《地震勘探原理》PPT课件.ppt

1.2 均匀、各向同性、理想弹性介质三维波动方程,主要内容 1.2.1 弹性力学中几个概念 1.2.2 弹性波传播方程 1.2.3 纵横波波动方程,1.2.1 弹性力学中的几个概念,物体受到外力作用，要发生形状和体积的变化，通常用应力和应变来描述外力和形变关系 1、应力 体力：作用在物体单位体积上的力，与体积或质量成正比，如重力、惯性力 面力：作用在物体单位表面积上的力。如水的压力,内力（Pn）：弹性体受外力f作用后发生大小、形状变化，其内部产生抵抗这种变化的力，使其恢复原状，这就是内力,1.2.1 弹性力学中的几个概念,单位面积上的力称内应力，简称应力。当力作用于一个物体，应力等于作用力和它的作用面积之比,注意：应力不是力，单位是帕或兆帕,正应力：垂直于作用面的应力分量，沿法线方向上的应力分量 剪应力：平行于作用面的应力分量或作用在平面内的应力分量 当作用力和受力物体的面元即不平行又不垂直时，作用力可以分解为两个分量，一个平行于面元，一个垂直于面元 任何应力都可以分解为法向应力和剪切应力，而后者又可以分为两个相互垂直的应力分量,n表示应力在s面的法线方向上,考虑受力物体内的一个体元，作用在体元六个面上的应力，都可以按作用面分解为法向应力和剪切应力,图中标出了作用在垂直于X轴的两个面元上的应力 脚标相同，表明该应力为法向应力 若脚标不同，认为是剪切应力,作用于OABC面上的三个应力xx，yx，zx与作用于DEFG面上的三个应力大小相等，方向相反,由弹性力学理论：空间任意点O的应力可用9个相互独立的应力分量来表示。这9个应力分量可用三个互相垂直的平面a、b、c来表示，过O点建立直角坐标系,9个应力分量分别为 正应力：xx，yy，zz 剪切应力：xy，yx，xz，zx，yz，zy,剪切应力成对定理：当物体处于无转动的静平衡状态时，有ij=ji 这时，任意点O的应力可用六个相互独立的应力分量来表示,2、应变 应变：弹性体受外力作用会发生形状和大小的改变，也叫形变，是物体变形程度的度量 体积应变：物体只发生体积变化，膨胀或压缩，是受正应力作用的结果 形状形变：物体只发生形状变化的应变，受剪应力 正应变：变形体沿三个坐标轴方向单位长度内的形变，表示弹性体的拉伸或压缩，也称线性应变，伸长或缩短,切应变：变形体不但沿坐标轴有相对伸长或压缩，且会产生旋转。也称剪切应变,(a) 体应变 (b) 剪切应变,当切应力较小时，可用直角的改变量 （偏转角）来度量剪切应变,体积应变,线性应变,立方体单元受力后的形变,(a) 体积压缩 (b) 剪切应变,位移：在应变过程中，弹性体内各点会发生位置的移动，这是产生应变的必要条件,圆杆弹性体受力后的形变,反映弹性体横向拉伸（或压缩）对纵向压缩（或拉伸）的影响。泊松比越大，纵向压缩越小,3、弹性模量也叫弹性系数、弹性参数 在弹性极限内,弹性体的应力与应变成正比，弹性系数是应力与应变之间的比例因子，常用的弹性系数如下 （1）杨氏模量E：当在弹性限度内单向拉伸弹性体时，应力与应变的比值，又称拉伸模量。反映弹性体的抗压（拉）能力,E越大能力越强，弹性体越不易拉长或压缩,（2）泊松比 ：介质的横向应变与纵向应变的比值,液体的 为0.5 ，对大多数岩石来说， 在0.2到0.3之间,负号表示纵、横向应变增量的方向总是相反,是阻止弹性体产生切应变的弹性系数，是阻止剪切应变的一个度量，又称为刚度模量，不可压缩性度量或剪切模量 对大多数岩石来说， 的变化范围在0.1-0.7百万巴,K越大则体积形变越小，因此K反映了介质耐压特性。,（3）压缩模量(体变系数)K 一个体积为V的立方体，在流体静压力P的挤压下所发生的体积形变，即每个正截面的压缩模量，它是压力P与体积相对变化之比,对于液体: =0，不产生切应变，只有体积变化,（4）剪切模量 ：表示在简单切应力作用下,应力与应变的比例常数,（5）拉梅系数：应力与应变之间存在线性关系，其比例系数就是弹性系数。对于各向同性均匀介质，这些系数大都对应相等，弹性系数减少到两个，即拉梅系数 和 （切变模量）,的物理意义：阻止横向压缩所需要的拉应力的一个量度 阻止横向压缩的拉应力愈大， 越大 由于在非粘滞性流体中， , , 是流体的体积模量，也可把它叫做流体的补课压缩性度量,上述五个弹性参量，由弹性理论可证明，对各向同性介质，其中任意一个参量，都可用任意两个其它参量来表示，如,弹性参数是应力与应变的比例常数，表示介质抵抗形变的能力，其数值愈大，表示该介质愈难产生形变 据试验和理论推导，E、都大于零 泊松比()在00.5之间变化。一般岩石的值在0.25左右，极坚硬岩石的值仅为0.05，流体的值为0.5，而软的、没有很好胶结土的值可达0.45,某些岩石和介质的弹性参数,在介质内产生弹性波需要具备两个条件： （1）弹性体受到外力作用产生形变 （2）弹性体内的质点要产生振动，并不断将振动能量向外传播，由此产生了波动 波动方程：是描述弹性体内质点位移随时间和空间变化规律的数学方程，即利用数学方法来描述波的传播。