实验十二矩阵的秩和向量组的最大线性无关组.ppt

1 实验十二学习目标 l矩阵秩的求法 l把矩阵化为初等行矩阵 l向量组的秩和最大线性无关组 l求齐次线性方程组AX=0的基础解系 l求非齐次线性方程组AX=b的一个特解 2 12.1 矩阵的秩 矩阵的秩的命令: rank(A) 例1 已知M= 求M矩阵的秩. M=3 2 -1 -3 -2;2 -1 3 1 -3;7 0 5 -1 -8; rank(M) ans= 2 例已知矩阵M 的秩为，求 常数t的值 syms t M=3 2 -1 -3;2 -1 3 1;7 0 t -1; det(M(1:3,1:3)；% 提出矩阵M中的前三行前三列 输出结果 -7*t+35，令-7*t+35=0所以t=5 注意：因为远矩阵的秩为所以所有高于阶的子 式全为，所以这里取的三阶子式为可解出 12. 矩阵的初等行变换 矩阵的初等行变换命令为: rref(A) 例已知A= ，证明A可逆，并用初等行变换 求A的逆 A=1 2 3;2 2 1;3 4 3; E=eye(3); AE=A,E M=rref(AE) invA=M(:,4, 5, 6) 1. 向量组的秩和最大线性无关组 例4 、求向量组a = (1 2 -1 1),b = (0 -4 5 -2),c=(2 0 3 0)的秩并判断是否线性相关？ A= 1 2 -1 1; 0 -4 5 -2;2 0 3 0; rref(A) ans = 1.0000 0 1.5000 0 0 1.0000 -1.2500 0.5000 0 0 0 0 所以得到秩为（非零的行数） 线性相关 注意：向量组的秩小于向量组中向量的个数所以线 性相关；若向量组的秩等于向量组中向量的个数 则线性无关 例求向量组a= (1 -1 2 4),b = (0 3 1 2),c=(3 0 7 14),d=( 1 -1 2 0) e=(2 1 5 0) 的最大线性无关组. A= (1 -1 2 4;0 3 1 2;3 0 7 14;1 -1 2 0;2 1 5 0; B=transpose(A); reff(B) ans = 1.0000 0 3.0000 0 -0.5000 0 1.0000 1.0000 0 1.0000 0 0 0 1.0000 2.5000 0 0 0 0 0 则可以从列中看出a ,b d为最大线性无关组 注意：若要判断两个矩阵是否等价，只需要把两个矩阵 利用初等行变换命令reff都化为最简标准型，若最后 的标准型相同则等价，否则不等价(P114例9) 7 1.4求齐次线性方程组AX=0的基础解系 求齐次线性方程组AX=0的基础解系命令为: null(A) 例6,求解线性方程组 clear A=1 1 -2 -1; 3 -2 -2 2; 0 5 7 3 ;2 -3 -5 -1; D=det(A); X=null(A) 注意：若系数矩阵的秩小于未知数个数，则基础解系存在且 有无穷多解：若系数矩阵的秩等于未知数个数，则基础解 系不存在只有零解 8 输出结果 D = 0 X = 0.4714 -0.2357 0.4714 -0.7071 注意；此时X为基础解 系，并且基础解系中只 有一个解向量 而且X不但为基础解系 ，并且为标准正交基（ 即正交化，标准化） 程序二 clear A=1 1 -2 -1; 3 -2 -1 2; 0 5 7 3 ;2 -3 -5 -1; D=det(A); A=sym(A); X=null(A) 输出结果 X = 1 -1/2 1 -3/2 注意；此时X为基础解系，但不为 标准正交基 12. 5 非齐次线性方程组的特解 非齐次线性方程组中若系数矩阵r(A)和增 广矩阵r(A,b)的秩相等，方程组有解，并 且若r(A)= r(A,b)n则非齐次线性方程组 无穷多解r(A)= r(A,b)n则非齐次线性 方程组有唯一的解；齐次线性方程组中若 系数矩阵r(A)和增广矩阵r(A,b)的秩不相 等，方程组有无解 （n为未知数的个数） 10 例求解线性方程组 clear A=1 1 -2 -1;3 -2 -1 2;0 5 7 3;2 -3 -5 -1; D=det(A) b=transpose(4,2,-2,4); rank(A)； rank(A,b) 输出结果 ans = 3 ans = 3 说明系数矩阵和增广矩阵的秩相等都为，所以方程组有 解继续编程求解 format rat % format是格式化命令，表示以有理格式输出 rref(A,b) 输出结果 1 0 0 2/3 1 0 1 0 -1/3 1 0 0 1 2/3 -1 0 0 0 0 0 说明原非齐次线性方程组化为 说明 为自由未知量， 所以令 这样解锝原非齐次线性方程组的一个特解为 注意：在Matlab7.0以上的版本中，可以用 linsolve(A,b)求非齐次线性方程组的一个特解 小结，作业 本节掌握的知识点 1