[理学]数学分析第六讲曲线和曲面积分.doc

第六讲 曲线和曲面积分6.1曲线积分一、知识结构1、第一型曲线积分(1) 第一型曲线积分产生的背景:非均匀曲线状物体的质量.(2) 第一型曲线积分的定义 平面曲线：，或，或 定义1 设平面曲线是可求长的（平面曲线是光滑或分段光滑的），函数在平面曲线上有定义.在划分把平面曲线划分成个小曲线段，其中表示小曲线段的长度，划分细度，,我们称极限为函数在平面曲线上的第一型曲线积分，记作.定义1(微元法的定义) 设平面曲线是可求长的（平面曲线是光滑或分段光滑的），函数在平面曲线上有定义.在曲线上任取一点（不是曲线的端点），给点一个弧长的增量，是要多么小有多么小的正数，表示小微元的质量（为点处的密度函数），表示曲线状物体的质量，如果值存在，我们称该值为函数在平面曲线上的第一型曲线积分.说明:表示曲线上点处弧长的增量，是要多么小有多么小的正数；分别表示平面和空间中曲线状物体的质量;由勾股定理得.对空间曲线：或定义2 设空间曲线是可求长的（空间曲线是光滑或分段光滑的），函数定义空间曲线上.在划分把空间曲线划分成个小曲线段，其中表示小曲线段的长度，,我们称极限为函数在空间曲线上的第一型曲线积分，记作.定义2(微元法的定义) 设空间曲线是可求长的（空间曲线是光滑或分段光滑的），函数在空间曲线上有定义.在曲线上任取一点（不是曲线的端点），给点一个弧长的增量，是要多么小有多么小的正数，表示小微元的质量（为点处的密度函数），表示曲线状物体的质量，如果值存在，我们称该值为函数在空间曲线上的第一型曲线积分.(3)第一型曲线积分的计算利用弧长计算公式,对平面光滑曲线：，或，或,由，所以或或.对空间光滑曲线： .或，由可求出。由，所以. .对称性计算法对平面光滑曲线：，或，或.当积分曲线关于轴对称时,且函数时,则;当积分曲线关于轴对称时,且函数时,则.对空间光滑曲线： .当积分曲线关于面对称时,且函数时,则;当积分曲线关于面对称时,且函数时,则;当积分曲线关于面对称时,且函数时,则.2、第二型曲线积分(1) 第二型曲线积分产生的背景: 计算变力将质点从有向曲线的起点移动到终点所做得功.(2) 第二型曲线积分的定义定义3 设是定义在平面上有向可求长曲线：弧，对的任意分割，它把分成个小曲线段，其中，记小曲线段的弧长为，分割的细度，若极限存在，则称此极限为函数沿平面上有向曲线上的第二型曲线积分，记为或或.即.定义3(微元法的定义) 设是定义在平面上有向可求长曲线：弧，在曲线上任取一点（不是曲线的端点），给点一个弧长的增量，的模是要多么小有多么小的正数，表示质点在力作用下经过位移所做的功，表示在力作用下质点从有向曲线的起点移动到终点所做得功，如果值存在，我们称该值为函数在平面有向曲线上的第二型曲线积分.说明:表示曲线上点处弧长的增量，是绝对值要多么小有多么小的实数；表示变力把质点从有向曲线的起点移动到终点所做得功,功可正可负.对空间曲线，第二型曲线积分定义为：定义4 设是定义在空间中的有向可求长曲线：弧上，对的任意分割，它把分成个小曲线段，其中，记小曲线段的弧长为，分割的细度，若极限存在，则称此极限为函数沿空间中有向曲线上的第二型曲线积分，记为或或.定义4(微元法的定义) 设是定义在空间中的有向可求长曲线：弧上，在曲线上任取一点（不是曲线的端点），给点一个弧长的增量，的模是要多么小有多么小的正数，表示质点在力作用下经过位移所做的功，表示在力作用下质点从有向曲线的起点移动到终点所做得功，如果值存在，我们称该值为函数在空间有向曲线上的第二型曲线积分.记作(3) 第二型曲线积分的计算计算(a) 参数变换法平面上的有向曲线： ，其中起点是，终点是，则.(b)空间中的有向曲线： ，其中起点是，终点是.二、解证题方法1、一型曲线积分例1（电子科技大学2002年） 已知一抛物线 （），曲线段上任意一点处的密度与该点到轴的距离成正比，处的密度为，求此曲线段的质量.解 设密度函数为，其中为常数.因为曲线段在处的密度为,所以.进而,曲线段的质量为,其中曲线段: （）.故.例2（北京师范大学2004年）计算,.