将物理问题转化为数学问题,在不同介质模型中，地震波有不同传播规律，一般地，模型越复杂，描述地震波传播的方程就越复杂 均匀、各向同性、理想弹性介质是最简单的介质模型,1.2.2 弹性波传播方程,均匀、各向同性、理想弹性介质中的三维波动方程,弹性动力学研究的是弹性体内质点的相对运动状态。因此，位移向量不仅是空间的函数，也是时间的函数 弹性力学中有三组基本方程描述应力、应变关系及运动状态： （1）应力、应变关系方程：反映了物体受力后的弹性状态，也称物态方程 （2）应变和位移的关系方程：反映了弹性体在空间的几何关系 （3）运动微分方程：反映了弹性体受外力作用后的运动状态,（1）应力、应变关系方程：,（3）运动微分方程：,（2）应变和位移的关系方程：,式中 为体应变，为标量 带下标的e分别为正应变和切应变,为单位质量介质所受外力F的三个分量,1、弹性力学基本方程,是广义虎克定律的拉梅形式,1.2.2 弹性波传播方程,2、位移分量形式的波动方程 三组基本方程化简，消去应力、应变分量，可推导出以位移分量形式表达的、地震波在均匀各向同性、理想弹性介质中传播的波动方程：,1.2-1,为拉普拉斯算子,1.2-2,式中,u,v,w分别为x,y,z方向上的位移，,为介质弹性常数，称为拉梅常数，为介质密度,体积应变,1.2.1 弹性波传播方程,3、矢量弹性波传播方程 弹性波方程的矢量表达式为,式中：矢量 表示介质质点受外力 作用后的位移，称为位移矢量，矢量F为介质所受到的外力，称为力矢量,1.2-3,1.2-3上式即为矢量弹性波方程，又叫 Navier方程 Navier方程代表了在均匀各向同性介质中，用位移U表示的弹性波传播方程,Navier方程：,1.2.3 纵横波波动方程,外力F既包含胀缩力（正压力），也包含旋转力 位移U包含体变和形变两部分 如果对弹性波方程两边取散度或旋度，就可将其分离为纵横波方程 纵波情况下，只有体变、无旋转，波经过的介质只发生体积的胀缩而无旋转，即介质质点位移的矢量场是无旋的，在所研究的弹性介质中处处有 rotU=0,在矢量弹性波波动方程中,1.2.3 纵横波波动方程,对弹性波方程1.2-3两边取散度,整理得：,由于,式中divF代表胀缩力。式1.2-8描述了在胀缩力作用下，弹性介质只产生与体变系数 有关的扰动弹性纵波，称1.2-8式为用位移表示的纵波波动方程，VP为纵波传播速度,令,则,1.2-8,1、纵波波动方程,代入上式,1.2.3 纵横波波动方程,对三维弹性波波动方程1.2-3式两边取旋度,式中rotF代表了旋转力，式1.2-9描述了在旋转力作用下，弹性介质中只产生与形变有关的扰动横波，称其为横波波动方程，VS是横波速度,由场论,代入旋度方程整理得,令,1.2-9,2、横波波动方程,令=rotU，则,得,3、亥姆霍兹定理 1858年亥姆霍兹在他著名的涡流运动著作中证明了以下定理：“任何向量函数，若它的散度和旋度具有位，则该向量场可分解为一个无旋部分和一个有旋部分之和” 无旋部分表示纯体积胀缩 有旋部分代表剪切形变,1.2.3 纵横波波动方程,用旋度和梯度场表示的向量场,位移u和外力F都是矢量（向量）场 由亥姆赫兹定理：对任意向量场，在定义域中有散度和旋度，则该向量场可以分解为无旋部分和有旋部分之和，即 任何一个矢量场，如果在定义域内有散度和旋度，则该向量场可用一个标量位的梯度场和矢量位的旋度场之和来表示，于是有,1.2-10,式中 代表位移场的标量位，代表位移场的矢量位 代表标量力位，代表矢量力场,用位函数表达的纵波波动方程,由于divrot=0 , divrot=0, rotgrad =0, rotgrad =0，代入上式整理得到,位函数表示的纵波波动方程,式中 代表位移场的标量位，代表标量力位,将1.2-10及=divu和=rotu代入用横波波动方程,用位函数表达的横波波动方程,由于divrot=0 , divrot=0, rotgrad =0, rotgrad =0，代入整理得到用位函数表示的横波波动方程,若矢量位=（x，y），则上式可写成分量形式,标量横波波动方程,达朗贝尔方程和三分量标量波动方程,则用位函数表示的纵横波波动方程如下,将横波波动方程用标量形式表示，则得到用标量位函数表示的三分量标量波动方程,标量横波波动方程,标量纵波波动方程,上式又称达朗贝尔方程,1.2-12,1.2-14,1.2-13,1.2-12,在弹性波传播方程中 当速度Vp,Vs分别为常数，则表示均匀、各向同性、理想弹性介质中波的传播规律 若速度Vp=Vp(x,y,z),Vs=Vs(x,y,z), 则可表示非均匀、各向同性、理想弹性介质中波的传播规律 对各向异性、粘弹性介质以及双相介质模型，需要重新建立波传播方程,波前形状：球面波、柱面波、平面波 质点振动（极化）方向：横