ch4-3,4,5单调性极值,凹凸性拐点,渐近线.ppt

4.3 函数单调性判别 二、 求函数单调区间 一、 单调性判定定理 三、 函数的极值 4.3 函数单调性判别法 一、定理（单调性判别定理） 可导函数：一阶导数的符号与函数的单调性密 切相关。 证明： 二、确定函数单调区间的步骤: 1、确定函数定义域. 解 解: 函数的单调性证明不等式 由例得步骤： 证明 三、函数极值 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值 的点称为极值点. 函数在一点取得极值用导数表现出来 极值是函数的局部性概念. 问题 极值点在哪些点中寻找？ 如何判断是否为极值点？ 定理 (必要条件) 定义 注意 例如 函数极值的求法 极值点 导数为0和导数不存在 的点 定理 (极值点第一判别法)充分条件 求极值与单调区间的步骤： 求函数的定义区间； 求出函数的所有导数为0和导数不存在的点； 上述点将f(x)的定义区间分成若干子区间； 列表分析相应的f (x),讨论单调性、极值情况； 写出结论。 例1 解:D(f)=R 列表讨论 极大值 极小值 练习 ： 函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 列表讨论 解:D(f)=R 定理: 极值点第二判别法（对驻点判定) 例 解： 图形如下 C 注意注意：若：若f ”f ”( (x x 0 0 ) )= =0, 0, 此定理失效此定理失效, ,用第一充用第一充 分条件判断。分条件判断。 极值（点）求法小结 定义域 一阶导数 求驻点或导数不存在的点 判定 第一判别法列表判定 第二判定法注意使用条件 小结 极值是函数的局部性概念 驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点取得. 判别法 第一充分条件; 第二充分条件; (注意使用条件) 作业： P107: 1 (4)(5) 3 (1)(4) 4.4 曲线的凸性与拐点、渐近线、画图 一、曲线的凸性与拐点 二、曲线的渐近线 研究函数形态，仅知单调性是不够的，例如 o x y o x y o x y (1)(2)弯曲方向不同-凹凸性不同 1 1定义定义: :若在某区间内若在某区间内, ,曲线曲线 上任意一点处切线上任意一点处切线 都在曲线的上方都在曲线的上方, ,则称该曲线是则称该曲线是凸凸; ; 若曲线若曲线上任意一点处切线 上任意一点处切线, ,都在曲线的下方都在曲线的下方 则称曲则称曲 线在这个区间内是 线在这个区间内是凹凹 。 凸凸 凹凹 引例 一、函数的凹凸性 图形上任意段弧位图形上任意段弧位 于所在弦的上方于所在弦的上方 图形上任意段弧位图形上任意段弧位 于所在弦的下方于所在弦的下方 0 x y 0 x y 凸 凹 凸性区间的判定Th： 定理：设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二阶可 导,则 （1）若在(a,b)内 ,则函数f(x)的图像为凸； （2）若在(a,b)内 ,则函数f(x) 的图像为凹。 2、拐点定义：连续曲线f(x)上凹与凸的分界点称为f(x) 的拐点。 0 x y 0 x y 0 x y 0 x y 拐点 ？ 拐点 o x y 二、拐点 (1)求出函数的定义域; (2)求出二阶导数为零或不存在的点; (3)将上述点把定义域分成几个区间, (4)根据各区间内二阶导数的符号,列表 讨论凹凸性。 求函数的凹凸区间和拐点 ： 例 解 凹凸凹 拐点拐点 不存在 解 x(-, -1)-1(-1,1)1(1,+) -0+0- y 拐点 拐点 三、曲线的渐近线 定义：当曲线y=f(x)上一动点P沿曲线趋向无 穷(无限远离原点)时,若点P到某定直线L的距 离趋向于零,则称直线L为曲线y=f(x)的渐近线 通常我们把渐近线分为水平渐近线、垂直渐 近线和斜渐近线三类。 曲线渐近线的求法 例如 故,有水平渐近线两条 : (3) 斜渐近线 y=ax+b o x y 作业 P115 1 (1) 6 (3) 求极值与单调区间的步骤： 求函数的定义区间； 求出函数的所有导数为0和导数不存在的点； 上述点将f(x)的定义区间分成若干子区间； 列表分析相应的f (x),讨论单调性、极值情况； 写出结论。 求最值的步骤： 1 求导数为零和导数不存在的点； 2 求以上点和端点的函数值; 3 比较找出最大值和最小值。 (1)求出函数的定义域; (2)求出二阶导数为零或不存在的点; (3)将上述点把定义域分成几个区间, (4)根据各区间内二阶导数的符号,列表 讨论凹凸性。 求函数的凹凸区间和拐点： 渐近线 (3) 斜渐近线 y=ax+b 最优化问题： 1. 城市规划中道路如何设计最畅通； 2. . 产品生产中，总希望成本最低，利润最大；产品生产中，总希望成本最低，利润最大； 3. 3. 汽车尾气的排放污染最小；汽车尾气的排放污染最小； 4. 4. 人身体中的血管分支保证供血过程中心脏最人身体中的血管分支保证供血过程中心脏最 节约节约能量等等。能量等等。 最大最小值问题 4.5、函数的最值及其在经济学中的应用 一、函数的最值 二、最值在经济学中的应用 一、函数的最值及其求法 1 最值的存在性：闭区间上的连续函数一定存在最值 。 2 最值的求法：可能存在于端点，驻点，导数不存 在的点。 求最值的步骤： （端点和极值点中） 1 求导数为零和导数不存在的点； 2 求以上点和端点的函数值; 3 比较找出最大值和最小值。 例 解：区域-3,4 计算 比较得 二、最大、最小值实际应用问题 最大边际利润原则 利润函数 L (x) 取最大值的必要条件： 利润最大的必要条件：边际收益等于边际成本 利润函数 L (x) 取最大值的充分条件： 例：(1)已知某产品的销价为 P (x)= 200 ,总成本函数 （1）总利润函数 L(x) （2）边际利润 （3）产量为多少时，利润最大？ 解：（1） (2)某工厂生产某种产品，固定成本为200，多生产 一件产品成本增加4，已