一轮复习之圆的方程.doc

圆一、 基础知识（一） 基本概念1. 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹(集合)叫做圆,定点叫做圆的圆心,定长叫做圆的半径.2. 曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数,即,且对于的每一个允许值,由方程组所确定的点都在曲线上曲线的参数方程是,或参数方程的曲线是.记作曲线.（二） 圆的方程1 标准方程 圆心为,半径为的圆方程为.2 一般方程(1) 令,则可化为. 当时,方程不表示任何曲线. 当时,方程的曲线是一个点. 当时,方程表示以为圆心,为半径的圆.此时,方程叫做圆的一般方程.(2) 关于的二元二次方程的曲线是圆3 参数方程(1) 令,由,可得,于是.(2) 以为圆心,为半径的圆的参数方程是.（三） 根据圆的方程研究圆的性质1 单个圆自身的性质(1) 范围: 由,得,.(2) 对称性 圆心是圆的中心. 过圆心的任意直线都是圆的对称轴.2 点与圆的位置关系(1) 判定 点在圆上. 点在圆内. 点在圆外.(2) 性质 若点在圆上,则过点与圆相切的直线方程是. 若点在圆上,则过点与圆相切的直线方程是. 若点在圆内,则(a)过和的弦最长;(b)垂直的弦最短. 若点在圆外,过作直线交圆于两点,作直线与分别与圆相切于点和,则(a); (b); (c)直线的方程为.3 直线与圆的位置关系(1) 判定 直线与圆相离. 直线与圆相切. 直线与圆相交.(2) 性质 若直线与圆相离,是上的点,是圆上的点,则. 若直线与圆相交于、两点,是的中点,则(a);(b);(c).4 圆与圆的位置关系(1) 判定 圆与圆相外离. 圆与圆相外切. 圆与圆相交. 圆与圆内切. 圆与圆内含.(2) 性质若圆与圆相交于、两点,则;直线的方程为;经过、两点的任意圆(除圆)的方程都可表示为. 共弦圆系（四） 基本方法(1) 将参数方程化为普通方程 求函数值域和函数的值域; 从中消去参数得普通方程.(2) 求圆的方程 待定系数法 定义法(3) 直线与圆相交 先设出交点的坐标、和的中点, 用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离, 用垂径定理()来解决有关的问题.特别地有弦长公式.二、 基本例题例1 (1)圆的圆心为,半径 .(2)圆的圆心为,半径 .(3)圆的圆心为,半径 .(4)曲线的普通方程为 .(5)曲线的普通方程为 .(6)曲线 的普通方程为 .(7)曲线的普通方程为 .(8)曲线的普通方程为 .(9)曲线的普通方程为 .(10)曲线 的普通方程为 .(11)曲线 的普通方程为 .(12)曲线 的普通方程为 .(13)曲线 的普通方程为 .(14)曲线 的普通方程为 .(15)曲线 的普通方程为 .例2 求圆的方程：（1） 截轴所得弦长为,被轴分成两段圆弧长的比为,且圆心到直线的距离最小的圆的方程为 .（2） 若过点和,且与轴相切的圆有且仅有一个,则 ,此时圆的方程为 .（3） 与轴相切,圆心在直线上,且被直线所截得的弦长为的圆的方程为 .（4） 过点,半径为,且在该圆内以为中点的弦长为的圆的方程为 .（5） 经过两圆和的交点,且圆心在直线 上的圆的方程为 .（6） 圆心为,且与圆 的公共弦所在的直线过点的圆的方程为 .（7） 与圆关于直线对称的圆的方程为 . （8） 圆心为,且与直线相切的圆的方程为 .（9） 过三点的圆的方程为 .（10） 经过两点和,且圆心在轴上的圆的方程为 .（11） 经过两点和,且圆心在直线 上的圆的方程为 .（12） 过点,且与直线 相切于点的圆的方程为 .（13） 圆心为,被直线所截得的弦长为的圆的方程为 .（14） 与轴相切于点,且在轴上截得的弦长为的圆的方程为 .