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利息理论及其应用 李文芳 湖北工业大学经济与政法学院 E-mail： 电话， 办公室：保险系618 第2章 利息的度量1 （Measurements of interest） 日常生活中： 如何度量速度？距离/时间 如何度量利率？利息/本金 2.1 利息的基本函数 利息（interest）的定义： 借用他人资金所需支付的成本，或出让 资金所获得的报酬。 利息存在的合理性： 资金的稀缺性 时间偏好 资本生产力 关于利息的几个基本概念 本金（principal）：初始投资的资本金额。 用“P”表示。 累积值（accumulated value）：过一段时 期后收到的总金额。 利息（interest）：累积值与本金之间的差 额。用“I”表示。 利率(rate of interest)：单位时间（年、季、月、 日） 、单位本金所获得的利息。用“i”表示。 积累函数(Accumulation function) 积累函数是指期初的1元本金在时刻t 时的累 积值, 通常被记为a (t) 。 性质： a (0) = 1； a (t) 通常是时间的递增函数； 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。 当利息是跳跃产生时， a (t) 是间断函数。 注：一般假设利息是连续产生的。 例： 考察下面常见的积累函数 （1）常数：a (t) = 1 （2）线性：a (t) = 1 + 0.1 t （3）指数：a (t) = (1+0.1) t 上述3个函数是否满足积累函数的性质？ 对应生活中哪些实例？ 对应生活中哪些实例？ 金额函数（Amount function） 概念：当原始投资不是1个单位的本金，而是 k 个单位时，则把k个单位本金的原始投资在 时刻t 的积累值记为A (t) ,称为金额函数。 性质： A (0) = k； A (t) = ka(t), k 0, t 0 利息（interest）的数学定义 从投资之日算起，在第n个时期所获得的利息 金额记为I(n) ，则： I(n) = A(n) A(n-1)， n1 利息金额I(n) 在整个时期内产生，但在最后时刻 实现（支付、得到）。 金额函数A(t) 在时间段t1 , t2 内所获得的利 息金额为： I(t1,t2)=A(t2)A(t1) 2.2 实际利率（effective rate of interest ） 实际利率i 等于某一时期开始时投资1单位本金 ，在此期间末应获得的利息： i=a(1) a(0) 实际利率i是某个时期获得的利息金额与期初本 金之比： 附注： 实际利率经常简称为利率，用百分比来表示 ，如8% ； 利息是在期末支付的； 本金在整个时期视为常数； 通常的计息期为标准时间单位，如年、月、 日。若无特别说明，实际利率是指年利率。 实际利率可对任何时期来计算。第n个时期的 实际利率为： 例： 把1000元存入银行，第1年末存款余额为 1020元，第2年末存款余额为1050元，求 第一年和第二年的实际利率分别是多少？ 2.3 单利(simple interest) 假设在期初投资1单位，在每个时期末得到完 全相同的利息金i ，即只有本金产生利息，而 利息不会产生新的利息，这种计息方式称为单 利，i 称为单利率。 单利的积累函数满足下述性质： a(0)=1 a(1)=1+i a(t)= 1+it 上述单利的积累函数对t 0 的整数值才有定义 。 单利与实际利率的关系： 常数的单利并不意味着实际利率(effective rate)是常数！ 因此，实际利率是n 的递减函数。 思考: 为什么在每个时期所获的利息金额相等 ，而实际利率却越来越小呢？ 例 若每年单利为8，求投资2000元在4年后的 积累值和利息。 累积值为：A(4) = 2000(1+ 48%) = 2640 所得利息的金额为： 2640 2000=640=20008%4 利息金额本金利率时期 单利的应用: 投资时间t 的确定 （1）精确单利，记为“实际/实际”（actual/ actual）， 其中第一个“实际”表示每月按当月的实际天数计算，第 二个“实际”表示每年也按当年的实际天数计算。 （2）银行家规则( bankers rule ) ，记为“实际/360”， 即每月按当月的实际天数计算，每年按360天计算。 （3）“30/360”规则，即每月按30日计算, 每年按360日 计算。两个给定日期之间的天数按下述公式计算： 360(Y2Y1)+30(M2M1)+(D2 D1) 其中支取日为Y2年M2月D2日，存入日为Y1年M1月D1 日。 例： 若在1999年6月17日存入1000元，到2000年 9月10日取款，年单利利率为8，试分别按 下列规则计算利息金额： （1）“实际/实际”规则 （2）“30/360”规则 （3）“实际/360”规则 （1）从1999年6月17日到2000年9月10日的 精确天数为451，因此利息金额为： 1000 0.08 451 /365 = 98.8 （2）根据“30/360”规则，投资天数3601+ 30(9 6) + (10 17) = 443，因此利息金额 为：1000 0.08 443 /360 = 98.44 （3）根据“实际/360”规则计算的利息金额为 ： 1000 0.08 451 /360 =100.2 单利的缺陷：不满足一致性 令t = t1 + t2，则： 含义：分两段投资将产生更多利息。 问题：分段越来越多，产生的利息是否会越 来越多？最多是多少？连续利率计息。 2.4 复利(compound interest) 在单利情形下，前面时期所获得的利息并没 有在后面的时期获取利息。 假设你今年初存入1000元，每年的利率为5 ，则每年末可获利50元，因此在年末有 1050元可以用来投资。如果按照1050元来计 算，你将在明年末获得利息为52.5元，比只 按照1000元投资要多获得利息2.5元。 复利的基本思想：利息收入被再次计入下一 期的本金，即所谓的“利滚利”。 复利的积累函数 考虑期初投资1，它在第一年末的积累值为1 i; 余额1i可以在第二期初再投资，在第二期 末积累值将达到(1+i) + (1+i)i = (1+i)2 ; 在第三期末将达到(1+i)2 + (1+i)2 i = (1+i)3 一直持续下去， 对于整数时期t，积累函数为 a (t) = (1+i)t 复利与实际利率的关系 常数的复利率意味着实际利率也为常数。 