《积分的发展》word版.doc

积分发展的一页沧桑蔡志强 一、问题的起源 二、函数观念的改变以及 dAlembert、Euler 与 Bernoulli 家族间的论战 Fourier 谱写的数学的诗篇 四、Cauchy 分析的严密化 五、Riemann 的就职论文 一段小结 如果 Newton 和 Leibniz 想到过连续函数不一定有导数而这却是一般情形那么微分学就不会被创造出来。Henri Poincar 一、问题的起源如果我看得更远些，那是因为我站在巨人们的肩膀上。Isaac Newton 自从 Newton 与 Leibniz 发明微积分后，就为人类开启了一条通往科学数学化 (mathematization of science) 的大道。但是，由于微积分的基础太薄弱了，因此，引来许多数学界及非数学界的人的非难。在本文中，我们想要回溯一些积分的发展过程，倒不是从伟大的阿基米得开始，而是想着重于 Lebesgue 积分理论的发展，因为它的发展史其实就是数学分析严密化的最好例证。从这里，我们将可以看到许多的数学家如何从一些我们（至少对我而言）经常学习实分析过程中所遭遇的困难出发，然后得到完整的理论。不过，如果要对这段发展有贡献的数学家列出一张表来，恐怕十张 A4 纸都不够，同时，这项事实反映出每一种完整的理论都是许多人一点一滴累积起来的，并非一个人就可以完成的。由于积分理论的发展历程是如此之大与复杂：因此，本文必须有所限定，我们打算就三部份来论述，第一部份主要是从十七世纪至十九世纪函数、连续函数、以及定积分等概念的转变谈起；第二部份是叙述集合论与容积 (content) 观念的发展；最后一部份则是谈论 Borel 测度与 Lebesgue 积分的形成。首先，我们将从十八世纪末的一场关于波动方程的论战开始。积分发展的一页沧桑 （第 2 页） 蔡志强 二、函数观念的改变以及 dAlembert、Euler 与 Bernoulli 家族间的论战 1. 十七、八世纪函数的观念我想每个人都会认同：函数与点集是积分最重要的两个角色，所以，从函数观念的发展来谈积分发展是相当恰当的，而函数观念的历史发展，就恰如我们从中学、大学一直到研究所所经历的函数观念改变一样。如果要说谁最早引进函数的概念，那似乎是很困难的问题;但是，可以确定的是，函数一词最早是由微积分的发明者之一 Gottfried Wilhelm Leibniz（16461716）于1673年引进，用以表示任何与曲线有关的几何量（比如：曲线上的点坐标、斜率、曲率半径等等）。但是，这个定义仅表示一些几何量间的关系：却没有给出函数的解析意义。 Bernoulli 家族的 Johann Bernoulli（16671748）首先从解析的角度定义函数，他于1718年将函数定义为变量 x 与常数所构成的任何表示式、并将它记做 x 或 ，稍后，他又用 表示 x 的函数。 第一位真正将函数放在分析学中心地位的数学家：应该是 Euler（Leonard Euler, 17071783）。Euler于1748年所出版的无穷小分析引论(Introduction in Analysin infinitorm) 中的第一章就谈论函数，他将函数定义为变量的函数是变量，常量和数用某种方式联合在一起的解析表达式。只含一个变量 z，余者为常量，这样的解析表达式叫做 z 的函数，函数分为代数函数和超越函数，前者只含一般代数运算，后者含有超越运算。在这本大作中，Euler 也讨论了隐函数与显函数的差别。 总结的说来，函数在那时期的长相，就只是对变量作加、减、乘、除、开方等代数运算，以及指数、对数以及三角函数等等超越运算所得到的表达式，（比如说：x3+2x2-7x , ）。当然这些函数在我们看来是相当好的函数（至少是可微，甚至解析）。而且都是我们中学时所经常接触到的。值得注意的是这些函数在其定义域上，都有着相同的解析表示式，而这正是十八世纪的数学家对函数所持的看法。 2. dAlembert 的弦在一个荒凉的岛上，诗人少有能不空虚，而数学家则仍然能以其发现而自豪。Jean le Rond dAlembert 函数概念因为 Euler、dAlembert（Jean le Rond dAlembert, 17171783）以及 Daniel Bernoulli（17001782）一场历经1760年代至1770年代、关于弦振动问题的论战，而有了进一步的发展。 论战的发起人是 dAlembert。