Frank-Kamenetskii理论模型.ppt

Frank-Kamenetskii理论模型 及其应用 nFrank-Kamenetskii模型是着眼于实际情况 而考虑的一个体系内具有温度分布的模型。 n该模型的特点是体系内的温度分布随空间位 置及时间的变化而变化，它可表示为空间坐 标和时间坐标的函数。 n但在实际应用中，为了解题方便，一般认为 Frank-Kamenetskii模型的温度分布具有对 称性。 Frank-Kamenetskii模型 中心边界 温度 Frank-Kamenetskii模型温度分布 环境温度 T0 Frank-Kamenetskii模型下的温 度分布 n关于Frank-Kamenetskii模型下任意空间和时 间的温度分布的表示，通常有三种表示方法 ： n其一为直角坐标，即 x y z Frank-Kamenetskii模型下的温 度分布 n关于Frank-Kamenetskii模型下任意空间和 时间的温度分布的表示，通常有三种表示方 法： n其二为柱坐标，即 r z z Frank-Kamenetskii模型下的温 度分布 n关于Frank- Kamenetskii模型下任 意空间和时间的温度分 布的表示，通常有三种 表示方法： n其三位球坐标，即 n Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程 n现考虑一个由化学 物质组成的体系， 其体积为V，表面 积为S。在该体系 内有一个任意微小 空间，该微小空间 的封闭曲面s所围 成的体积微元为v 。 x y z V，S v s Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程 n由热力学第一定律可知，单位时间内体积微元获得 的热能因等于单位时间内体积微元内能量的增加再 加上单位时间内系统对外所作的功。 n如果不考虑体系的体积的变化，同时也不考虑其它 形式的能量，只考虑体系与环境的热交换和体系内 能的变化。 n体系获得的热能有两部分，一部分是通过体系的界 面由外界传到体系（或从体系传到外界）的热量； 另一部分是体系内部由于化学反应等产生的热能。 热力学第一定律的数学表达形式为： Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程 n则体系内能量变化 n : 单位时间内通过体积微元的界面获得或 失去的能量； n : 单位时间内体积微元内部产生的热量； n : 单位时间内体积微元内能的增加。 Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程 n单位时间内通过体积微元的界面获得的能量 q1应等于通过体积微元界面的热流向量对封 闭曲面积分 n 式中 是封闭曲面上任一点的热流向量在 曲面s的法线方向的分量。 Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程 n 不考虑化学反应以外产生的热量时，单位 时间内体积微元内部产生的热量q2为 n式中 是反应发热强度，即体系内的反应 物质在单位时间单位体积内反应物的发热量 。 Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程 n单位时间内体积微元内能的增加q3为 n式中 为反应物的密度；Cv为反应物的定容 比热。 Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程 n分别将通过体积微元界面的热流向量对封闭 曲面积分值q1，体积微元内部产生的热量q2 ，单位时间内体积微元内能的增加q3代入能 量平衡方程得体系内的某一体积微元的热平 衡方程 Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程 n如果封闭的体积微元内的热流向量 及其 偏导数 ， ， 是连续的 ，则实现体积变换的Gauss定理成立，即 n能量方程变为 Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程 n按照导数的定义 n考虑到体积微元不随时间的变化 Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程 n根据微分的中值定理 可知 Frank-Kamenetskii模型下的热平衡方程为 将上式整理 再根据积分中值定理 Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程 Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程 n上式表明，在体积微元内至少存在有一个 点P,使得 在P点的值满足 n当体积微元足够小趋于零时，体积微元将 收缩到P点上，此时上式可写成 Frank-Kamenetskii模型下的 热平衡方程 n 由于体积微元是体系内的任意微小空间， 故P点也是反应物体系内的任意一点。