m, 则 1, 2, , m线性无关; 若R(A)m, 则 1, 2, , m线性相关. 例1: 研究下列向量组的线性相关性, 解一: 令 k11 + k22 + k33 = 0, 即 整理得齐次线性方程组: (2) 上述齐次线性方程组(2)的系数行列式为: 齐次线性方程组(2)有非零解, 故1, 2, 3线性相关. 解二: 构造矩阵 A = (1, 2, 3) = 则 由 R(A) = 2 3 得, 向量组1, 2, 3线性相关. 例2: 设向量组1, 2, , r (r 2)线性相关, 证明: 存在不全为零的数 t1, t2, , tr , 使得对任何向量, 都有 1 + t1, 2 + t2, , r + tr , 线性相关. 分析: 我们从定义出发, 考察向量方程: k1(1 + t1 ) + k2(2 + t2 ) + + kr(r + tr ) = 0 即向量方程: k11 + k22 + + krr + (k1t1 + k2t2 + + krtr ) = 0 是否有某组不全为零的数k1, k2, , kr , 而使得对任何 向量, 恒有非零解, 因此可得如下证明: 证明: 因为向量组1, 2, , r 线性相关, 所以, 存在不全为零的数k1, k2, , kr , 使得 k11 + k22 + + krr = 0. 因为 r 2, 所以必有非零解, 设(t1, t2, , tr )为其 一个非零解, 则对任意向量 , 都有 再考察方程组: k1x1 + k2x2 + + krxr = 0. k11 + k22 + + krr + (k1t1 + k2t2 + + krtr ) = 0, 即 k1(1 + t1 ) + k2(2 + t2 ) + + kr(r + tr ) = 0. 线性相关. 由k1, k2, , kr不全为零得: 1 + t1, 2 + t2, , r + tr 例3: 已知向量组A: 1, 2, , s 的秩是r, 证明: A 中任意个r 线性无关的向量均构成它的一个最大线性 无关组. 分析: 证明向量组的一个部分组构成最大线性无 关组的基本方法就是: 根据最大线性无关组的定义来 证, 它往往还与向量组的秩相联系. 证明: 不失一般性, 设 是A: 1, 2, , s 中的任意r 个线性无关的向量, 于是对于任意的k (k=1, 2, , s), 向量组 ,k 线性相关, 否则 向量组A的秩大于r. 又向量组 线性无关, 所以k可以由 线性表示. 由定义这就证明了是A的一个最大 线性无关组. 二、求向量组的秩二、求向量组的秩 求一个向量组的秩, 可以把它转化为矩阵的秩来 求, 这个矩阵是由这组向量为行(列)向量所排成的. 若矩阵A经过初等行(列)变换化为矩阵B, 则A和B 中任何对应的列(行)向量组都有相同的线性相关性. 如果向量组的向量以列(行)向量的形式给出, 把向 量作为矩阵的列(行), 对矩阵作初等行(列)变换, 这样, 不仅可以求出向量组的秩, 而且可以求出最大线性无 关组. 例4: 求向量组 的秩. 解: 作矩阵A=(1, 2, 3, 4, 5), 对A作初等行变 换化为阶梯形. 故, R(A)=3, 从而向量组1, 2, 3, 4, 5的秩为3. 又1, 2, 4是向量组1, 2, 3, 4, 5的一个最大线 性无关组. 所以1, 2, 4也是向量组1, 2, 3, 4, 5的一个 最大线性无关组. 三、向量空间的判定三、向量空间的判定 判断向量的集合是否构成向量空间, 需看集合是 否对于向量的加法和数乘两种运算封闭. 若封闭, 则构 成向量空间; 否则, 不构成向量空间. 例5: 判断R3中与向量(0, 0, 1)不平行的全体向量所 组成的集合是否构成向量空间. 解: R3中与向量(0, 0, 1)不平行的全体向量所组成 的集合V是否构成向量空间. 两向量, 平行当且仅当它们的分量对应成比例. 因为, 对不平行于向量(0, 0, 1)的向量 1=(0, k, 0), 2=(0, -k, 1)V ( k 0 ), 1+2 = (0, 0, 1) V.有 即V对加法运算不封闭, 故V不构成向量空间. 四、基础解系的证法四、基础解系的证法 例6: 证明与基础解系等价的线性无关的向量组也 是基础解系. 分析: 要证明某一向量组是方程组Ax=0的基础解 系, 需要证明三个结论: (1) 该组向量都是方程组的解; (2) 该组向量线性无关; (3) 方程组的任一解均可由该向量组线性表示. 证明: 设1, 2, , t是方程组Ax=0的一个基础解 系, 1, 2, ,m是与1, 2, , t等价的线性无关的向 量组. 由于等价的线性无关向量组所含向量个数相同, 所以, 这两个向量组所含向量个数相等, 即 m = t . (1) 由向量组的等价关系易知, i ( i = 1, 2, , t ) 可以表示成 1, 2, , t 的线性组合. 而方程组 Ax=0 的解的线性组合仍然是原方程组的解, 故1, 2, ,t 仍是方程组 Ax=0 的解. (2) 由题设知, 1, 2, ,t 是线性无关的. (3) 设为方程组Ax=0的任一解, 则可由1, 2, , t 线性表示, 由向量组的等价性, 1, 2, , t 均可由 1, 2, ,t 线性表示, 故也可由1, 2, ,t 线性表 示. 注: 当线性方程组有非零解时, 基础解系的取法不 唯一, 且不同的基础解系之间是等价的. 故由定义知, 1, 2, ,t 也是方程组Ax=0 的一个 基础解系. 