他的身世很可怜，刚出生时，就被遗弃在 Sanit Jean-le-Rond 教堂附近，恰巧被一位士兵发现，因此，就以教堂的名字为名。在dAlembert 之前：虽然已经有人探讨了弦振动（拉紧的弦）的问题，但是，只有 dAlembert 在1747年所发表的论文张紧的弦振动时形成的曲线的研究(Recherches sur la courbe que forme unecorde tendue mise en vibration.Histoire de lAcademie Royale, Berlin, 3. 1747. pp. 214-219)，明确地将偏导数的概念引进，以作为弦振动的数学描述，因此，dAlembert 也被称做偏微分方程的先驱。 dAlembert 主要探讨的弦振动问题如下：设有一条长为 l 的弦悬挂并固定于 之间，并设 y(x,t) 为弦于时刻 t 时，在 x 位置虚的横向位移，于是，可假设 y(t,0)=y(t,l)=0；若进一步假定在时刻 t=0 时，弦的形状为 y=f(x)，而其初始速度为 0（相当于开始时将弦拉紧，不使其有位移，然后再放松），则其所满足的偏微分方程式为 (1)其中 a 为一比例常数，dAlembert 证明了以(1)的解为 (2)其中 为满足以下条件的任一函数 (3)然而，在 dAlembert 心中所谓任一函数就现代意义而言，并非真的是任意的，而是有(3)式以外的附加条件！事实上，dAIembert 要求初始函数 f(x) 至少要二次可微。因此， 至少也二次可微。然而问题不仅于此，dAlembert 主张：为了正当地运用微积分运算，每一个函数必须处处由同一个代数的或超越的方程来表示，也就是函数应服从形式化的连续性法则。dAlembert 这种函数的观点正是十八世纪的数学家所普遍持有的观点，而这种观点正是 Leibniz 以来对函数的观念：函数必须是在整个定义的区间上能用同一个解析式表示的，否则所处理的问题是无解的！因此，dAlembert 的函数其实已经是比我们现代的可微函数还要好的函数，于是， 不仅在 与 f(x) 相等，而且应该是在整个实数在线相等，亦即 (4) 3. Euler 的改变把别的数学家置于Euler之上都是一种侮辱。Jean le Rond dAlembert Euler于读完 dAlembert 的论文之后，也于1748年发表他关于弦振动问题的探讨的论文On the Vibration of Strings，文中的探讨方法大致与 dAlembert 相同，但是，Euler 的结论不同于 dAlembert。Euler 认为 dAlembert 对于函数的要求在物理上是不实际的，弦可以拉动：使得其起始形状在不同的区间上可以由不同的解析表示式所描述。也就是说，Euler 认为他的初始函数 f(x) 在不同的区间上可以有着不同的解析表示式，而 Euler 称此种函数为不连续函数（就现代意义而言是连续函数，但在相接的地方为不可微的）。Euler 这种函数的认知与他在无穷小分析引论中所提的函数的观念完全不同，因此，他在1755年给函数下了一个新的定义：如果某些量这样依赖于另一些量，当后者变化时，它也随着变化，那么称前者是后者的函数。此一新的函数定义，似乎很接近现代的函数观念，但是，Euler 的函数观念，就现代意义而言，还是停留在导数有间断点的函数上。无论如何，Euler 对于他的新发现，还是觉得很高兴，他甚至于1763年12月20日写信给 dAlembert 说道：考虑这类不服从连续性法则的函数：为我们开辟了一个全新的分析领域。 D. Bernoulli 的物理观点用一条单独的曲线，像表示棉花惯格而画的曲线那样，来描述在最复杂的音乐演出时效果。在我看来是数学能力的极好证明。 Lord Kelvin 介入这场论战的另外一位重要人物是 Bernoulli 家族中最有 才气的 Daniel Bernoulli（17001782）。Daniel 是 Johann Bernoulli（18671748）的第二个儿子，Johann 虽 然是在数学上很出名，而且是一个出色的数学教师，曾教育 出像 Euler 这样伟大的数学家。但是，他却要 Daniel 去 从 商，或许是遗传的关系，Daniel 并没有如 Johann 所愿，而是继续从事学术研究，并在他的有生之年获得了十 次巴黎科学院的大奖（一个人若是得过一次，就算是非常优秀 了），讽刺的是，他还在1734年，与他的父亲以行星轨道 与太阳赤道不同交角的原因论文一同获得巴黎科学院的大 奖，当然，他也以其丰硕的功绩获得其它荣誉以及外国院士 的名声。