单利与复利之间的关系（下图） 单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持 恒定。 当0 1时，复利比单利产生更大的积累值。 当t = 1 或0 时，单利和复利产生相同的累积值。 单利累积函数：是一条直线 复利累积函数：一阶导数大于0，二阶导数也 大于0。下凸曲线。 两个交点：0和1。 例 按复利或单利分别计算，当年利率为11时， 开始应投资多少元钱才能使第5年的本金和利 息总和积累到1000元? A(0) (1+511%) = 1000 A(0) = 645.16 A(0)(1+11%)5=1000A(0)=593.47 1.5 贴现 思考：在期初开始时应投资多少，才能使得 年末的本金和利息总额恰好为1? 这是一个求现值的过程，即贴现过程，与累 积过程互逆。 时刻t 的1个货币单位在时刻0的价值称为贴现 函数。用a-1(t)表示。 贴现函数(discount function) 单利的贴现函数 复利的贴现函数 单利和复利的现值比较：金额为1 单利和复利的现值比较：金额为1 注： 除非特别申明，今后一概用复利计算现值。 (1+i)t 称为1元在t 时期末的累积值，而 vt= (1+i)-t 称为t 时期末支付1元的现值。 几个术语： 实际贴现率： d(effective rate of discount with compound interest) 实际贴现率等于一个时期的利息收入与期末累积值 之比：实际贴现率=当期利息/期末累积值 利息按期初余额计算，在期末支付。 贴现按期末余额计算，在期初支付。 例：A向银行借100元，为期1年，银行预收6的利息 ，而仅给A支付94元，一年后A还给银行100元。贴 现率为6。利率是多少？ 第 n 个时期的实际贴现率等于 当单利率为 i，单贴现率 是 n 的递减函数。 当复利率为 i 时，复贴现率 利率i 与贴现率d 的关系（1） 当期利息：i 根据贴现率的定义 利率i 与贴现率d 的关系（2） 期末的1元在期初的现值为(1+i)-1 此现值用贴现率d 表示即为： 故有下图： 根据利率的定义，有 利率i 与贴现率d 的关系（3） d=iv 证明： 注：把期末支付的利息i贴现到期初，即得 iv ，等于在期初支付的d。换言之，期末的 i 相 当于期初的d。 利率i与贴现率d的关系（4） 证明： 解释：期末的1元在期初的现值既可以表示为 v，也可以表示为1 d。 贴现函数可表示为a-1(t)=vt=(1-d)t 累积函数可表示为a (t)=v-t=(1-d)-t 利率i 与贴现率d 的关系（5） i-d=id 证明： 解释：1元本金在期末时可以赚取 i 元利息，(1 d)元金 在期末时可以赚取d元利息。 产生(i d)元利息差额的原因就在于原始本金存在d元额 。 而这d元本金差额在本期可以赚取的利息正好是id。 利率i 与贴现率d 的关系（6） 证明： 例: i = 5% = 1/20 d = 1/21 利率 i 和贴现率d 的关系：d=i/(1+i) 贴现率 d 和利率 i 的关系：i=d/(1-d) 例: 若现有面额为100元的零息债券在到期前一年 的时刻价格为95元，同时，一年期储蓄的利 率为5.25，如何进行投资选择? 存款还是 购买债券？ 解： 从贴现的角度看， 零息债券的贴现率 d 5% 而储蓄的贴现率 d i / (1 + i) = 4.988 5% 因此投资债券合算。 从利息的角度看， 零息债券的利率 而储蓄的利率为 5.25 5.26 因此投资债券合算。 贴现方式 单贴现（了解） ：每个时期的贴现金额都是 常数。在t时期末产生积累值1的本金为 复贴现： a-1(t)=vt=(1-d)t 单贴现与复贴现的关系（了解） 单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同。 对于较长时期，单贴现比复贴现产生较小的现 值，而对较短时期情况则相反。 单贴现模式并不对应着单利的贴现模式，而复 贴现模式对应复利的贴现模式。 小结： 计算累积值和现值，既可以用利率，也可以 用贴现率。 如果用利率计算累积值和现值，则有 累积函数：a(t) = (1 + i)t 贴现函数：a1(t) =(1 + i) t 如果用贴现率计算累积值和现值，则有 累积函数： a(t) = (1d) t 贴现函数：a1(t) = (1d) t 一些重要的等价关系式（通过图示解释）： Exercise It is known that the accumulation function a(t) is of the form b(1.1)t+ct2 , where b and c are constants to be determined. (a) If $100 invested at time t = 0 accumulates to $170 at time t = 3, find the accumulated value at time t = 12 of $100 invested at time t = 1. (b) Show that this function is non- decreasing. (c) Determine a general formula for in, and show that Solution: a(t) = b(1.1)t+ct2 (a) An accumulation function must have the property that a(0) = 1; this implies that 1 = a(0) = b + 0, so b = 1. The given data imply that (b) a(t) = (1.1)t+0.041t2 A(t) = (1.1)tln1.1+0.082t2 which is positive for positive t; thus a(t) is an increasing function of t for positive t. Exercise It is known that 1000 invested for 4 years will earn 250.61 in interest, i.e., that the value of the fund after 4 years will be 1250.61. Determine the accumulated