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主讲教师: 王升瑞 高等数学 第二十讲 1 第三章 微分法: 积分法: 互逆运算 一元函数积分学 2 三、 基本积分表 二、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第一节 不定积分的概念与性质 第三章 3 一、 原函数及其性质 引例 : 求质点的运动规律 试求质点在时刻 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 即已知某一函数的导数或微分要求出原来的函数。 为了便于研究这类问题，我们引进原函数与不定积分 已知作直线运动的质点的运动规律是 则 已知作直线运动的质点在任一时刻的瞬时 速度 的概念。 的瞬时速度 逆问题： 4 例：是的一个原函数 是 的一个原函数是 是 的一个原函数 的一个原函数 5 问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 6 定理 2. 原函数都在函数族( C 为任意常数 ) 内 。 证: 1) 又知 故 属于函数族 定理3：设 和 是的两个不同的原函数， 则它们之间只差一个常数。 7 在区间 I 上的全体原函数称为 上的不定积分, 其中 积分号; 被积函数; 被积表达式. 积分变量; 若则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数体现了 全体原函数不可丢 ! 例如, 记作 二、不定积分 定义 2. 8 不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 的图形的所有积分曲线组成 的平行曲线族. 的积分曲线 . 9 例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲线为 10 三、不定积分的性质 （提因性质） （和差的不定积分等于不定积分的和差） 11 或 或 可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号 与微分运算记号连在一起时，或相互抵消，或 抵消后只差一个常数。即 “先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。” 从不定积分定义可知: 12 或 或 ( k 为常数) 四、 基本积分公式 (P171) 13 14 例1. 求 解: 原式 = 例2. 求 解: 原式= 15 注：在分项积分后， 别含有任意常数， 则只要在最后总的加上一个任意常数即可。 例3： 解： 原式 虽然中间的几个不定积分都分 但由于其代数和仍为任意常数， 16 例4. 求 解: 原式 = 例5 例6 17 例7. 求 解: 原式 = 例8. 求 解: 原式 = 例9：求 解：原式 18 例10. 求 解: 原式 = 解: 原式 = 19 例11. 求下列积分: 解: 20 内容小结 1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 (见P 171) 2. 直接积分法: 利用恒等变形, 及 基本积分公式进
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