Daniel 于1721年获得了医学博士；1725年，与他的大哥 Nikolaus Bernoulli（16951726）受邀到俄国的圣彼得堡 科学院工作，在那里，Daniel 一共工作了八年（17251733），其间；大数学家 Euler 还曾担任过他的助手。到了1733年，Daniel 的大哥过世以及一些原因，使得他离开圣彼得堡，但是， 也是从那时候起，Daniel 与 Euler 开始了维持40年的通信。 早在1733午，Daniel 就曾明确指出振动的弦可以有较高频 率的振动：在17411743年所发表的关于振动杆的横向振动 论文中：又以物理的观点说明基音和高次的谐音可以同时存 在。直到读完 dAlembert 1774年与 Euler 1748年的论文 之后，或许受到父亲老约翰好胜的遗传，Daniel 也赶紧于 1753年发表他以前获致的结果：振动弦的许多振动模式可 以同时存在于弦上，也就是说，假定弦长为 l 的弦，则我们 可以从第一基音、第二谐音、第三谐音等一切可能的简 谐振动 出发，而将其迭合以获致所有可能的振动 (5)dAlembert 知道 Daniel 的结论后，提出了强烈的反驳，他 甚至不客气地说：他根本不相信一切奇的周期函数能表示成 Daniel 级数。Euler 知道 Daniel 的结论后，虽然提出 了反驳，但是，基于他与 Bernoulli 家族的情感（Euler 起 码是老约翰的学生，Daniel 又曾推荐他在圣彼得堡科学院的 工作），因此，他是以含蓄地方式提出反驳：首先他赞扬 Da niel 发现许多简单的振动模式可以同时存在，也就是同 一条弦可以同时发出许多谐音的物理观点，但是，Euler 并 不认为每一条起始曲线 f(x)=y(x,0)，都可以用一个无穷三角 级数表示，也就是说，他无法接受 (6)Euler 不肯认同的原因是很简单的，他认为他自己的振动弦的 解包括了所有可能的函数，特别是他所谓的不连续函数，因 此，连续的正弦函数怎么可能迭加产生不连续函数（这在现 代意义下：当然是有问题的！），另外一方面，正弦函数是 奇函数，因此，显然无法产生所有的任意函数，特别是如果 起始曲线 f(x) 有一部份是静止的；但是，Euler 倒是愿意承 认 Daniel 的解是他的解的一部份。 Daniel 对 Euler 提出的反驳的回答是：既然有无穷多个 an 可供选择，因此：每一个函数当然均可用一三角级数表出，甚至 于正如同他在1773年表示的看法：三角级数可能在不同的区 间表示不同的代数函数。于是，他的解所涵盖的范围比Euler 广。Daniel 这种非数学方式的论证，当然是无法使人信服，大家 或许可以看出，争议的焦点其实是在于何种函数可以展成三角 级数的问题上。无论如何，Daniel 是第一位坚持任意函数可 以表示成一三角级数和的人，这种观点至少为往后的 Fourier 级数奠定物理的基础积分发展的一页沧桑 （第 3 页） 蔡志强 Fourier 谱写的数学的诗篇对自然的深入研究是数学发现最重要的源泉。Jean Baptiste Joseph Fo urier 本节标题的这段话是Fourier（17681830）最常 被引用的一段话。它同时也暗示着 Fourier 是一 位数学物理学家。Fourier 于1768年出生于一个 贫穷的裁缝师的家里，九岁时，双亲就相继去逝: 教会送去军校就读，毕业后，由于出身是裁缝师儿 子的缘故，因此 Fourier 无法获得军衔。比 Fourier 于是想到巴黎继续他的数学研究：可是由 于法国大革命爆发：因此，Fourier 回老家教几年 书。法国大革命爆发后，由于 Fourier 对因恐怖 活动而遭受害的人的辩护，而被捕入狱。出狱后， 进入巴黎师范学院念书，虽然为期不久，但是，也 显现出他在数学方面的才能，或许是这样的原因，当1795年，巴黎综合工科学校成立时，他立即被选 为 J.L. Lagrange（17361813）以及 G. Monge （17461818）这两位当代法国的数学大师的助教，但是，不久（1798年）即与 Monge 跟随拿破仑至埃 及远征。在埃及期间，Fourier 就对热传导问题产 生极大的兴趣，据说，他在埃及的热学实验以及研 究工作显示：沙漠地区的热对于人体的健康有很大 的帮助，因此，他经常穿着湿的衣服。