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高等数学（下） 河海大学理学院 第五节 隐函数存在定理及求导法则 高等数学（下） 一、一个方程的情形 隐函数的求导公式 高等数学（下） 解令 则 高等数学（下） 高等数学（下） Th1 Th1 可以接着再求可以接着再求 （假设二阶混合偏导连续）（假设二阶混合偏导连续） 高等数学（下） 解令 则 Th1Th1可以推广至三元及以上：可以推广至三元及以上： 高等数学（下） 高等数学（下） 用隐函数求导公式时须注意: 1.用隐函数求导公式求导,在分子中出现对函 数变量求导数时,函数作为常数. 2.不用隐函数求导公式求导,只是用思想方法 求导,当出现对函数变量求导数时,函数作为 中间变量, 高等数学（下） 解 令 则 高等数学（下） 思路 ： 高等数学（下） 整理得 解 高等数学（下） 整理得 整理得 高等数学（下） 例例5 5 已知已知 其中其中 z zz z（x x，y y）是是 x x，y y 的函数，求证的函数，求证 高等数学（下） 二、方程组的情形 高等数学（下） 高等数学（下） 高等数学（下） 对于方程组对于方程组 高等数学（下） 高等数学（下） 高等数学（下） 变量数-方程数=自变量数 高等数学（下） 解1直接代入公式； 解2将所给方程的两边对 求导并移项 高等数学（下） 高等数学（下） 将所给方程的两边对 求导，用同样方法得 高等数学（下） 例例7 7 设设 F F（x x，y y，t t） 0 0 ，y y f f（x x，t t），）， f f 与与 F F具有连续的偏导数具有连续的偏导数. . 问在怎样的条件下，问在怎样的条件下， y y 是是 t t 的函数？并求的函数？并求 解 对对 F F（x x，y y，t t）与与 GG（x x，y y，z z） f f（x x，t t）y y，由由Th3Th3，得得 高等数学（下） 解1(隐和复合) 关于t求导: F F（x x，f(x,t)f(x,t)，t t） 0 0 高等数学（下） 解3 解1 (方程组求导) 高等数学（下） （分以下几种情况）隐函数的求导法则 三、小结 高等数学（下） 隐函数求导要点: 1.用隐函数求导公式求导,在分子中出现对函 数变量求导数时,函数作为常数.
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