矩阵可对角化的判定条件及应用毕业论.doc

毕 业 论 文题 目：矩阵可对角化的判定条件及应用 学 院： 数学与统计 专 业： 数学与应用数学 毕业年限： 2015年 学生姓名： 张新渝 学 号： 201171010365 指导教师： 高承华 矩阵可对角化的判定条件及应用张新渝(西北师范大学 数学与统计学院 甘肃兰州 730070)摘要：本文阐述了对角矩阵的性质及其应用。给出了矩阵可对角化的一些方法，并进一步介绍了可对角化矩阵在其他方面的一些应用。关键字：对角矩阵；矩阵对角化；特征值；特征向量 Diagonalization of the matrixs determinate conditions and applicationsZHANG Xin-yu(Department of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou, Gansu 730070)Abstract:This paper concern with the properties and applications of diagonal matrix. Some methods of the matrix diagonalization are given. Furthermore,it introduces the other applications to the method of matrix diagonalization.Key words:Diagonal matrix; Matrix diagonalization; Eigenvalue; Eigenvector1.引言 可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵，对角化是找到可对角化矩阵的相应对角矩阵的过程.可对角化矩阵在线性代数中有重要价值，因为对角矩阵特别容易处理: 它们的特征值和特征向量是已知的.所以研究矩阵的可对角化对可对角化矩阵的计算有重要意义.2.预备知识对角矩阵：对角矩阵是一个除主对角线之外的元素皆为0的矩阵,对角线上的元素可以为0或其他值.因此行列的矩阵若符合以下性质： 则矩阵为对角矩阵.定义1 设是阶方阵,如果存在数和维非零向量,使得则称是矩阵的一个特征值, 是的属于的一个特征向量.定义2 阶方阵称为可逆的,如果存在阶方阵,使得,其中是阶单位矩阵.定义3 设,是阶方阵,若存在阶可逆矩阵,使得,则称与相似,称为的相似矩阵. 定义4 设是数域上的阶方阵.称在数域上可对角化，如果在数域上和一个对角矩阵相似，即存在数域上的可逆矩阵,使得 因为相似矩阵有相同的特征根，所以都是在数域中的特征根.3.方阵可对角化的条件若方阵能与一个对角矩阵相似，我们就说可对角化.3.1充分必要条件定理3.1.1 阶方阵可进行对角化的充要条件是存在个线性无关的特征向量.证明：必要性 设与对角矩阵=diag()相似，即存在阶可逆矩阵，使得 (*)令矩阵的个列向量为，即=()由(*)式得： =即 故有 因为矩阵可逆，所以，且向量组线性无关，由定义知是矩阵的特征值，矩阵的列向量是矩阵分别属于特征值的个线性无关的特征向量. 充分性 设是矩阵的特征值，是分别属于的特征向量，并且线性无关，即 作矩阵=()，有 =() = = =diag()由于线性无关，因此矩阵可逆，于是 即可对角化.推论3.1 级矩阵的属于不同特征值的特征向量都是线性无关的.定理3.1.2 阶方阵可进行对角化的充要条件是的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于.证明： 设是的所有不同的特征根， 是齐次线性方程组的一个基础解系，则的特征向量一定线性无关. 如果，则有个线性无关的特征向量，从而可以对角化.若可以对角化，则属于的不同特征根的线性无关的特征向量总数一定是n. 若不然，则由定理3.1.1可设的个线性无关的特征向量为，设是属于特征根的特征向量，则可由线性表出，从而可由向量组线性表出，于是，与线性无关矛盾.推论3.2 数域上级矩阵如果有个不同的特征值，那么可对角化.证明：对于任意特征根，有的代数重数=1.所以的代数重数等于几何重数，因此在数域上可以对角化.定理3.1.3 数域上阶方阵可进行对角化的充要条件是的特征多项式的全部复根都属于，并且的每个特征值的几何重数等于它的代数重数.证明：必要性 设可对角化，则diag(),其中是的全部不同的特征值，是的属于特征值的特征子空间的维数.因为相似的矩阵有相同的特征多项式，所以|=这表明的特征多项式的全部根都属于，并且每一个特征值的代数重数等于它的几何重数. 充分性 设的特征多项式|在复数域中全部不同的根都属于，并且每个特征值的几何重数等于它的代数重数，则|=从而.根据定理3.1.2得可对角化.定理3.1.4 设是数域的阶可逆矩阵，则可进行对角化的充要条件是可对角化.证明：必要性 因为可对角化，所以存在可逆矩阵，使得=是对角阵，主对角上的元素都是的特征根，因可逆，从而有即 这就说明了可以对角化，而的主对角线上的元素都是的特征根. 充分性：同上.