并将自己包 裹的像木乃伊一样，住在温度高到令人难以忍受的 房间里，或许是他对热太酷爱了，以致于当他去 逝时，身上仍热得像刚煮过一样。但是，Fourier 的主要研究成果却是在1801年这一年有了转变， 在这一年，法国于特拉法加战役中败给英国， Monge 随拿破仑仓促地回到法国，稍后，Fourier 也回到法国。回国之后，起先，Fourier 是希望能 获取教职，但是，由于拿破仑赏识他的行政能力， 于是：他被任命为伊泽尔地区的首府格勒诺布尔 的官员，就在这里，Fourier 开始了热传导问题的 主要研究及实验。 Fourier 的主要研究成果发表于他向巴黎科学院 所提交的两篇论文。第一篇是于1807年向巴黎科 学院提交的：标题为热的传播(Mmoire sur la propagation de la chaleur)，主要是处理一 些诸如矩形、环状、球形、柱形等特殊形状连续体 的热传导问题：论文的审查人为法国著名的三 L 数学家：Laplace、Legendre以及 Lagrange，其 中，Lagrange 持着相当反对的态度，原因是 Fourier 于论述过程中，表示出下列令人讶异的 论断：Fourier 认为不论定义在 上的函数 f(x) 是如何任意，它一定可以用一个无穷三角级数 表示出来：也就是说，存在适当的实数 an,bn 使 得下式成立 这个论证恰与 Lagrange 在十八世纪末关于弦振动问题的研究结果相矛盾，话虽如此：但是，由于 Fourier 的研究内容是如此的富有创意，这些数学 家们还是于回信时，鼓励他继续将其内容严密化， 科学院并在1810年悬赏征求关于热传导的问题。 Fourier 经过四年的努力，于1812年再度向巴黎 科学院提交一篇论文：标题为热在固体中的运动 理论(Theorie du mouvement de chaleur clansles corps solides)，内文不仅修正了1807 年论文的部份内容，也增加了关于无穷大物体的热 传导分析。再一次地：由三 L 负责评审，他们给 予的评审意见是：Fourier 的论文思想新颖，给 出了解决热传导等问题的重要方法，有很高的实用 价值。同意发给高额奖金。因此，Fourier 在这 次的征文中，获得了悬赏的巨额奖金：但是，也因 为 Lagrange 相当坚持该篇论文的严密性缘故，而 无法在科学院的研究报告(Memoires) 上发表 。 Fourier 对于巴黎科学院无法接受他的论文感到很生气，不过，他还是继续他的工作，并于1822年发 表他关于热传导的重要数学著作热的解析理论(Thorie analytique de la chaleur)，并于发表 该书的两年后，当上曾令他生厌的巴黎科学院的秘 书，并一直到终老。然而也由于职务之使，才使他 得以将他的论文一字不改地发表于研究报告(Memoires) 上。 接下来，我们要了解一下 Fourier 在1807年的论 文所考虑的一个问题：求区域 , 中，当 物体呈现稳定状态时，其温度函数 T(x,y) 为何？ 也就是底下的偏微分方程式 (7)其中区域底边上的温度恒为 1。Fourier 首先利用 所谓的分离系数法得到(7)式的一族基本解 (8)由于温度函数 T(x,y) 在 时均等于 0，于是 m 只能取值 , 再由温度函数 T(x,y) 在底边 x=0 时，恒为 1，就可得到下列的方程式 (9)Fourier 认为(9)式的右边为 y 的函数，稍后，他注意到 , ，于是，(7)式的一般解为 Fourier 接下来考虑：若底边 的温度不是 1，而是一般的函数 则温度分布函数 T(x,y) 又如何？也就是说：如何找出参数 b1,b2,b3, .。为此，Fourier 首先考虑 是奇函数的情形，也就是如何求解下列无穷级数的系数 bn： (10)这个问题相当于是 Fourier 前人所遭遇的问题， 也就是对于任意函数 是否可以展开成为一无穷 三角级数和。Fourier 起先是分别将 ， 展开成在 x=0 附近的 MacLaurin 级数，然后代入 (10)式 比较系数，再经过一些复杂、且带有 古怪 的作法，可以得到 (11)Fourier 作完这项计算复杂的大工程之后，Fourier 指出：bn 也可以依如下的程序而得到。首先将(10) 两边同乘以 并将两边同时从 0 到 作积分， 得到 (12)将(12)式的右边积分运算与求和运算交换。亦即作 逐项积分就可得到 bn。接下来当然是考虑 是偶函 数的情形，再其次是一般函数的情形。