向量及其线性运算.ppt

1/28 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 六、小结 思考题 2/28 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量： 既有大小又有方向的量。 如位移、速度、加速度、力等。 向量表示： 模长为1的向量. 模长为0 的向量. | |向量的模：向量的大小. 或 或 或 1、概念 单位向量： 零向量 自由向量：不考虑起点位置的向量. 相等向量：大小相等且方向相同的向量. 负向量： 大小相等但方向相反的向量. 向径：空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量 . 一、向量的概念 3/28 3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、两非零向量的关系 相等：大小相等且方向相同的向量. 平行或共线：方向相同或相反的两个非零向量. 垂直：方向成90夹角的两个非零向量. 注意：由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为 零向量与任何向量都平行或垂直。 共面： 把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和 公共起点在同一平面上，则称这些向量共面. 4/28 4 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、向量的加减法 加法： （平行四边形法则） 特殊地：若 分为同向和反向 （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 二、向量的线性运算 5/28 5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量的加法符合下列运算规律： 交换律： 结合律： 加负律： 减法 6/28 6 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、向量与数的乘法 定义： 数与向量的乘积符合下列运算规律： 结合律： 分配律： 线性运算： 向量的加法及数乘统称为向量的线性运算。 7/28 7 机动 目录 上页 下页 返回 结束 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原 向量同方向的单位向量. 单位向量的表示 注意：与三个坐标轴同向的单位向量的记法. 8/28 8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个向量的平行关系 证 充分性显然；下面证明必要性 两式相减，得 9/28 9 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：此定理是建立数轴的理论依据. 10/28 10 机动 目录 上页 下页 返回 结束 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 Oxyz坐标系 或O;i,j,k坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. 1、坐标系的构成 坐标轴：横轴、纵轴、竖轴 坐标面：xOy面、 yOz面、zOx面 卦限：、 三、空间直角坐标系 11/28 11 机动 目录 上页 下页 返回 结束 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 12/28 12 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间的点M有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点 2、点、向量与坐标 向径 13/28 13 机动 目录 上页 下页 返回 结束 加法 1、向量的加减法与数乘 减法 数乘 2、平行向量的坐标表示式 四、利用坐标作向量的线性运算 14/28 14 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量的模: 1、向量的模与两点间的距离公式: 按勾股定理可得 两点间的距离公式: 五、向量的模、方向角、投影 15/28 15 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、方向角与方向余弦 空间两向量的夹角的概念: 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值. 16/28 16 机动 目录 上页 下页 返回 结束 非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角.方向角 显然有 方向余弦 由图分析可知 方向余弦通常用来表示向量的方向. 向量的方向余弦 方向余弦的特征 特殊地：单位向量的方向余弦为 17/28 17 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 已知A(3,3,1) 和B (1,5,1) , 计算 解 解 18/28 18 机动 目录 上页 下页 返回 结束 19/28 19 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、向量在轴上的投影 x轴与向量 的关系 向量在u轴上投影 20/28 20 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量在三坐标轴上的投影 向量投影的性质 21/28 21 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 22/28 22 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、向量概念 1、概念 2、两非零向量的关系 二、向量的线性运算 1、向量的加减法 2、向量与数的乘法 三、空间直角坐标系 1、坐标系的构成 2、点、向量与坐标 四、利用坐标作向量的线 性运算 1、向量的加减法与数乘 2、平行向量的坐标表示式 五、向量的模,方向角,投影 1、向量的模与两点间的距离 公式 2、方向角与方向余弦 3、向量在轴上的投影 六、小结思考题 在空间直角坐标系中，指 出下列各点在哪个卦限？ 1、向量的加减法与数乘 2、方向角与方向余弦 第一节向量及其线性运算 23/28 23 机动 目录 上页 下页 返回 结束 A:; B:; C:; D:; 思考题解答 24/28 24 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写几何学以前，就有许多学者研究过用 两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两 个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。 在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几 何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。 费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面 都有重要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中 知道，他早在笛卡尔发表几何学以前，就已写了关于解析几何的小文，就已经有了解 析几何的思想。只是直到1679年，费尔马死后，他的思想和著述才从给友人的通信中公开 发表。 笛卡尔的几何学，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是引入 了新的思想，为开辟数学新园地做出了贡献。 二、解析几何的基本内容 在解析几何中，首先是建立坐标系。如上图，取定两条相互垂直的、具有一定方向和 度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。利用坐标系可以把平面内的点和一 对实数(x,y)建立起一一对应的关系。除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间 直角坐标系等等。在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。 坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间 形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几何学，通 常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的 研究也是十分重要的。 25/28 25 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入 了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩 格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有 了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，” 三、解析几何的应用 解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。 在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外， 主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。 在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外， 主要研究柱面、锥面、旋转曲面。 椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机的 聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光 灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。 总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨 迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。 运用坐标法解决