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L.Hospital法则 在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小 或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可 能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极 限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式 本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式 极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求 这两种基本未定式的极限，也可间接求出 等其它类型的未定式的极限 定义 例如, 定理 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 证定义辅助函数 则有 注 定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母 都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的 极限存在或为 定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的 极限 仍有类似的结论 如： 定理 关于型的极限，有下述定理 定理 结论仍成立 例1 解 例2 注 在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为 未定式，若不是未定式，不可使用法则。 例3 解 例4 解 例5证明 证分两种情况 则连续使用次法则，得 则连续使用次法则，得 本例说明： 但它们趋于+的速度有快有慢 由慢到快依次是： 对数函数、幂函数、 指数函数 这一点从图上即可看出 o x y 例6 解直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则 例7 分母1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效” 注分子分母中出现 不可使用L.Hospital法则 例8 解 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法尤其是等价无穷小的代 换结合使用，可以简化运算过程，效果会更 好，使用起来也更有效。 关键:通过适当的恒等变形将其它类型未定式化 为洛必达法则可解决的类型 . 仍可使用L.Hospital法则来求极限 步骤: 即将其中之一个因子下放至分母就可转化为 例9 注意：对数因子不下放，要放在分子上 步骤: 例10 解 步骤: 例11 解 例12 解 例13 解 例14 解 极限不存在 洛必达法则失效。 注意：洛必达法则的使用条件 几点说明 L.Hospital法则只是求未定式极限的一种有效方 法，是充分条件，当定理的条件满足时，所求的 极限存在或为，当定理的条件不满足时，主要是 指（3）不成立，即导数之比的极限不易求出，或 不存在但不，函数之比的极限未必不存在，此时 L.Hospital法则：“失效” 不宜使用L.Hospital法则 L.Hospital法则只能对这两种基本未定式 才可直接应用，其它类型的未定式必须先转化 L.Hospital法则与等价无穷小的代换结合使用 效果会更好 使用L.Hospital法则前宜先行约去可约因子，特别 是极限不为0的因子，宜将确定后的极限值提到极 限号外，以简化计算（这相当于提前使用了一次 乘积极限的运算法则） 可考虑进行恒
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