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第三节 向量的乘法运算 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, 1. 定义 设向量的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 记作 故 2. 性质 为两个非零向量, 则有 3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 事实上, 当时, 显然成立 ; 4. 数量积的坐标表示 设则 当为非零向量时, 由于 两向量的夹角公式 , 得 因 得两点间的距离公式: 对两点与 例1. 求证以 证: 即为等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形 . 为顶点 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. 方向余弦的性质: 例2. 已知两点和 的模 、方向余弦和方向角 . 解: 计算向量 方向角 解: 则 例3. 已知三点 ABC . 求 故 二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 符合右手规则 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力 1. 定义 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , 称 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积 S 2. 性质 为非零向量, 则 3. 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律 (证明略) 证明: 4. 向量积的坐标表示式 设则 向量积的行列式计算法 由此进一步得到: 解: 因为 例4. 求与 单位向量。 都垂直的 所以 例5. 已知三点 角形 ABC 的面积 解: 如图所示, 求三 解: （1）由a，b平行的充要条件，得 例6. 设向量 为何值时，（1）a与b平行；（2）a与b垂直。 ,问数 即 （2）由a，b垂直的充要条件，得 即 可取任意值。 *三、向量的混合积 1. 定义 已知三向量称数量 混合积 . 记作 几何意义 为棱作平行六面体, 底面积 高 故平行六面体体积为 则其 2. 混合积的坐标表示 设 3. 性质 (1) 三个非零向量共面的充要条件是 (2) 轮换对称性 : (可用三阶行列式推出) 例7. 已知一四面体的顶点 4 ) , 求该四面体体积 . 解: 已知四面体的体积等于以向量 为棱的平行六面
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