五、解向量的证法五、解向量的证法 例7: 设*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解, 1, 2, , nr是其导出组(对应齐次线性方程组Ax=0)的 一个基础解系, 证明: (1) *, 1, 2, , nr 线性无关; (2) *, *+1, *+2, , *+nr 是方程组Ax=b的 nr+1个线性无关的解; (3) 方程组Ax=b的任一解x都可以表示为这nr+1 个解的线性组合, 而且组合系数之和为1. 证明(1): 令 k0* + k11 + k22 + + knr nr = 0 (1) 其中必有k0=0. 否则有 由于1, 2, , nr 是其对应齐次线性方程组 Ax=0的基础解系, 故等式右边的线性组合必为 Ax=0 的解,而等式左边*是非齐次线性方程组Ax=b 的解. 矛 盾. 所以有 k0=0 . 将 k0=0 代如(1)式得, k11 + k22 + + knr nr = 0 由于1, 2, , nr 线性无关, 因此只能有 k0 = k1 = k2 = = knr = 0 所以, *, 1, 2, , nr 线性无关. (2) 由线性方程组解的性质知, *, *+1, *+2, , *+nr 都是Ax=b的解, 以下证它们线性无关. k0* + k1(*+1) + + knr(*+nr ) = 0令 得(k0 + k1 + + knr )* + k11 + + knrnr = 0 类似于(1)的证明方式, 可得 故, *, *+1, *+2, , *+nr 是方程组Ax=b的 nr+1个线性无关的解; *, *+1, *+2, , *+nr 是线性无关的. (3) 设x为方程组Ax=b的任一解, 则 x可表为 x = *+ c11 + + cnrnr = *+ c1(*+1*) + + cnr (*+ nr *) = (1c1 cnr )*+c1(*+1)+cnr (*+nr) 令 c0= 1c1 cnr , 则c0 + c1 + + cnr = 1, 故, 方程组Ax=b的任一解x都可以表示为这nr+1 个解*, *+1, *+2, , *+nr的线性组合, 而且组 合系数之和为1. 注意(1): 本例是对非齐次线性方程组Ax=b的解的 结构作进一步的分析和讨论, 即非齐次线性方程组一 定存在着nr+1个线性无关的解, 题中(2)的证明表明了 它的存在性. 注意(3): 对非齐次线性方程组Ax=b, 有时也把如 题中所给的nr+1个解称为Ax=b的基础解系, 所不同的 是它的线性组合只有当组合系数之和为1时, 才是方程 组Ax=b的解. 注意(2): 对齐次线性方程组, 当R(A)=r n 时, 有 无穷多组解, 其中任一解可由其基础解系线性表示. 10. 设向量组A: a1, a2, , am的秩为p, 向量组B: b1, b2, , bn的秩为q, 向量组C: a1, a2, , an, b1, b2, , bn 的秩为r, 证明 证明: 显然向量组A和B都可由向量组C线性表示. 因此有, R(A) R(C), R(B) R(C), 即 Maxp, q r . 设向量组A, B的最大无关组分别为A0, B0, 且A0与 B0中的所有向量构成向量组D. 由于R(A)=p, R(B)=q, 所以向量组A0, B0中的向量 个数分别为p, q, 故向量组D中的向量数仅为 p + q 个. 又由于向量组A0和B0都可由向量组D线性表示, 从 而, 向量组A和B都可由向量组D线性表示, 所以, R(D) p + q. Maxp, q r p + q. C可由向量组D线性表示, 因此, 故向量组 p+q.r =R(C) R(D) Maxp, q r p + q. 因此得证: 11. 证明:R(A+B) R(A)+R(B). 证明: 设A=(a1, a2, , an), B=(b1, b2, , bn), 则 A+B =(a1+b1, a2+b2, , an+bn)=(c1, c2, , cn), 显然, 向量组c1, c2, , cn即a1+b1, a2+b2, , an+bn 可以由向量组 a1, a2, , an, b1, b2, , bn线性表示. 所以, R(c1, c2, , cn) R(a1, a2, , an, b1, b2, , bn), R(a1, a2, , an, b1, b2, , bn) 又由习题10知, R(a1, a2, , an)+R(b1, b2, , bn) 因此R(c1, c2, , cn) R(a1, a2, , an)+R(b1, b2, , bn) 即 R(A+B) R(A)+R(B) 21. 设A, B都是n阶方阵, 且AB=O, 证明: R(A)+R(B) n. 证明: 设R(A)=r . 是以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0的解向量. 由AB=O知, B的每一个列向量都 (1) 当 r = n 时, 齐次线性方程组Ax=0只有零解, 故B=O, 此时有, R(A)+R(B) = n + 0 = n, 结论成立. (2) 当 r n 时, 该齐次线性方程组Ax=0的基础解 系中含有nr个向量, 从而, B的列向量组的秩 nr , 即R(B) nr, 此时有, R(A)+R(B) r + n r = n. 综上所述, 结论成立. 所以, 由习题21结论可知: R(A)+R(EA) n. 再由习题11结论得: R(A)+R(AE) = R(A)+R(EA) R(A+(EA) = R(E) = n. 因此, 有R(A)+R(AE)=n. 22. 设n阶矩A阵满足A2=A, E为n阶单位矩阵, 证明 证明: 由条件A2=A得, A(EA)=O, R(A)+R(AE)=n. (提示: 利用题11及题21的结论) 例: 设A*为n 阶方阵A的伴随矩阵