（15） 过点,圆心在直线上,且与直线相切的圆的方程为 .（16） 过原点,且与直线及圆 都相切的圆的方程为 .（17） 与圆关于点对称的圆的方程为 .（18） 与圆关于直线对称的圆的方程为 .（19） 若三角形的顶点为,则其外接圆的方程为 ,内切圆的方程为 .（20） 若三角形三边所在直线方程为,则其外接圆的方程为 .例3 求轨迹方程（1） 已知直线与圆相离，点在直线上，过点作圆的切线，两切点分别为和，证明：不论点在直线上怎样移动，直线总过一定点。（2） 圆 的圆心的轨迹方程是 .（3） 与圆相外切且与轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 .（4） 若, 是圆上的两个动点, ,则中点的轨迹方程是 .（5） 过点作圆的切线,若 ,则点的轨迹方程为 .（6） 若直线与圆相交,则点在圆 .(外、上、内)。（7） 若点在圆内且不为圆心,则直线与圆相 .（8） 若实数满足,则 ; ; .（9） 过点作圆的切线(为切点)，则切线长 ,弦长 , ;切线、的方程为 ;弦所在直线的方程为 .（10） 若圆上恰有三点到直线 的距离等于,则 .（11） 若直线与曲线 有两个不同的交点,则 .（12） 若直线与曲线交于两点,的倾角分别为,则 .（13） 从点发出的光线经轴反射,若反射光线所在的直线与圆相切, 则光线所在的直线的方程为 .（14） 若斜率为的直线与圆交于两点,且以 为直径的圆过原点,则直线的方程为 .（15） 若直线与圆 交于两点,且,则 .（16） 若直线与圆 交于两点,且 ,则 .（17） 圆 的圆心的轨迹方程是 .（18） 圆 的圆心的轨迹方程是 .例4 (1)过点 与圆 相切的直线的方程为 .(2)过点 与圆 相切的直线的方程为 .(3)过点 与圆 相切的直线的方程为 .(4)过点 与圆 相切的直线的方程为 .(5)过点 作圆 的切线 ( 为切点),则 切线长 ,弦长 , ; 切线 、 的方程为 ; 弦 所在直线的方程为 .(6)过点 ,且被圆 截得的弦长为8的直线的方程为 .(7)过点 ,被圆 截得的弦最短的直线的方程为 .(8)过点 ,被圆 截得的弦最长的直线的方程为 .(9)圆 被点 平分的弦所在的直线方程为 .例5 (1)点 在圆 .(外、上、内)(2)若直线与圆相交,则点在圆 .(外、上、内)(3)直线与圆 相 .(4)直线 与圆相 .(5)若点 在圆 内且不过圆心,则直线 与圆 相 .(6)圆 与圆相 .(7)若 ,则在圆 与圆 相 .(8)若方程 的曲线是圆,则 .(9)若点 在圆 内,则 .(10)若过点 总可以向圆作两条切线,则 .(11)若直线 与圆 相切,则 .(12)若圆 上仅有一点到直线 的距离等于 ,则 .(13)若圆 上仅有两点到直线的距离等于 ,则 .(14)若圆 上恰有三点到直线 的距离等于 ,则 .(15)若圆 上恰有四点到直线的距离等于 ,则 .(16)若圆 与两坐标轴都相切,则 .(17)若圆 过原点,且与 轴相切,则 .(18)若圆 与 轴相切于原点,则 .(19)若过圆 外一点 作圆的两条切线互相垂直,则 .(20)两圆的交点为 和 ,且圆心都在直线 上,则 .(21)若圆 关于直线 对称的圆与直线 相切, 则 .(22)一束光线从点 经 轴反射到圆 上的最短路程等于 .(23)若直线与曲线交于两点,的倾角分别为,则 .(24)若圆的方程为 ,则坐标平面上被这些圆上的点所覆盖的平面部分的面积为 .例6 (1)过直线 上一点作圆 的切线,则切线长的最小值为 .(2)圆 上的点到直线 的距离的最小值为 ,最大值为 .(3)当 时,圆 的面积取得最大值 .(4)若实数 满足 ,则 ; ; .(4)若实数满足,则 ; ; .(5)若 , 为圆 上的点,则 .(6)若 的边长分别为 ,点 是它内切圆上的一点,则 .(7