总结他说：若 函数是以 为周期的函数，则 f(x) 可以展开为如下 的三角级数 (13)其中 (14)这项结论其实 Fourier 的前辈们早已取得，那么 ，Fourier 的特点在哪里呢？Fourier 将定 积 分 解释为 与 x=a, x=b;以及 x 轴所围成区域的面积，于是 的意义 就是 曲线下的面积。这对于我们而言： 似乎是再明显也不过了，但是回想中学时代所教授的 积分概念，虽然老师也指出求定积分就相当于求某 区域面积的事实，但是，大部分的时间，都将求定 积分转为求原函数，也就是相当于求一函数 g(x)， 使得 成立，而非利用求和的观念来求定积 分。令人惊讶的是十八世纪以及十九世纪初的数学 家都有着相同的态度，即使有人认为求积分就是相 当于求面积，但也不是主流。因此，若坚持求函数 定积分是求其所对应的原函数，那么 的存在 性就得基于 必满足十八世纪数学家意义下的连 续（也就是有解析表示式）：而且可由反微分 计算出来。这么多的要求，当然也就使得 的 存 在性极为可议了！由于 Fourier 这种对积分的观 点，因此，他认为对于任意函数（不论是 dAlembert、Euler 或是任何意义下的函数） 而言， 均是有意义的，所以， 均可透 过计算 , ，从而得到任 意函数 三角级数表示法。 正因为如此，当 Lagrange 发现 Fourier 法提出 有力的数学证明时，当然遭到Lagrange的反驳， 至少 Lagrange 在十八世纪末那场振动的论战中， 是站在Euler的立场并反对 Daniel 三角级数的观点。然而，Fourier 并不因此而退缩了，他采取实验 的手段，选取了大量的函数，计算每个 函数的前面几个 an,bn 并将所得的三角级数前几项 所构成的函数图形与原来函数图形作比较，因而， 更肯定自己的结论，并且了以下的结论：不管函数 f(x) 在区间 外如何，由(14)式的 an,bn 所形成 的三角级数(13)恒可以表示 f(x)，这就是为什么早 期的数学家不能接受任何一个函数可展开为三角级 数的原因，正是他们没有能够看到两个函数可以在 一给定的区间上相合，但不一定在此 区间外相 合，在给定的条件下，级数真正确定的是 函数 在 到 区间上的值，在区间外则周期地重复着 。 在这里，我们多少可以看到纯数学家与数学物理学 家的不同，Lagrange 以其作品的严密性著称，而 Fourier 却宁可相信他的物理直观。 Fourier 的错误结论使人联想到：如果任意函 数都可以用三角级数表示出来，那么连续与不连续 函数（在十八世纪的意义下）又有什么差别呢？这 个问题就导引着往后的数学家对分析的基础前进。Fourier 所引发的另外的一个问题是三角级数是否 收敛，以及可否逐项积分？这些问题在当时看来是 理所当然成立，因为甚至收敛性的问题，当时的数 学家都未曾认真考虑过：更不必说逐项积分。但是，在往后的几节里，我们将看到这些问题却是激起集合 论诞生的重要问题 123456积分发展的一页沧桑 （第 4 页） 蔡志强 四、Cauchy 分析的严密化现在人们可以说，绝对的严格已经达到了。Henri Poincar Fourier 认为任意函数均可表为三角级数的和，使得大家开始思考什么是函数、连续函数与不连续函数的区别、定积分的意义为何？也就是牵涉到分析基础的严密化，这方面的工作应该首先归功于 Augustin Louis Cauchy（17891857）。Cauchy早在1814年时，就已经理解到连续函数与将定积分视为某种求和的极限观念的重要性，但是，直到他知道了 Fourier 的工作之后，特别是 Fourier 对于 Fourier 级数中 Fourier 系数 an,bn 的面积解释之后，他更加肯定这种态度。而 Cauchy 在这方面的工作显现在他一生中最风光的时候所作三本关于分析基础严密化的大作：分析教程(Cours danalyse de lEcole royale polytechinque, 1821)、无限小计算教程概论(Rsum des lecons sur le calcul iinfinitsimal, 1823) 以及微分学教程(Lecons sur le calcul diffegrential, 1829)。 