解 积分曲线关于面对称,所以.积分曲线关于面对称,所以,故,进而.例3（辽宁大学2004年）求一型曲线积分,其中是圆周.解 进行变量替换,则.例4（深圳大学2004年）计算一型曲线积分,其中是以为顶点的三角形.解 分为三段,其中:为端点的线段,: 为端点的线段,: 为端点的线段. 的方程为,的方程为,的方程为.则.例5（北京大学2005年）计算,其中是球面与平面的交线.解 参考例2.例6 计算,其中为(1)螺旋线;(2)曲面与平面的交线.解 (1) .(2)解方程组得,所以曲线为椭圆.进而令,则.练习1求,式中的为连接点和点的直线段(提示: 用直线的参数式，).2 求,式中的为螺旋线.(2) 二型曲线积分例1(华东师范大学2004)为过和的曲线,求.解 .说明：如何用格林公式求解该题？请同学完成。例2(山东师范大学2005年)求,其中是沿到的正弦曲线.解 .说明：如何用格林公式求解该题？请同学完成。例3(华南理工大学2006年) 求,其中是抛物线从点到点上的一段.解 .例4(山东科技大学2004年)设是从沿到的折线,求.解 分有向曲线是有向折线分别记:,:,.的起点为,终点为.起点为,终点为.例5(电子科技大学2002年)计算积分，从点沿上半圆 （）到点.解 的参数方程是:,其中为起点,则.例6(辽宁大学2004年)求第二型曲线积分,其中是右半圆 （）,方向是从点到.解 的参数方程是:,其中为起点,则.例7(数学(一)2011年)设是柱面方程与平面的交线, 从轴的负方向上看上去为逆时针方向, 则曲线积分 .解 令,则.6.2曲面积分一、知识结构1、第一型曲面积分，空间曲面块：，. 第一型曲面积分的背景：计算非均匀密度的曲面块物体的质量(1) 第一型曲面积分的定义定义1 设空间曲面块是可面积的，函数定义空间曲面块上.划分把空间曲面块划分成个小曲面块，其中表示小曲面块的面积，,我们称极限为函数在曲面块上的第一型曲面积分，记作.说明:表示曲面块上点处面积的增量，是要多么小有多么小的正数；表示曲面状物体的质量.定义1(微元法的定义) 设空间曲面块是可面积的（空间曲面块是光滑或分块光滑的），函数在空间曲面块上有定义.在空间曲面块上任取一点（不是空间曲面块的边界点），给点一个面积的增量，是要多么小有多么小的正数，表示小曲面块的质量（为点处的密度函数），表示曲面块状物体的质量，如果值存在，我们称该值为函数在空间曲面块上的第一型曲面积分.(2) 第一型曲面积分的计算利用曲面计算公式空间曲面块：，.由,其中,表示的曲面块：（）上点处的法向量与轴正向的夹角。是面的法向量（向上）,也是轴正向的方向向量，面的法向量（向上），则. 又因为，所以，进而。所以或或 对称性计算法当曲面关于关于面对称时, 且函数时,则;当曲面关于关于面对称时, 且函数时,则;当曲面关于关于面对称时, 且函数时,则.2、第二型曲面积分，空间曲面块：，.第二型曲面积分产生的背景:计算变速流动的流体流过有向曲面的流量，当的方向与向曲面在点的切平面的法向量的方向成锐角时，则所计算的流量为正值；当流体的流速的方向与向曲面在点的切平面的法向量的方向成钝角时，则所计算的流量为负值.(1) 第二型曲面积分的定义定义2 设是定义在有向(双侧)曲面上.在的指定一侧作分割，对的任意分割，它把分成个小曲面块，记小曲面块在三个坐标平面上的投影区域的数量分别为,当小曲面块正向与轴的正向成锐角时, ,当小曲面块正向与轴的正向成钝角时, .,若极限存在，则称此极限为函数沿有向曲面上的第二型曲面积分，记为.(2) 函数沿空间中有向曲面上的第二型曲面积分的计算利用二重积分计算.当空间曲面块：，.则，其中当曲面块的积分侧向量与轴的正向成锐角时，等式右端取“+”，当曲面块的积分侧向量与轴的正向成钝角时，等式右端取“-”;当空间曲面块：，.则,其中当曲面块的积分侧向量与轴的正向成锐角时，等式右端取“+”，当曲面块的积分侧向量与轴的正向成钝角时，等式右端取“-”;当空间曲面块：，.则.当曲面块的积分侧向量与轴的正向成锐角时, 等式右端取“+”, 当曲面块的积分侧向量与轴的正向成钝角时, 等式右端取“-”. 