A—1(1,2)不定积分概念与换元.ppt

第四章 不定积分 1 本章重点 不定积分的概念与性质 不定积分的计算 第一类换元法（凑微分法 ） 第二类换元法（变量代换法 ） 分部积分法 有理函数的积分 2 1 . 不定积分的概念与性质 3 互为逆运算 例已知物体运动的位置函数s=s(t)，求时刻t 的瞬时速度v=s(t)。微分学解决的问题 已知物体运动的速度函数v=v(t)，求运动 的位置函数s=s(t)。积分学解决的问题 一般，已知函数f(x),要找另一个函数F(x), 使F(x)=f(x)。 积分学的任务 4 一、原函数与不定积分的概念 定义1 ： 已知 f (x) 是一个定义在区间 I 内的函数 ， 则称 F (x) 为 f (x) 在 I 上的原函数。 如 ： x 2 是 2 x 的原函数; d sin x = cos x d x, sin x 是 cos x 的原函数; s (t) 是 v (t) 的原函数 。 如果存在函数 F (x) , 使在 I 内的任一点都有 5 问 题 F (x) + C 包含了 f (x) 的所有原函数。 1. 是否所有的函数都具有原函数？ 在什么条件下，f (x) 一定存在原函数 ？ 原函数存在定理 ： 若 f (x) 在区间 I 上连续， 则在 I 上必存在原函数。 2. 连续函数 f (x) 的原函数是否只有一个 ？ 设F (x) 为 f (x) 的原函数， 它们之间有何关系？ 6 定义2 ： 函数 f (x) 的全体原函数 就称为 不定积分。记作 其中 积分号f (x) 被积函数 f (x) d x 被积 表达式 x 积分变量 例 ： 若F (x) 为 f (x) 的一个原函数，则 7 不定积分的几何意义: F (x) 的图形称为 f (x) 的一条积分曲线 ，方程为 y = F (x) . 就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C . 它们在相同点处有 相同的切线斜率。 x y 0x 8 积分号与微分号的作用相互抵消。 由不定积分的定义 ，则有 又 或 积分号与微分号的作用抵消后加任意常数C 。 9 例 ： 求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处 的切线斜率均为 6 x 的一条曲线。 解 ： 设所求曲线方程为 y = f (x) . 由题意，曲线上点(x,y)的切线斜率 两边取不定积分 ： 为一簇积分曲线 。 10 二、 基本积分表 ( P. 186 ) 注意： 依基本导数公式与不定积分的定义， 既可得基本积分各式（15个）： （代数5个、三角6个、指数4个） 。 11 例题讨论 求下列不定积分： 例 1. 例 2. 12 三、 不定积分的性质 性质 1.函数和的不定积分等于 各个函数的不定积分的和。 性质 2.被积函数中不为零的常数因子 可提到积分号外。 （P. 187 188） 13 利用基本积分表和不定积分性质，可计算 一些简单函数的不定积分。注意3点： 1、在分项积分后，对每个不定积分的任意常数 不必一一写出。可在积分号全部不出现后，简写 为一个常数。 2、检验积分结果是否正确，只要将其结果求导 ，看它的导数是否等于被积函数即可。 3、由于微分形式不变性，积分表中的每个公式 中的x可用其它变量u替代，公式仍正确。 技巧：先将被积函数变形，化为表中所列 的类型，然后再积分。 14 例3. 例4. 掌握被积函数的恒等变形。 15 例5. 同理， 例6. 例 7. 16 例 8. 例9. (假分式= 多项式+真分式 ) 17 从理论上来讲，只需把积分结果求导 ，就可检验积分是否正确。但由于函数变 形及原函数间可相差一个常数等因素，一 般不检验。 注重积分过程的正确是至关重要的。 即每一步运算都要看能否还原到上一步 。 18 课外作业 习题 4 1（A ） 1（2, 4, 6, 9, 10), 2, 3, 5 习题 4 1（B） 1（1, 3, 4, 6, 7, 9), 2, 4 19 2. 换元积分法 20 一、第一类换元法( 凑微分法 ) 1. 凑常数 例1 ： 2(2x = u) 21 例2： 3 例3： ( +1) (x + 1 = u) 22 例4： /aa -1 同理： 23 例5： 同理： 24 例6： 例7： /2 2 25 2. 凑函数（变量） 定理 1.设 F(u) 是 f (u) 的一个原函数， 原函数，且有换元公式： 且 u = (x) 可导, 证明： 26 换元公式： (x) = u 前例：2(2x = u) (u = sin x) 27 例2： 例3： 28 例4： 同理： 例5： (sec x + tan x) (sec x + tan x) 29 同理： 注意：书P196例16、17关于上述公式的推导 技巧 ： 30 例6： 31 例7： 32 例8： 2 33 例9： 34 一般 ： 35 例10 ： 例11 ： 36 一般对： 37 课外作业 习题 4 2（A） 1, 2, 3(2, 4, 6, 7, 9, 11), 4(1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12) 习题 4 2（B） 1(偶数), 2(1, 3, 5, 7, 8, 10)3(1, 3, 4, 6), 4 38 二、 第二类换元法 （ 变量代换法） 定理 2.设 x = (t) 是单调的可导函数， 换元公式： 令 x = (t)， 回代：39 1. 三角代换 例1： 分析：目的：消去根式。 利用三角恒等式： 若令 x = a sin t , 被积函数 40 例1： 解：令 x = a sin t , d x = a cos t d t , Sin 2t =? t x a 41 例2： 分析： 若令 x = a tan t , 解：令 x = a tan t , d x = a sec 2 t d t . t x a 42 也可令 x = a sh t ( t 0 ) 解 ： 令 x = a sh t ，d x = a ch t d t , 43 例3： 分析： 若令 x = a sec t , 解： 令 x = a sec t ,d x = a sec t tan t d t , t x a 44 或令 x = a ch t ( t 0 ) 如： 45 小结： 当被积函数 含有因子： 目的： 去根号。 46 例题讨论 例1： 解： t x 47 例2： 解：令 x = tan t ,d x = sec 2 t d t . x 1 t 48 2. 根式代换 例1： 分析： 目的：化分数幂为整数幂。(去根号 ) 解： -1+1 49 回代 50 例2： 解： 51 例3： 令 x = sec t , d x = a s