Cauchy 一生中最得意的时期应该是在波旁王朝复辟时期，在这时期，Cauchy 于1815年，以26岁这样年轻的年纪就接替L. Poinsot 的位置，而成为培养出许多法国大数学家的巴黎综合工科学校的教授，并在这里成就了许多伟大的研究，特别是，受到了 Laplace 的鼓励，于1821年出版了他在巴黎综合工科学校授课的数学分析讲义，也就是分析教程(Cours danalyse de lEcole royale Polytechnique, 1821)。Cauchy 写作这本书的目的是想要将分析建筑在像几何一样坚固的基础之上，而不是像过去的数学家一样，只是利用一些似是而非的归纳方法而得出的分析真理，正如底下他在这本书的序言所说： 我企图按照关于代数一般原理的推理中从来没有过的一种方法，给分析方法以几何中所要求的严密性，而归纳法只是偶尔发现真理，但与数学所自恃的精确性毫无共同之处。我的主要目标是使严谨性（这是我在分析教程中为自已规定的准绳）与基于无穷小的直接考虑所得到的简单性和谐一致。 Cauchy 在这本书的第一章里，就明确地定出极限的观念，并将无穷小定义为以 0 为极限的变量，从而，确定了无穷小不是数的观念。 Cauchy 极限的定义当一个变量所取的值无穷接近一固定值而使两者之差要多小有多小时，此一最终的值称为所有其它值的极限。比如说：一无理数是许多不同的分数的极限，它们愈来愈接近它。在几何中，一个圆周是其边数不断增加的内接多边形所收敛的极限，等等。 当同一变量逐次所取的绝对值无限减小：以致比任意给定的数还要小，这个变量就是所谓的无限小或无限小量，这样的变量将以 0 为极限。 虽然，Cauchy 对于极限的看法，它的前人（比如说：dAlembert）也曾提出过，不过，在论证一些极限式子时，Cauchy 确是第一个将上述定义转化成类似于今日以 论证极限的人，或许，可以说 Cauchy 是将分析迈向算术化的第一人，后来的柏林学派大师 Karl Weierstrass（18151897）是将 Cauchy 的想法以 的方式表现出来。 Cauchy 连续的定义在属于无限小范畴的研究对象中，我们必须提出与函数的连续性和不连续性有关的概念。让我们首先从这一角度来考察一个单变量函数。 设 f(x) 是变量 x 的函数，并设对介于两给定限之间的每一个 x 值，该函数总有一个唯一的有限值。如果在这两给定限之间的有一个 x 值，当变量 x 获得一个无限小增量叫函数本身将增加一个差量 这个差同时依赖于新变量 和原变量 x 的值。然后，如果对变量 x 在两给定限之间的每一个中间值，差 的绝对值都随 的无限减小而无限减小，那么就说函数 f(x) 是变量 x 在这两给定限之间的一个连续函数。 另一方面，假如 f(x) 在包含 x0 的任一个区间都不是连续的，则称 f(x) 在 x0 不是连续的。 在这里，Cauchy 突出了连续与不连续函数之间的差别，而且他的定义并没有像十八世纪时，须要求函数有额外的性质（比如：可微），所以已经几乎是现代的版本。但是，另外一方面，我们可以看到一个与现代版本有点差异但又有趣的现象：连续是函数在一点的行为表现，而不是在整个区间上的行为，然而，Cauchy 将连续观念建立在整个区间上，另外一方面，Cauchy 对不连续的定义，就显出他认为不连续是函数在一点的行为，而这与现代版本是相同的。关于这一点，我们还会往后面讨论。 在两年后，Cauchy 在无限小计算教程概论的第二十一讲里，利用和的概念定义连续函数定积分。 Cauchy 定积分的定义假设函数y=f(x)关于变量x在两个有限界限x=x0和x=X之间连续，我们用x1, x2,xn-1来表示x的位于这两个限之间的一些新值，并假定它们在第一个限与第二个限之间或者总是递增，或者总是递减。我们可以用这些值将差X-x0划分成元素 这些元素都有相同的符号。作了这样的划分后，我们将每个元素与该元素左端点所对应的f(x)值相乘，即:元素x1-x0乘以f(x0)，元素x2-x1乘以f(x1), 最后，元素X-xn-1乘以f(xn-1)，同时设 是这样一些乘积之和。显然量S将依赖于:第一、差X-x0被分成的元素个数n;第二、这些元素的数值，从而也就依赖于所采用的划分方法。 于是当差X-x0的元素变为无限小时，划 分方法对S的值的影响无足轻重;这样，如果我们让这些元素的数值随着它们个数的无限增加而无限减小，那么就一切实用的目的而言，S的值最终将变为常数。或者说，它最终将达到一个确定的极限。而这极限仅依赖于函数f(x)的形式和变量x的边界值x0和X这个极限就叫做定积分。 为了说明定积分是不依赖于分割点的选取，Cauchy隐约地利用了闭区间上的连续函数是均匀连续以及实数完备性这两个性质，从而确定了连续函数定积分的存在性。