式，中的可正可负，但式 ，中的均为正(原因是这些式子是二重积分).说明:表示流速为的流体流过有向曲面的流量.当与向曲面所指定的方向成锐角时, 第二型曲面积分为正, 当与向曲面所指定的方向成钝角时, 第二型曲面积分为负.第二型曲面积分转化成二重积分进行计算,转化的关键是确定二重积分前的正、负号.二、解证题方法(1) 一型曲面积分例1（山东科技大学2005年）计算第一型曲面积分,其中为平面在内的部分.解 的函数为,定义域为.例2（山东科技大学2006年）计算第一型曲面积分,其中为螺旋面,在,的部分.解 由于,所以例3（清华大学2006年）证明对连续函数有.证明 令. 由于,所以.例4（中国地质大学2005年）求下列积分,其中 解 记,则有,在面上的投影区域为:,由的方程知,所以.例5（华东师范大学2006年）求,其中.解 根据对称性有,把分为上半球和下半球,所以.例6(北京化工大学2005年)求旋转抛物面在圆柱体内部的面积.解 .例7(中国地质大学2006年)求的表面积.解 令为,为,.对于, 对于, 所以 .例8（西安交通大学2001年）求球面在圆柱体内部的面积,其中.解 由于,于是利用对称性知,其中是球面在圆柱体内部的曲面的上半部分在面上的投影.练习1 （北京工业大学2001年）计算曲面积分,其中是四面体,的表面.(答案:).2 （电子科技大学2004年）设流速,求下列情形的流量.(1)穿过圆锥面的侧表面,法向量朝外.(2) 穿过圆锥面的底面, 法向量朝外.(提示:,答案: (1)0,(2).3 （华中科技大学2006年）设是上的正值连续函数,若,证明: 是上的严格递增的连续函数.4 （北京师范大学2006年,选做）设在上有二阶连续偏导数,对任意的,记在上第一型曲面积分,其中表示中心,半径为的球面,表示上的面积微元,证明:(1);(2) ;(3) ,此处表示中的Laplace微分算子.(2) 二型曲面积分例1 (四川大学2004年)求,为的外侧.解 ,其中分别是关于轴的上半椭球面和下椭球面.所以,其中为面上的椭圆所围成的区域. 利用变换,进而.由关于轮换对称性得.6.3各种积分间的关系一、知识结构1、二型曲线积分与二重积分间的关系定理1(格林公式) 若函数在闭区域上连续，且有连续的一阶偏导数，则有.这里为区域的边界曲线, 并取正方向（沿曲线走时，区域在你的左侧）. 说明: 为区域的边界曲线, 并取负方向(沿曲线走时，区域在你的右侧)时,有.定理2 设是单连通闭区域.若函数，在内连续，且具有连续偏导数，则以下四个条件等价：(1)沿内任意按段光滑封闭曲线，有；(2)沿内任意按段光滑封闭曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点及终点有关；(3) 是内某一函数的全微分，即在内有.(4)在内等式处处成立.2、二型曲面积分与三重积分间的关系定理3（高斯公式） 若函数在闭区域上连续，且有连续的一阶偏导数，则有这里为区域的边界曲面,并且取外侧.说明: 为区域的边界曲面,并且取内侧时, 有.3、二型曲线积分与二型曲面积分间的关系定理3 (斯托克斯公式) 若函数在曲面(连同)上连续，且有连续的一阶偏导数，则有. 其中光滑曲面的边界为, 这里的侧与的方向按右手法则确定.为便于记忆, 斯托克斯公式记作.说明: 的侧与的方向按左手法则确定时,有.4、一型曲线积分与二型曲线积分间的关系定理4 设是面上的光滑的有向曲线，在有向曲线上连续，则有，其中是曲线在点处的切向量(指向弧增长的方向)的方向余弦. 说明: (1) 会等式,的证明;(2)当是曲线在点处的切向量(指向弧减少的方向)的方向余弦时, 有.定理5 设是空间中的光滑有向曲线，在有向曲线上连续，则有，其中是曲线在点处的切向量(指向弧增长的方向)的方向余弦.注意: (1) 会,的证明;(2)当是曲线在点处的切向量(指向弧减少的方向)的方向余弦时, 有.5、一型曲面积分与二型曲面积分间的关系定理6 设是空间中的光滑有向曲面，在有向曲面上连续，则有，其中是有向曲面在点处的积分侧法向量的方向余弦.