则 Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程 n又由于Frank-Kamenetskii模型所描述的体 系内的温度场是连续的，故Fourier定律成 立，则，单位面积、单位时间过任意l方向 的热流为 Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程 n如果是直角坐标，三个方向上的热流可分 别表示为 Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程 nFrank-Kamenetskii模型下的热平衡方程的微 分形式 n式中的2叫做Laplace算符，其表达形式随 坐标系的不同而不同。 Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程 nFrank-Kamenetskii模型下的热平衡方程的 微分式成立的条件是： na.体系内没有温度的突变（温度场连续）和 相态的变化; nb.体系内物质是均匀的； nc.在各个方向上是等同的； nd.式中的物理量、和Cv不随温度和时间的 变化而变化。 Frank-Kamenetskii模型下的 热平衡方程的求解 n由于Frank-Kamenetskii模型下求解热自燃 温度具有一定困难。一般是视实际体系的 空间构造将其简化，用无限圆盘、无限柱 坐标或球坐标来求解实际问题。在这些特 定的场合，三维空间的问题可以化成一维 空间的问题来解决。 Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程的求解 n当Frank-Kamenetskii模型下的热平衡方程 的 时。 n方程 n 表示系统处于稳定状态，上式也叫 Poisson方程。 n当 0时，表明体系将不断升温， 最终将发生热爆炸。 Frank-Kamenetskii模型下的热 平衡方程的求解 n对于无限大平板、无限长圆柱和球这些特 定的场合，此时的Laplace算符2有如下 的形式 n式中的j称为几何因子，当体系为无限大 平板时，j=0。当体系为无限长圆柱时， j=1。当体系为球时，j=2。 热平衡方程的求解（解析解） 无量纲化 n对热平衡方程无量纲化，使用如下无量纲量 ： n无量纲温度； n无量纲活化能（或无量纲环境温度） n无量纲时间（是绝热自燃的延滞时间） n其中 是绝热自燃的延滞时间 热平衡方程的求解（解析解） 无量纲化 n无量纲坐标（为反应物特征尺寸） 其中a0为反应物特征尺寸 nFrank-Kamenetskii参数 液体 固体 热平衡方程的求解（解析解） 无量纲化 n无量纲化处理后的热平衡方程为 n其中 n则稳定态（临界状态）的无量纲形式： 热平衡方程的求解（解析解） 近似与边界条件 n非均温放热反应系统的热平衡方程由于含有非线 性的Arrhenius项，不能直接积分求得解析解。 n该项的产生是由于反应速率常数对于温度的指数 关系造成的。 n为了获得A类几何形状系统的分析解，常常对热平 衡方程中的Arrhenius项进行近似。 n另外唯一要确定是系统内的温度场，除了热平衡 方程外还需要一系列的单值性条件，其中最为重 要的是系统的边界条件。 热平衡方程的求解（解析解） 近似与边界条件 一、热平衡方程的近似 n满足Arrhenius定律的反应速率常数与温度 的关系为： n 热平衡方程的求解（解析解） 近似与边界条件 非均温系统的边界条件 n边界条件在数学上分为三类：a)第一类边界条件 ，Dirichlet条件，给出边界上各点的温度值；b) 第二类边界条件，Naumann条件，给出边界法向的 温度梯度；c)第三类边界条件，Robin边界条件， 给出边界上温度和温度梯度的线性组合。 n对所研究的系统，边界上的热传递遵循Newton冷 却公式，对边界上的热传递有如下两种数学处理 方法。 热平衡方程的求解（解析解） 近似与边界条件 非均温系统的边界条件 n边界条件在数学上分为三类：a)第一类边界条件 ，Dirichlet条件，给出边界上各点的温度值；b) 第二类边界条件，Naumann条件，给出边界法向的 温度梯度；c)第三类边界条件，Robin边界条件， 给出边界上温度和温度梯度的线性组合。 主要讨论 1边界温度、热流连续 2边界热流连续、温度不连续 热平衡方程的求解（解析解） 近似与边界条件 1边界温度、热流连续 n与第三类Robin边界条件相同。 n对平板上式改写为： 热平衡方程的求解（解析解） 近似与边界条件 n定义Biot数Bi为： n变换形式 n其物理意义是对流换热边界上物体内部导热热阻 与边界处对流换热热阻1/U的比值。 当其较小时，温度降落主要表现在表面流体一侧， 当其较大时，温差主要表现在物体内部。 当内部导热热阻接近0时，表示系统内部具有很高的 导热系数，则此时系统可以看作内部均温系统处 理。 热平衡方程的求解（解析解） 近似与边界条件 2边界热流连续、温度不连续 在交界面具有连续的热流通过 在交界面存在一个温度跃变。 表面热阻 热平衡方程的求解（解析解） 近似与边界条件 Frank-Kamenetskii模型的边界条件 nFrank-Kamenetskii边界条件是表示系统边 界上反应物表面的温度与环境温度相等。 