然而，Cauchy并没有验证这两个性质是否真的成立，而只是把它们当成必然是成立的，这多少阻碍了 Cauchy继续探讨不连续函数的定积分存在性。无论如何，Cauchy对于连续函数定积分的定义已经摆脱了从Newton发明微积分以来的一个观念:将积分视为微分的逆运算。比较学究一点的术语，就是微积分基本定理是成立的。我个人的看法是:如果微积分基本定理没有很早被发现的话，或许大家会提早考虑定积分的存在性，从而,较早考虑微积分的基础，而不用受到许多人的攻击，但是,如果微积分基本定理没有一开始就被发现，那么或诈十八世纪的数学就不会有如此多的进展了。因此，从今天看来，Cauchy对连续函数定积分的探讨，尤其他的连续函数定义已经摆脱了十八世纪连续函数的看法，使得他证明了定积分对于范围很大一类函数是存在的。而事实上，Cauchy 也是第一个认为必须给予积分的一个一般性的定义（而非仅是求导数的逆运算），并证明其存在性，然后，才有资格谈论积分的性质。最重要的是:如果不是 Cauchy 对于连续、定积分给予不同于十八世纪数学家所想象的意义，那么 Riemann 积分可能就很难出现，更别提往后的 Lebesgue 积分了。 Cauchy在给了积分的一个算术的定义之后，于无限小计算教程概论的第二十六讲里，探讨了连续函数的微积分基本定理，于是完成了连续函数在闭区间上的积分理论。由于 Cauchy对于函数的连续与定积分的概念，使得积分不用诉诸于是求微分的逆运算，所以积分的概念就可以推广到对在定义的区间上有有限个不连续点的函数。简单地说：如果函数f(x)仅在a,b区间上一点C不连续（任意有限多点也是成立），则函敷f(x) 在区间a,b上的定积分为 (15)Cauchy 对于函数连续以及定积分概念的定义，虽然没有利用到函数须是可用方程式表示出来的性质:但是，Cauchy 对于函数的概念并没有比他的前人前进多少。比如:Lebesgue 就曾指出 Cauchy 对于显函数与隐函数的差别在于:隐函数中关于x，y关系式的方程式，无法将y用x及代数运算将其解出来。但是，如果说Cauchy对于函数的概念没有比他的前人进步，那也是不公平的，就如同我们前面所说的，十八世纪的数学家对于函数的一般形式可以总结为如下的形式: (16)其中 Ik(k=1,2,3,n)为a,b上的分割，为Ik上的特征函数 (characteristic function)，gk(x)则为可用解析式表示的函数。然而，在Cauchy的一篇讨论微分方程的论文中 (Mmoire sur les fonctions discontinues, 1849) ，就将gk(x)放宽为Cauchy意义下的连续函数，但是，Cauchy对于不连续函数却仅限于允许有限个不连续点而已的函数。 Dirichlet 的函数观念这是函数吗? Peter Gustav Lejune-Dirichlet 虽然Cauchy早在1823年就开始考虑Fourier 级数收敛等相关问题，并给于分析严密化之一些基础，但是，其所考虑的过程既不严格，也无法涵盖已知是收敛的级数。真正第一位对Fourier工作作出严密性贡献的应该是德国的大数学家 Peter Gustav Lejeune-Dirichlet（18051859）。 Dirichlet 的父亲是一位邮政局长，与一般的数学家一样，Dirichlet从小就表现出对数学很大的兴趣，据说，Dirichlet曾将自己的零用钱存下来，以购买数学书籍。当Dirichlet 于十六岁要上大学时，Dirichlet面临了两个问题;首先是Dirichlet的父母希望他以后能成为一名律师，但是，Dirihlet早就心有所属，毅然要从事数学的研究工作；第二个问题是要到那里学习?当时德国的数学水平并不高，能与法国数学家并列的只有Guass 一人，虽然，Guass称得上是当时世界上最伟大的数学家，然而，Guass正如大家所知的，除了在晚年之外，并不是一位热爱教学工作的人。这一点可以从Guass写给他的朋友天文学家W.Olbers的信中看出。Guass写道：我真的不喜欢教课对真正有天赋的学生，他们绝不曾依赖于课堂上的传授，而必是自修得来的作这种不值得感谢的工作，唯一的代价是教授浪费了宝贵的时间。由于 Guass 不喜欢教学工作，以及当时德国数学的落后，因此，Dirichlet 选择了当时的世界数学中心巴黎，当作学习数学的地方：并在那里逗留了三年（18221825）。