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例说等腰三角形的“三线合一” 济宁市梁山县小路口镇初级中学 李 丽 （适用于人教版初二版 10月刊）“三线合一”性质是等腰三角形所特有的重要性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容：如图1，ABC中，ABAC，D是BC上的一点. 图1（1）若AD是等腰ABC底边BC上的中线，那么AD是顶角BAC的平分线，AD是底边BC上的高线；（2）若AD是等腰ABC顶角BAC的平分线，那么AD是底边BC上的中线，AD是底边BC上的高线；（3）若AD是等腰ABC底边BC上的高线，那么AD是顶角BAC的平分线，AD是底边BC上的中线.由此可以看出，“三线合一”性质给我们提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们。下面仅举几例和同学们共同见识一下“三线合一”的神通.一、证明角相等或倍数关系例1、已知：如图2，在中，于D求证：【分析】作出等腰的顶角平分线将顶角分为相等的两部分，根据“三线合一”的性质证得等于其中任一部分即可【证明】作的平分线AE，则有，（三线合一）又， 【点拨】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一”性质，巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形，将已知条件与待证结论有机地联系在一起，从而容易获得问题的解决2、 证明线段相等例2、如图3，在ABC中，ABAC，BDCD，DEAB于E，DFAC于F，求证：DEDF. 图3【分析】：依题意，DE和DF分别为点D到BAC两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D在BAC的平分线上，这只要证明AD是BAC的平分线.【证明】：连接AD.ABAC，BDCD，AD是等腰ABC底边BC上的中线.AD平分BAC. DEAB于E，DFAC于F，DEDF.【点拨】能利用“三线合一”证明线段相等的问题，也可以用全等三角形来解决，但利用“三线合一”证明要比用全等三角形证明简便得多因此，我们在解决这类问题时，要纠正总是依据三角形全等的思维定势，应该优先选用“三线合一”来解决3、 证明线段垂直 例3、如图4，在ABC中，ABAC，D在BA的延长线上，E在AC上，且ADAE，求证：DEBC. 图4【分析】：注意到ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么底边上的高与BC垂直.要证明DEBC，应先证明DE与这条高平行.【证明】：过A作AFBC于F.ABAC，AFBC于F，AF是等腰三角形ABC底边BC上的高线.AF平分BAC.BAC2BAF.ADAE，DAED.BACDAED2D.BAFD，DEAF.DEBC.【点拨】当题设中同时具备下列两个条件时，就可以利用“三线合一”来证明两
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