二、解证题方法1、格林公式例1( 三峡大学2006年)求,其中是沿到的正弦曲线.解 上有向线段,为封闭有向曲线,则由高斯公式得:.说明:封闭有向曲线的方向与所围成的区域成右手法则时,二重积分前取正号, 封闭有向曲线的方向与所围成的区域成左手法则时, 二重积分前取负号.例2(华东师范大学2003年),取顺时针方向,计算.解 的参数方程为,于是.例3(北京理工大学2003年)求,其中表示平面内过三点的圆周从到的弧段.解 ,因为,所以积分与路径无关.取线段,则.例4 求,其中:(1) 圆周的正向;(2) 菱形边界的正向.解 (1)因为函数与在区域:内连续,则由高斯公式得:.(2)因为函数与在区域:内不连续, 则间接由高斯公式得:,其中: ()的负向, : ().练习1 (陕西师范大学2002年)计算,其中为圆周,方向去正向.(答案:).2 (哈尔滨工业大学2005年) 计算,其中为圆周,方向去正向. (答案:).3 (哈尔滨工业大学2006年)求曲线积分.其中是圆周由点依逆时针方向转到的半圆. (答案:).4 (华南师范大学2003年)求,其中:,取逆时针方向. (答案:).5 (北京师范大学2006年)计算,其中表示逆时针方向的左半椭圆 .(答案:).6 (上海大学2006年)计算,曲线为,取逆时针方向. (答案:).7 (华中科技大学2004年)求,曲线为取逆时针方向的单位圆周. (答案:).8 (兰州大学2005年) 计算,曲线为,取逆时针方向. (答案:).9 (兰州大学2006年) 计算,曲线为,取逆时针方向. (答案:).10 (华南理工大学2003年) 求,曲线为取逆时针方向的单位圆周. (答案:).11 (青岛科技大学2006年)计算第二型曲线积分,其中: (),取逆时针方向. (提示：作变量替换，则.答案:).12 (电子科技大学2002年)计算,其中是从经和回到的三角形. (答案:).13 (中山大学2007年) 计算第二型曲线积分,其中曲线:,方向与轴构成右手系. (答案:).14 (电子科技大学2003年)求,其中曲线为闭曲线 (),曲线的方向按从到.(答案:).15 (南京大学2000年)计算曲线积分,其中曲线为与的交线，从原点看去是逆时针方向. (答案:).2、高斯公式例1（南京大学2000年）计算曲面积分,其中为,方向取外侧.解 应用高斯公式得,其中为所围成的区域.下面计算. 进行球坐标变换,.例2（南京大学2001年）计算曲面积分,其中为锥面,方向取外侧.解 用曲面:(方向向上)补齐锥面成封闭曲面,曲面方向取外则.应用高斯公式得,其中为所围成的区域,: .下面计算.进行柱坐标变换, 所以, 进而 .例3（哈尔滨工业大学2005年）计算,其中为立方体边界的外表面.解 利用Gauss公式得:.例4（华南理工大学2004年）计算,其中为单位球的上半部分,外侧为正向.解 补上平面:,方向向下,则为一封闭的半球.又Gauss公式得:.例5（同济大学1998年）求,曲面为,为曲面上外法线向量的方向余弦.解 补上平面:,方向向下,则为一封闭的半球.又Gauss公式得: 由于曲面为,所以为,，进行球坐标变换，,则.例6（中国科技大学1998年）设为球面的内侧,求积分.解 由Gauss公式得: ,由于曲面为,所以为,进行球坐标变换,则.例7(重庆大学2003年)求,其中为球面的外部.解 由Gauss公式得:.由于曲面为,所以为,进行球坐标变换,则.例8（北京大学2007年）计算,其中为半球面,方向为上侧.解:令为平面,方向取下侧. 由Gauss公式得:,其中所围成的区域为.进行球坐标变换,则.因为在点处的法向量为,原因是的方程为: ,则,进而有.所以,有一型曲面积分与二型曲面积分关系得:.进而.例9（南京大学2002年）计算曲面积分,其中为圆柱面,三个坐标平面及旋转抛物面所围立体位于第一象限部分的外侧曲面.解 由的表达式知, 在三个坐标平面上的值为,所以补齐的三个坐标平面后值不变. 表示与补齐的三个坐标平面后的封闭曲面.由Gauss公式得:, 进行柱坐标变换(1)