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第十七章 各类积分的联系回顾:一元函数积分学:17-1 格林公式及曲线积分与路径无关的条件一、格林公式 概念:单连通区域, 复连通区域; 正向; 格林定理:设闭区域,是由有限多条分段光滑的闭曲线所围成. 函数在D上具连续的一阶偏导,则有 (格林公式) 其中是取正向记: 图示 光设D(既是X型又是Y型)即穿过区域D内部且平行于坐标轴的直线与D的边办曲的交点恰两点.设D:, 因此 设D: 类似可证 即得格林公式例1:计算曲线积分 :(1) 逆时针 (2) 上半部分,轴,逆解: 由Green公式 (1)计算曲线积分 (2)例2:计算椭圆所围面积A.解: :常数方程 例3:计算,其中是 (1)使所含区域D不含原点的分段光滑封闭曲线,沿正向(2) 含原点但不径原点解: (1) 满足Green Th 连续条件 (2) 不满足Green Th 连续条件 选取适当小的,作圆周:(使全部含于所围区域) 记围成D, 于是在内, 格林公式成立 故 法一:右式 法二:右式二、平面上单边通区域内曲线积分与路径无关的等价条件概念:曲线积分与路径无关: 图示 (且公与有关)定理:和平面单连通域D上具连续一阶偏导,则如下四条件等价. (1) (2) 分段光滑闭曲线 (3)积分在D内与路径无关,公与A,B位置有关 (4)存在单值函数, 使它全微分 即 证明:同证, 下证, , 存在函数 使 则 于是 由条件 (连续) 故 曲线积分 仅与 ,有关, 记 (说明右式是函数) 下证 同理, 故 推出公式: 图示 AC: CB: 曲线积分计算公式原函数计算公式 特 可证 -曲线积分的N-2公式例4:计算 三路径.解: 图示 例5:计算.是的上半圆周.从到解:.I值与路径无关 , 则 例6:.:例5.解一:不能用与路径无关的相关公式. 非闭 :才能用Green公式. 原始方法(第二类曲线积分) 图示 几乎不可能解二:(设法满足二之一: 闭),设:(从A到O直线段),则构成闭曲线,顺进针.所围闭域D:, 由Green公式 (即)而 故.解三:(设法满足二之另一,) 设 则 与路径无关.例7:(得用曲线积分求)的原函数. 并求.(其中是从A(1,0)
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