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第二节 数量积与向量积 实例 一、两向量的数量积 启示两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义向量 与的数量积为一个数： 数量积也称为“点积”、“内积”. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积. 由数量积的定义可推出： 证 证 数量积符合下列运算规律： （1）交换律 ： （2）分配律 ： （3）结合律 若 为数： 若 、 为数： 设 数量积的坐标表达式 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 解 例1 已知 求（1）（2）与 的夹角； 在 上的投影. （3） 证 与向量例2 证明向量 垂直. 实例 二、两向量的向量积 的支点，有一力为一根杠杆设 点处力作用于这杠杆上与 的夹角为 力对支点的力矩是一向量，它的模 的方向垂直于与 所决定的平面, 指向符合右手系. 定义 向量积也称为“叉积”、“外积”. 的方向既垂直于，又垂直于 指向符合右手系. 几何意义： 方向： 记为 证 由向量积的定义可推出： / 向量积符合下列运算规律： （1） （2）分配律 ： （3）结合律 若 为数： 不符合交换律 设 向量积的坐标表达式 向量积还可用三阶行列式表示 由上式可推出 例如， 两向量平行的充要条件： 不能同时为零，但允许两个为零， 解 解 三角形ABC的面积为 解 定义 设 混合积的坐标表达式 *三、向量的混合积 （1）向量混合积的几何意义： 关于混合积的说明： 小 结 设一、向量运算 1.加减: 2.数乘: 3.点积: 4.叉积: 3.与同时垂直的向量可取作 二、 向量关系: 1.二向量平行 2.二向量垂直 思考题 思考题解
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