cut7-2二重积分的计算.ppt

1 一、二重积分的几何意义 二、在直角坐标系下计算二重积分 第二节 二重积分的计算 三、在极坐标系下计算二重积分 四、二重积分的换元法 五、小结 六、作业 2 (2) (3) (1) 在D上的二重积分就等于 二重积分是 二重积分是 而在其它的部分区域上是负的. 这些部分区域上的 柱体体积的代数和. 那末, 柱体体积的负值; 柱体体积; 在D上的若干部分区域上是正的, 一、二重积分的几何意义 3 二、在直角坐标系下计算二重积分 (1) 积分区域为： 其中函数 X型 在区间 上连续. 4 计算截面面积 ( 红色部分即A(x0) ) 以D为底, 以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 应用计算“平行 截面面积为已 知的立体求体 积”的方法. 用二重积分的几何意义说明其计算法 是区间 为曲边的曲边梯形. 为底,曲线 5 是区间 为底, 曲线 为曲边 的曲边梯形. 有: 先对y后对x的二次积分 6 注：也可以从二重积分的物理意义来理解上述 二次积分公式 细杆的质量 非均匀薄片的质量 7 (2) 积分区域为： Y型 先对x后对y的二次积分 也即 其中函数 在区间 上连续. 8 ab d c 计算结果一样. 又是Y型: (3)积分区域D既是X型: 但可作出适当选择. (4) 若区域如图, 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式. (用积分区域的可加性质) D1、D2、D3都是X型区域 则必须分割. 9 例1 （P88例2） 解1 将D看成X型区域 10 例1 （P88例2） 解2 将D看成Y型区域 D1 D2 第 一 种 方 法 计 算 量 小 11 解 12 解 ： 13 例4 对y的积分 而它对x的积分 交换积分次序的方法是: 改写D为: o x y 分析 所以将二次积分先 将所给的积分域(1) (2) 画出积分域的草图 (3) 计算二次积分 不能用基本积分法算出, 可用基本积分法算出. 交换积分次序. 用联立不等式表示 D: 14 o x y 15 解积分区域如图 16 例 交换积分次序： 解 积分区域: 原式= 生物2010-04-16 17 解 原式 18 又是能否进行计算的问题. 计算二重积分时, 恰当的选取积分次序 十分重要, 它不仅涉及到计算繁简问题,而且 凡遇如下形式积分: 等等,一定要放在 后面积分. 19 解 20 解 (1)先去掉绝对值符号,如图 例5 先对y积分简单 D1 D2D2 21 解 (2) 仿照(1)的方法，同时充分利用可加性 例5 先对y积分简单 D1 D2D2 D1 22 例7（求体积）两个直交圆柱体在第一卦限相交所得的立体体积 23 解 曲面围成的立体如图. 24 25 补充 若区域D关于x轴对称, 若 f(x, y)关于y为偶函数 o x y D1 D1为D在第 一象限中的部分,则 二重积分的对称性质 二重积分的对称性 若f (x, y)关于y为奇函数 26 这个性质的几何意义如图: O x y z O x y z 区域D关于x轴对称 f(x,y)关于坐标y为偶函数 区域D关于x轴对称 f(x,y)关于坐标y为奇函数 27 若区域D关于y轴对称, 若 f(x, y)关于x为偶函数 同理： D1为D在第 一象限中的部分,则 若f (x, y)关于x为奇函数 o x y D1 28 设D为圆域(如图) 0 0 D1为上半圆域 D2为右半圆域 例. 29 解 由性质得 例 30 为顶点的三角形区域, (A) (B) (C)(D) 0. A 1991年研究生考题, 选择,3分 D1是D在第一象限的部分, 31 D1D2 D3 D4 记 I= 则I= I1+ I2, 其中 I1= I2= 而 I1 = D1与D2关于y轴对称 D3与D4关于x轴对称 xy关于x和关于y都是奇函数 32 而 I2 = 是关于x的偶函数,关于y的奇函数. 所以 D1D2 D3 D4 33 今后在计算重积分利用对称性简化计算时, 注意 被积函数的奇偶性. 积分区域的对称性, 要特别注意考虑两方面: 34 三、在极坐标系下计算二重积分 35 即 也即 极坐标系中的面积元素 36 (1) 积分区域D: 37 (2)积分区域D(曲边扇形): 38 极坐标系下区域的面积 (3) 积分区域D: 注 一般,在极坐标系下计算: 39 解 40 解 41 解 42 43 44 解 下次从此开始 45 解 46 解 47 48 二重积分在极坐标下的计算公式 （在积分中注意使用对称性） 小结 49 思考题 50 思考题解答 51 练 习 题 52 53 54 练习题答案 55 56 四、二重积分的换元法 57 58 例1 解 59 60 例2 解 61 62 小结 基本要求:变换后定限简便，求积容易 63 五、小结 二重积分在直角坐标系下的计算 二重积分在极坐标系下的计算公式 (注意使用对称性) (注意正确选择积分次序, 掌