CH111第一型曲线积分.ppt

第十一章 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分 一、第一型曲线积分的概念与性质 二、第一型曲线积分的计算 11.1 第一型曲线积分 v曲线形构件的质量 在设计曲线形构件时，为了合理使用材料，应该根据 各部分受力情况，把构件上各点处的粗细程度设计的不完 全一样。因此，可以认为这个构件的线密度（单位长度的 质量）是变量。 把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长) v曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) 任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si 令maxs1 s2 sn0 则整个曲线形构件的质量为 整个曲线形构件的质量近似为 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) v曲线形构件的质量 把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长) 任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si 将L任意分成n个小弧段 s1 s2 sn(si也表示第i个小弧段的长度) 在每个小弧段si上任取一点(i i) 作和 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在L上有界 如果当maxs1 s2 sn0时 这和的极限总存在 则 称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作 其中f(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段 说明 当函数f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 函数f(x y)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分是存在的 以后我们总假定f(x y)在L上 是连续的 对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分 类似地可以定义函数f(x y z)在空间曲线弧上对弧长的曲线 积分 曲线形构件的质量就是曲线积分 的值 如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲线积 分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如 设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定 说明 函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 性质1 设c1、c2为常数 则 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则 性质3 设在L上f(x y)g(x y) 则 特别地 有 提示 根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密 度为f(x y) 则曲线形构件L的质量为 另一方面 如果曲线L是光滑的 其参数方程为 x(t) y (t) (t) 则曲线形构件L的质量为 曲线形构件L的质量元素为 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密 度为f(x y) 则曲线形构件L的质量为 另一方面 如果曲线L是光滑的 其参数方程为 x(t) y (t) (t) 则曲线形构件L的质量为 于是 dtttttfdsyxf L )()()( ),(),( 22 v定理 设f(x y)在曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为 x(t) y(t) (t) 其中(t)、(t)在 上具有一阶连续导数 且2(t)2(t)0 应注意的问题 定积分的下限一定要小于上限 则曲线积分 dsyxf L ),( 存在 并且 注意: 特殊情形 推广: 空间R3中的曲线：x=(t), y=(t), z=(t), t x y z O ( ) 例1. 计算其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: 上点 O (0,0) 练习 解 (利用了偶倍奇零的性质 ） （注意技巧 ） 例2 解 练习 解 例3 解