D10-1二重积分概念.ppt

UpDownEndBackFirstLastIndexDemand 第一节 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 二、二重积分的性质 三、积分区域的表示法 第十章 1 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand 一 二重积分的概念 引例：曲顶柱体的体积 x y z O D zf(x，y) 设有一立体，它的底是xOy 面上的闭区域D,它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平 行于z 轴的柱面，它的顶是曲 面zf(x,y)，这里f(x,y)0且在D 上连续; 这种立体叫做曲顶柱体 问题: 如何求曲顶柱体的体积？ 仿照定积分中解决曲边梯形面 积的计算我们可以作如下处理： 2 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand 用一组曲线网把D任意 分成n个小区域 s 1,s 2， ，s n 曲顶柱体的体积 zf(x，y) x y z O D si 分别以这些小闭区域的边界 曲线为准线， 作母线平行于 z 轴的柱面，这些柱面把原 来的曲顶柱体分为n 个细曲 顶柱体 3 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand si (x i ，h i) 在每个s i中任取一点(x i ,h i)， 以f (x i ,h i)为高， f(x i ,h i) s i为底作平顶柱体， 4 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand si (x i ，h i) f(x i ,h i) 这些平顶柱体体积之和为 其体积为 f (x i ,h i) s i (i1, 2, , n ) 在每个s i中任取一点(x i ,h i)， 以f (x i ,h i)为高， s i为底作平顶柱体， 5 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand zf(x，y) x y z O D si 可以认为是整个曲顶柱体 体积的近似值 平顶柱体体积之和 问题：曲顶柱体体积的精确值=？ 曲顶柱体体积的精确值为 其中l是n 个小区域的直径中的最大值 上述数学模型抽象后即为二重积分的定义: 6 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand 设f(x, y)是有界闭区域D 上的有界函数 将闭区域D任意分成n 个小闭区域 s 1, s 2 , , s n 其中s i 表示第i 个小区域，也表示它的面积 在第个s i上任取一点(x i ,h i)，作乘积 二重积分的定义： 若当各小闭区域的直径中的最大值l 趋于零时， 这和的极限总存在, 则称此极限值为f(x, y)在D 上的二重积分， 记作 即 作和 7 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand 二重积分各部分名称： 积分号， 被积函数， f (x，y) 被积表达式， f (x，y)ds 积分变量，x，y 积分区域，D 面积元素，ds 8 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand 若在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划 分D ，则除了包含边界点的一些小闭区域外，其 余的小闭区域都是矩形闭区域。 直角坐标系中的面积元素： 设矩形闭区域s i的边长为xi 和yi ，则s i xiyi ， 而把二重积分记作 因此在直角坐标系中，有时也把 面积元素ds 记作dxdy， 其中dxdy叫做直角坐标系 中的面积元素x y z O D s ixi yi 9 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand 当f(x,y)在闭区域D上连续时, 积分和的极限是存在 的，即f(x, y)在D 上的二重积分必定存在 二重积分的存在性： 二重积分的几何意义： 若 f(x, y)0，f(x,y)可解释为曲顶柱体的在点(x, y)处 的竖坐标，故二重积分的几何意义就是曲顶柱体 的体积若f(x, y)0，曲顶柱体就在xOy 面的下方， 二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体积， 但二 重积分的值是负的 我们总假定f(x, y)在闭区域D 上连续，所以f(x, y) 在D 上的二重积分都是存在的 10 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand 二 二重积分的性质 性质 1 (k 为常数) 性质 2 11 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand D x y z O zf(x，y) D=D1 D2 性质 3 若D 划分为两个闭区域D 1与D 2， 性质 4 =s (s 为D 的面积) 则 D1D2 12 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand 性质5 如果在D 上，f(x, y)g(x, y)，则有不等式 特殊地有 性质6 (估值定理)设M、m 分别是f(x, y)在闭区域D 上的最大值和最小值，s 为D 的面积，则有 13 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand 证：因为 f(x, y)在闭区域D 上连续，故存在m及M 使得 m f(x,y)M，故由性质6： 两边同除s 则有 由介值定理知， $ (x, h) D 使得 性质7 (中值定理) 设f(x, y)在闭区域D 上连续， s 为D 的面积， 则$(x, h)D 使得下式成立： =f (x,h)s 14 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand 例1. 比较下列积分的大小: 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它与 x 轴交于点 (1,0) , 而域 D 位 从而于直线的上方, 故在 D 上 15 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand 三、积分区域的表示法 由前面的讨论我们知道： 在直角坐标系下的面积元素为ds=dxdy，故有 由定积分应用中所讨论的空间立体体积的计算 方法知道：若已知物体的平行截面的面积为A(x) axb，则该立体的体积为： 这为我们在计算曲顶柱体体积提供了一种思路：设法 求该立体平行截面的面积，然后加以计算。 为此，首先考虑区域的形式与表示方法： 16 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand （1）X型区域： x y O ab y=j1(x) y=j2(x) x y O a b y=j1(x) y=j2(x) D ： j1( x) y j2 ( x)，a x b x y O4 2 D x=y2 x=2y 例如： 1、区域的形式： 17 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand d c Ox x=y1(y) x=y2(y) y D ： y1(y)xy2(y)，cyd （2）Y 型区域： d c Ox x=y1(y) x=y2(y) y x y O4 2 D x=y2 x=2y 例如： D：0 y 2， y2 x 2y 18 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand (3)若区域既不是X型 区域又不是Y型区域,如图: 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 则必须对图形作分割. 19 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand 例2：把下列区域表为X-型区域和Y-型区域： y Ox1 D1 (x-1)2+y2=1 y Ox x=y2 y=x2 D2 20 UpDownEndBackFirstLastIndexDemand y Ox1 D1 (x-1)2+y2=1 X型区域 Y型区域 y Ox x=y2 y=x2 D2 X型区域 Y型区域 21 UpDownEndBackFirs