n对无量纲方程有： 热平衡方程的求解-近似与边界条件 Frank-Kamenetskii模型的边界条件 n热平衡方程的另一边界条件，由反应物几何 形状规则性得到，对于对称加热反应物，反 应物中心温度最高，温度梯度为0。 n无量纲化后为： 热平衡方程的求解-近似与边界条件 Frank-Kamenetskii模型的边界条件 n热平衡方程的另一边界条件，由反应物几何 形状规则性得到，对于对称加热反应物，反 应物中心温度最高，温度梯度为0。 n无量纲化后为： 热平衡方程的求解-近似与边界条件 n上面所讨论的边界条件是Frank- Kamenetskii热自燃模型对应的边界条件， 反应系统可称为Frank-Kamenetskii系统， 表示反应器是热良导体，热流阻力在反应 物导热过程中。 n对于非均温系统来说，大部分系统的边界 条件都属于Frank-Kamenetskii边界条件。 n下面我们对Frank-Kamenetskii系统的热自 燃进行研究。 热平衡方程的求解（解析解） 一维A类形状的Frank-Kamenetskii系统的热自燃 n对一维A类形状系统，要得到Frank- Kamenetskii系统的热平衡方程的解析解， 需要对Arrhenius非线性项进行近似。 n比较成熟的近似方法为指数近似，它可以直 接给出平板和圆柱形反应系统的分析解，用 表列函数给出球形反应系统的解。 n根据前面运用的指数近似得到的系统热平衡 控制方程为： 热平衡方程的求解（解析解） 一维A类形状的Frank-Kamenetskii系统的热自燃 n根据前面运用的指数近似可得到临界状 态下系统的热平衡控制方程为： 热平衡方程的求解（解析解） 一维A类形状的Frank-Kamenetskii系统的热自燃 n1无限大平板 n热平衡控制方程的解为： n解存在的临界值即热自燃临界值为： 热平衡方程的求解（解析解） 一维A类形状的Frank-Kamenetskii系统的热自燃 n2无限长圆柱 n热平衡控制方程解为： n解存在的临界值即热自燃临界值为： 热平衡方程的求解（解析解） 一维A类形状的Frank-Kamenetskii系统的热自燃 n3球 n解存在的临界值即热自燃临界值为： 热平衡方程的求解（解析解） FK模型下二维、三维非A类形状的热自燃 n对于二维、三维非A类形状的Frank-Kamenetskii系 统的热自燃，较为常用的是采用数值计算方法得到 热自燃的临界值。但是使用包括加权平均估计、当 量球法等分析方法也可以得到一些结果。这里主要 介绍解决非A类形状爆炸判据的一个重要概念和有 效的工具当量球。 n当量球法是把所考虑的反应物看成半径为的一个当 量球，半径定义为： n其中N为常数，为反应物的特征线性量纲。 热平衡方程的求解 FK模型下二维、三维非A类形状的热自燃 n确定N的方法有稳定当量球法和非稳定当量球法两 种： n1) 稳定定义，稳定态温度的上升和所考虑的物体 相同的球，称为稳定当量球； n2) 非稳定定义，中心温度变化的时间历程和所考 虑的物体相同的球，称为非稳定当量球。 n根据两种定义可以得到确定当量球半径的两种方 法，即稳定方法和非稳定方法，采用两种方法得 到的当量球半径是相同的。表3-3列出了部分形状 的反应物的当量球半径及热自燃判据，其中经典 值是指Frank-Kamenetskii得到的结果。 热平衡方程的求解 FK模型下二维、三维非A类形状的热自燃 Frank-Kamenetskii系统的热自 燃的数值方法 n通过采取一些近似假设，可以得到一维A类形状 Frank-Kamenetskii系统的热自燃的分析结果，通 过采用稳定法和非稳定法等近似解法，还可以求 解二维、三维非A类形状Frank-Kamenetskii系统 的热自燃问题。 n这些结果的精度如何，还要通过和数值解法的结 果进行比较来判断。目前，关于热自燃问题的数 值解法的研究工作还相对较少，然而随着计算机 技术的不断发展和计算数学方法的不断进步，使 用数值方法解决热自燃问题将成为热自燃理论研 究中的重要课题。 Frank-Kamenetskii系统的热自 燃的数值方法 n判断热自燃临界条件是对方程 进 行分析计算，研究参数和对方程解的影响。 n最为直接的方法就是采用迭代法，即取一个 值，用数值方法求解方程，通过判断数值解的 情况来逐渐逼近cr。 n这种方法是最早被采用的数值方法，由于方程 的解在临界点及临界点领域是不稳定的，这种 方法工作量大，精确度相对较差，但是方法较 为简单。 Frank-Kamenetskii系统的热自 燃的数值方法 无限长圆柱的算例 采用迭代法可得参数取不同值情况下的无量 纲温度分布及中心点温度变化关系。 当2时，计算无法收敛， 当2时，为临界点。下图为参数取不同值 情况下的无量纲温度分布及中心点温度变 化关系（=2），由计算结果看出，由于的 出现，2处的临界性消失，临界值增大。 计算结果 无量纲温度随变化情况（0） 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 计算结果 无量纲温度随变化情况（0） 中心 温度 随的 变化 计算结果 无量纲温度随变化情况（2） 计算结果 无量纲温度随变化情况（2） 中心 温度 随的 变化 Frank-Kamenetskii系统热自燃 的非稳定问题 nFrank-K