定理3.1.5 是阶复方阵，则可进行对角化的充要条件是对每个特征根，均有.证明：必要性 因可对角化，故的最小多项式无重根，的任意特征根只能是的单根，于是与的最大公因式等于，由最大公因式的性质知，有，使因，故，但，故定理3.1.5成立. 充分性：用反证法，设的某个特征根是最小多项式的重根，可设因多项式次数低于次数，故但 又，必存在非零向量，使不同解，故与定理3.1.5矛盾，故无重根，从而与对角矩阵相似.3.2最小多项式法通常情况下，对一个阶矩阵能否对角化一般是考虑它是否有个线性无关的特征向量，往往比较复杂。这里利用最小多项式给出一个矩阵可对角化的一个条件，希望达到更简洁、实用的目的.首先，给出一条已知结论：阶矩阵是其特征多项式的根，即有：.由此对任何矩阵至少存在一个非零的多项式使得，我们把具有这种性质的多项式，叫的零化多项式. 显然，的零化多项式不止一个，如的任一倍式，都是的零化多项式.现定义，在阶矩阵的零化多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式，叫做的最小多项式，记为.下面给出零化多项式与最小多项式的关系：(1) 是阶矩阵的零化多项式，是的最小多项式，则，特别的；(2) 设是一个阶矩阵，是中所有元素的最大公因式，则有；(3) 阶矩阵可对角化的最小多项式无重根.4.判断K上的n阶方阵A是否可对角化的步骤第一步：先求出的全部特征根；第二步：如果的特征根都属于数域，那么对每一个特征根，求出齐次线性方程组的一个基础解系；第三步：对于每一个特征根来说，相应的齐次线性方程组在上的基础解系所含解向量的个数等于它的重数，那么可以对角化.以这些解向量为列做一个阶矩阵,则是可逆矩阵，且即为对角形矩阵.该对角形矩阵主对角线上的元素作为的全部特征根与矩阵的列向量作为的特征向量是相对应的. 如果的某个特征根不在中，或的全体特征根都在中，但有一个特征根的代数重数不等于几何重数，那么在数域上不能对角化.对于阶数较低的矩阵是否可以对角化，我们给出下面这种判别方法：定理4.1 设是在数域上的全部互不相同的特征值.作多项式则在上可以对角化的充分必要条件是，即(1)若，则可以对角化；(2)若，则不可以对角化.5.可对角化矩阵的应用5.1利用特征值求行列式的解对于具体给出的行列式，常利用行列式的性质对行列式进行恒等变形，以期新的行列式中出现较多的零元素，从而化为三角行列式直接写出其值或按行(列)展开降低行列式的阶数.若抽象矩阵可对角化，求其行列式有简单方法.例5.1.1 设是阶方阵2,4,.,2是的个特征值，是阶单位矩阵，计算行列式的值.解：已知n阶方阵有个互异的特征值，故存在可逆矩阵使得 =diag(2,4,.,2).于是 =|=|(-3)|=|-3| =|-3|=|diag(-1,1,.,2-3)|=-1135.(2-3).例5.1.2 已知3阶矩阵的特征值为1，-1,2，设矩阵=，试求：|及|-5|.解：已知3阶矩阵有3个特征值1,-1,2,故存在可逆矩阵使得=diag(1,-1,2).于是|=|=|=|=|diag(-4,-6,-12)|=-228,|-5|=|-5|=|=|diag(-4,-6,-3)|=72.5.2求方阵的高次幂求方阵的高次幂(为正整数)，一般来说，对其直接求解是比较困难的，但是，如果矩阵可对角化，计算是有简单方法的.实际上，若=，其中=diag().即有,则=()().()=,而=diag().故=.例5.2.1 设=，求.解：由 |-|=-(+2)=0，得的特征值对于特征值，解方程组(-)=0，由 =，即 (均为任意常数)则对应的特征向量为对于特征值，解方程组(+2)=0，即 则对应的特征向量为.令,，则 =.5.3利用特征值和特征向量反求矩阵已知阶矩阵的特征值和特征向量反求矩阵，若可对角化，则有简单的方法.事实上，当阶矩阵可对角化时，存在由的个线性无关的特征向量组成的可逆矩阵，使得,其中是的所有特征值组成的对角矩阵，则 =即为所求.5.3.1 已知3阶方阵的3个特征值为1,1,2,对应的特征向量为试求矩阵.解：取 =,由|P|=-10知矩阵有3个线性无关的特征向量，所以，则 = =5.4判断矩阵是否相似已知级矩阵和，存在可逆矩阵使得，则与相似.例5.4.1 设n级方阵的个特征值互异，又设级方阵与有相同的特征值，证明：.证明：因级方阵的个特征值互异，设为，于是存在可逆矩阵使得又也是的特征值，从而有可逆矩阵使得因此，即，令，则可逆且，故.5.5在向量空间中的应用例5.5.1 设是维列向量空间，是阶复矩阵，是任意复数，令，则若相似于对角矩阵，有.证明：对任意，有和，所以. 又因为相似于对角矩阵，与的解空间相同，所以，所以.5.6在微分方程中的应用 设=，称为向量的导数，记为 .由导数的运算法则可知其中为阶方阵.参考文献：1丘维声. 高等代数大学高等代数课程创新教材M，北京：清华大学出版社，2009.2全国化工石化系统高校数学协作组. 线性代数M，北京：化学工业出版社，2000.3郑昌明，程伟，魏家林. 实用线性代数M，北京：中国人民大学出版社，2004.4刘仲奎，杨永保，程辉，陈祥恩. 高等代数M，北京