Dirichlet的选择或许是对的，因为他在巴黎认识了 Fourier，而 Fourier 在数学物理这方面称得上是权威。 Dirichlet在Fourier工作影响之下，于1829年在Crele杂志上发表了关于Foruier级数最著名的文章关于三角级数的收敛性(Sur la convergence des sries trigonomtriques) 而同时这一篇文章也标示着Dirichlet是第一位给出一个有关Fourier级数收敛的充份条件的严格证明的数学家。Dirichlet于文中首先对 Cauchy关于Fourier级数收敛的推理不严格、以及广度上提出批评，然后给出了他自己的结果，Dirchlet的结论是：如果f(x)是周期为 2 且满足以下条件的函数 (a)f(x)是分段连续（Cauchy意义下的连续）。 (b)在区间中，f(x)只有有限多个极大与极小点。 那么f(x)的Fourier级数会收敛到函数f(x)左右极限值的算术平均数，也就是 于是，在函数f(x)的所有连续点处，f(x)的Fourier级数均会收敛到函数值f(x)。检查Dirichlet证明过程，可以发现:仅须要求f(x)在点x附近是单调就可保证函数 f(X)的Fourier级数会收敛到f(x),但是，为何Dirichlet须要加上函数 f(x) 是分段连续这项连续性的假设，原因很简单，就是要使得 (17)这些相关的积分式是存在的（Cauchy意义下的积分）。 因此,Dirichlet认为其有无穷多个极大(小)点、不连续点的函数，他的结论也会成立，而 Dirichlet认为所须额外的条件就是(17)式中相关的积分均会存在，因此，Dirichlet 面临怎样的函数会具有定积分这个问题，而Dirichlet所给的答案是: 如果a,b是介于,之间的任意两个数，则在a,b之间,总是存在 arsb,使得f(x)在(r,s)上是连续的。 以现代的术语来说，Dirichlet的可积条件等于是说:函数f(x)在上的不连续点构成所谓的疏朗集(nowhere dense set)(虽然，这个结论是错的)。然而，Dirichlet 在他的有生之年，从未证明过这一点，因为Dirichlet认为这个问题会牵涉到无穷小分析的基本问题:而Dirichlet允诺在将来会发表在另一篇文章里，不过，他从未完成。无论如何，Dirichlet对于可积分函数的这一项要求是很令人玩味的，或许可以这样说， Dirichlet以后的数学家对于这句话的理解多少左右了一些数学的发展。Dirichlet这句话的意思至少有两种涵意;第一种是他心中有着另一种与Cauchy积分完全不同的新的积分，而这一种积分只须要求积分函数的不连续点构成疏朗集即可,比较不严格的讲法是不连续点集是可以省略的，但是，一但如此，那么构筑在Cauchy积分的背景下的最好积分定义应该是Riemann积分了。然而，在这种情形之下:就无须谈论函数的连续性，不过，Dirichlet无论是在1829年的这篇文章，还是在1837年的另一篇关于三角级数的文章 (用正弦和余弦级数表示完全任意的函数(ber die Darstellung ganz willkrlicher Functionen durch Sinus-und Cosinusreihen) 里，都在其所陈述的定理中强调连续性这项假设。然而，如果说在Cauchy积分的背景下的最好积分定义应该是Riemann积分，那可能也不是很客观Weierstrass 就曾对此提出反驳，关于这一点，我们后文还会往回到这一点上。 对于Dirichlet可积条件的另外一种解释是:Dirichlet可能认为疏朗集的结构不是我们现代人所想象地那样复杂，一个疏朗集乃构成的元素可能只有有限个点、或是其导集 D(更一般为 D(n)=(Dn-1)是有限点集)为有限点集而已。因此，如果函数 f(x)的不连续点所构成的集合D的导集D为有限点集，特别地，让我们先考虑D 仅由一个单点c所组成的这种特别简单的情形,则在以c为中心的某一个区间 以外，应该只有有限个不连续点，这时候，Cauchy的积分定义 就可以适用到这种情况了。循着这个方向作出工作的有 R. Lipschitz（18311904），Lipschitz 就曾将无限点集归纳为三种，第一种是稠密集(dense set)、第二种是疏朗集，最后一类则为稠密集与疏朗集的混和体，而其中Lipschitz对于疏朗集的解释就是如同我们上面所讲。数学家们对于疏朗集的这种曲解造成了新的积分理论发展的阻碍，大部分原因是由于集合论在当时还